（新课标）2020版高考数学总复习第九章第八节直线与圆锥曲线的位置关系练习文新人教A版.docx

第八节直线与圆锥曲线的位置关系A组基础题组1.直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点()A.至多有一个B.有2个C.有1个D.没有答案B直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,4m2+n22,m2+n24,m29+n24m29+4-m24=1-536m22p,故这样的直线有且只有两条.4.已知直线y=22(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若MAMB=0,则m等于()A.2B.22C.12D.0答案B由题意可得y2=4x,y=22(x-1),8x2-20x+8=0,即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,则A(2,22),B12,-2.由MAMB=0,M(-1,m),可得(3,22-m)32,-2-m=0.化简2m2-22m+1=0,解得m=22.故选B.5.抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为()A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=-2x答案B设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px(p0),则y12=2px1,y22=2px2,两式相减可得2p=y1-y2x1-x2(y1+y2)=kAB2=2,可得p=1,抛物线C的方程为y2=2x.6.经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OAOB等于.答案-13解析依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y=x-1,代入椭圆方程x22+y2=1,并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=43,所以两个交点的坐标分别为(0,-1),43,13,所以OAOB=-13,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得OAOB=-13.7.若椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为.答案y212+x28=1解析因为椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),所以a2-b2=4,所以可设椭圆方程为y2b2+4+x2b2=1,联立得y=3x+7,y2b2+4+x2b2=1,得(10b2+4)y2-14(b2+4)y-9b4+13b2+196=0,设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),由一元二次方程根与系数的关系及题意得y1+y2=14(b2+4)10b2+4=2,解得b2=8.所以a2=12.所以椭圆的方程为y212+x28=1.8.如图,过抛物线y=14x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四点,则ABDC=.答案-1解析不妨设直线AB的方程为y=1,联立得y=1,y=14x2,解得x=2,则A(-2,1),D(2,1),因为B(-1,1),C(1,1),所以AB=(1,0),DC=(-1,0),所以ABDC=-1.9.(2018贵州贵阳质检)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点1,32,离心率为12,左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)当F2AB的面积为1227时,求直线的方程.解析(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点1,32,所以1a2+94b2=1.又因为离心率为12,所以ca=12,所以b2a2=34.联立解得a2=4,b2=3.所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当直线的倾斜角为2时,A,B点的坐标为-1,32,-1,-32,则SABF2=12|AB|F1F2|=1232=31227.当直线的倾斜角不为2时,设直线方程为y=k(x+1),代入x24+y23=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,所以SABF2=12|y1-y2|F1F2|=|k|(x1+x2)2-4x1x2=|k|-8k24k2+32-44k2-124k2+3=12|k|k2+14k2+3=1227,所以17k4+k2-18=0,解得k2=1k2=-1817舍去,所以k=1,所以所求直线的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.B组提升题组1.过抛物线y2=4x的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则1|AB|+1|CD|等于()A.2B.4C.12D.14答案D由抛物线y2=4x,可知2p=4,设弦AB所在直线l1的倾斜角为(为锐角),弦CD所在直线l2的倾斜角为2+,AB,CD为过焦点的弦,|AB|=2psin2,|CD|=2psin22+=2pcos2,所以1|AB|+1|CD|=sin22p+cos22p=12p=14.故选D.2.已知抛物线y2=2px(p0)过点A12,2,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若MB=AB,则实数=()A.13B.12C.2D.3答案C把12,2代入抛物线的方程,得2=2p12,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则B(-1,0),设MyM24,yM,则AB=-32,-2,MB=-1-yM24,-yM.由MB=AB,得-1-yM24=-32,-yM=-2,解得=2或=1(舍去),故选C.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2=1的焦点重合,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求OAOB的取值范围.解析(1)由题意知e=ca=12,所以e2=c2a2=a2-b2a2=14,所以a2=43b2.因为双曲线y22-x2=1的焦点坐标为(0,3),所以b=3,所以a2=4,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当直线l的倾斜角为0时,不妨令A(-2,0),B(2,0),则OAOB=-4,当直线l的倾斜角不为0时,设其方程为x=my+4,由x=my+4,3x2+4y2=12(3m2+4)y2+24my+36=0,由0(24m)2-4(3m2+4)360m24,设A(my1+4,y1),B(my2+4,y2).因为y1+y2=-24m3m2+4,y1y2=363m2+4,所以OAOB=(my1+4)(my2+4)+y1y2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16+y1y2=1163m2+4-4,因为m24,所以OAOB-4,134.综上所述,OAOB的取值范围为-4,134.4.已知抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABM=ABN.解析(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)证明:当l与x轴垂直时,AB为线段MN的垂直平分线,所以ABM=ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x10,x20.由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x