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线性代数期末考试试题B及解答一、填空：（每空2分，共34分）1、阶行列式按照定义的完全展开式为 ；该行列式的展开式中共 项。2、设向量组线性相关，则 ，向量组的一个极大线性无关组为 。3、为三阶矩阵，且，为的伴随矩阵，则 ， 。4、阶矩阵不可逆，且的伴随矩阵，则线性方程组的一个基础解系中含有 个解向量。5、设矩阵，矩阵，且，则= ， 。6、为三阶矩阵，将的第二列与第三列交换得到矩阵，再把矩阵的第一列加到第二列得到矩阵，则满足的可逆矩阵 。7、设向量则矩阵， 。8、若矩阵与对角形矩阵相似，则 ，且 。9、设矩阵的秩为2，且，均不可逆，则的特征值为 ，实对称矩阵与相似，则二次型的规范形是 ，此二次型 （填是或不是）正定二次型。二、计算题（要求写出计算过程）1、计算行列式2、求齐次线性方程组的一个标准正交的基础解系。3、设矩阵，矩阵满足方程，其中为的伴随矩阵，求矩阵。4、设矩阵有一个二重特征值，求参数的值，并判断矩阵能否与对角形矩阵相似，说明理由。三、设线性方程组，问取何值时，方程组有解；有解时求出方程组的通解。四、（14分）已知二次型1、写出二次型的矩阵2、用正交变换法将二次型化为标准形，并写出所做正交变换及二次型标准形。五、证明题：1、设矩阵满足，证明：可逆，并求。2、设与是非齐次线性方程组的两个不同解，其中为矩阵，是对应的齐次线性方程组的一个非零解，证明：（1）向量组线性无关；（2）若矩阵的秩，则向量组线性相关。一、填空（每空2分，共34分）1、； 2、；3、；3 4、15、；0 6、7、； 8、；9、；不是二、计算题1、解：-2分-4分-7分2、解： -2分所以方程组的一个基础解系为-4分标准正交化得一标准正交的基础解系为：-7分3、解：因为，由可得， 所以-4分，-6分-8分4、解：由-4分因为，只有一个线性无关的特征向量 ，所以矩阵不能与对角形矩阵相似。-8分三、解：所以时，方程组有解-2分方程组为，则一般解为-4分方程组特解为：，导出组的一个基础解系为，-10分所以方程组的通解为：，为任意常数-12分四、1、-2分2、，所以-5分对于可得两个线性无关的特征向量，施密特正交化可得两个标准正交的特征向量，-9分对于，可得，标准化得-11分令，则在下，二次型化为-14分五、证明题1、证明：因为-3分所以可逆，且。-5分2、证明：（1）设，则-1分即，所以，从而，由推出所以和线性无
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