数学北师大版八年级下册异分母的加减.doc

第课时1.会找最简公分母,能进行分式的通分.2.理解并掌握异分母的分式加减法法则.经历对异分母分式的加减运算的探讨过程,提高学生的分式运算能力.培养学生在学习中将未知问题转化为已知问题的能力和意识,进一步通过实例,培养学生的符号感和应用数学的意识.【重点】理解并掌握异分母的分式加减法法则.【难点】找到最简公分母,能进行分式的通分.【教师准备】巩固上节的知识点.【学生准备】复习同分母的分式加减法法则.导入一:过渡语同学们,上节课我们学习了同分母的分式加减法法则,利用法则我们能进行同分母分式的加减运算,下面我们一起复习一下.复习提问:问题1:同分母的分式是怎样进行加减运算的?问题2:异分母的分数又是如何进行加减运算的?问题3:计算3a+14a.设计意图由复习旧知识引入新知识,过渡自然,易于接受.导入二:计算:4a2-1a.【问题】该计算属于同分母的分式相减吗?如果不是,那么如何化为同分母的分式?【师生活动】由分式的基本性质,把1a化为aa2,这样就变成了同分母的分式相减,我们就会做了.【学生活动】类比学过的异分母分数的加减法法则,猜测异分母分式的加减法法则.设计意图由复习同分母的分式加减法法则和分式的基本性质引入新知识,使学生便于理解和掌握.一、通分思路一【议一议】小明认为,只要把异分母的分式化成同分母的分式,异分母分式的加减运算就变成了同分母分式的加减运算.小亮同意小明的这种看法,但他俩的具体做法不同:小明:3a+14a=34aa4a+a4aa=12a4a2+a4a2=13a4a2=134a.小亮:3a+14a=34a4+14a=124a+14a=134a.你对这两种做法有何评论?与同伴交流.解析他们的共同之处是都根据分式的基本性质将异分母分式的加法变成同分母分式的加法;不同之处是选取的公分母有所不同,一个是4a2,另一个是4a,后者比前者简单.设计意图这里的小明,小亮两人的做法很有代表性,也是学生在化异分母的分式为同分母的分式的过程中经常出现的情况,这就很自然提到通分的概念,引导学生类比最小公倍数确定最简公分母.当然,从最后结果来说,都是对的,这就要求教师耐心引导.(补充例题)通分.(1)1a2b,1ab2;(2)1x-y,1x+y;(3)1x2-y2,1x2+xy.解析分式的通分,即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母(叫做最简公分母).例如第(1)小题中的两个分式1a2b和1ab2,它们的最简公分母是a2b2.解:(1)1a2b与1ab2的最简公分母为a2b2,所以1a2b=1ba2bb=ba2b2,1ab2=1aab2a=aa2b2.(2)1x-y与1x+y的最简公分母为(x-y)(x+y),即x2-y2,所以1x-y=1(x+y)(x-y)(x+y)=x+yx2-y2,1x+y=1(x-y)(x+y)(x-y)=x-yx2-y2.(3)因为x2-y2=(x+y)(x-y),x2+xy=x(x+y),所以1x2-y2与1x2+xy的最简公分母为x(x+y)(x-y),因此1x2-y2=xx(x+y)(x-y);1x2+xy=x-yx(x+y)(x-y).老师点评异分母的分式加减法法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用式子表示为:badc=bcacadac=bcadac.知识拓展确定最简公分母的一般步骤:(1)找系数:如果各分母的系数都是整数,那么取它们的最小公倍数.(2)找字母:各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取.(3)找指数:取各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的.这样取出的因式的积,就是最简公分母.思路二回顾一下,我们学习异分母的分数加减法时,是如何进行的呢? 首先要通分变成同分母的分数,然后进行计算.类似于异分母的分数加减法法则,我们可以根据分式的基本性质,对异分母的分式进行通分,变为同分母的分式相加减.设计意图利用类比的方式,学习新的知识点.过渡自然,易于学生接受.二、例题讲解(教材例3)计算:(1)3a+a-155a;(2)1x-3-1x+3;(3)2aa2-4-1a-2.解:(1)3a+a-155a =155a+a-155a =15+a-155a= a5a=15.(2)1x-3-1x+3 =x+3(x-3)(x+3)-x-3(x-3)(x+3) =x+3-(x-3)x2-9=6x2-9.(3)2aa2-4-1a-2 =2a(a-2)(a+2)-a+2(a-2)(a+2)=2a-(a+2)(a-2)(a+2) =a-2(a-2)(a+2) =1a+2.设计意图不同梯度的三道题,呈现异分母的分式加减法的三种形式,让学生体会法则的运用.要因形式而变,且万变不离其宗异分母的分式加减法法则.方法技巧在化成同分母的分式加减法的过程中,学生可能会出现一些麻烦,这要求我们根据具体情况加以引导,同时还要在(3)题中渗透分母是多项式且可以进行因式分解的,应先分解因式,再通分.对于通分后的分子是多项式的也要先添括号,再进行运算.过渡语刚才我们只是单纯的计算演练,下面看看我们能不能通过计算解决实际问题?(教材例4)小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km,其中小丽走的是平路,骑车速度是2v km/h.小刚需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路,在上坡路上的骑车速度为v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h.那么(1)小刚从家到学校需要多长时间?(2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少?少用多长时间?解析这是一道实际问题,不仅要求学生用分式来表示,还要运用分式的加减运算来解决问题,让学生经历了从实际问题建立分式模型的过程,关注学生对数学建模能力的培养,问题(2)涉及比较分式大小的问题,可以引导学生类比分数的大小比较进行解决.解:(1)小刚从家到学校需要1v+23v=3+23v=53v(h).(2)小丽从家到学校需要32v h.因为53v32v,所以小丽在路上花费时间少.小丽比小刚在路上花费时间少53v-32v=10-96v=16v(h).设计意图通过这个实例,提高学生运用分式表达数量之间的关系,运用分式的加减运算解决实际问题的能力,增强学生应用数学解决实际问题的意识.讲解这个题目时,可以采取学生板演,大家讨论、交流的形式,这样老师能更好地发现学生在用知识时真正的“症结”所在,有助于教学的针对性.同时应该关注学生的书写是否规范.知识拓展异分母的分式加减法的步骤:(1)通分,将异分母的分式化成同分母的分式;(2)写成“分母不变,分子相加减”的形式;(3)分子去括号,合并同类项;(4)分子、分母同时约分,将结果化成最简分式或整式.1.异分母的分式加减法法则.2.通分的关键就是找最简公分母,对于分母是多项式且能够进行因式分解的,要先分解,再找最简公分母.3.通分前分子是单项式的,通分后就可能变成多项式,运算时记得添括号.4.运算结果要约分,有一些运算律仍然适用.1.计算1a+1+1a(a+1)的结果是()A.1a+1B.aa+1C.1aD.a+1a解析:1a+1+1a(a+1)=aa(a+1)+1a(a+1)=a+1a(a+1)=1a.故选C.2.计算44-x2-1x-2的结果是()A.-1x+2B.1x+2C.-1x-2D.-x-6x2-4解析:44-x2-1x-2=-4(x+2)(x-2)-x+2(x+2)(x-2)=-x-4-2(x+2)(x-2)=-x-6(x+2)(x-2)=-x-6x2-4.故选D.3.计算:(1)b3a+a2b;(2)1a-1+21-a2;(3)xy-yx-x2+y2xy.解:(1)b3a+a2b=2b26ab+3a26ab=2b2+3a26ab.(2)1a-1+21-a2=a+1(a+1)(a-1)-2(a+1)(a-1)=a+1-2(a+1)(a-1)=a-1(a+1)(a-1)=1a+1.(3)xy-yx-x2+y2xy=x2xy-y2xy-x2+y2xy=x2-y2-x2-y2xy=-2y2xy=-2yx.4.(2015泸州中考)化简:m2m2+2m+11-1m+1.解:原式=m2(m+1)2m+1-1m+1=m2(m+1)2m+1m=mm+1.5.计算:m+2nn-m+nm-n-2mn-m.解:原式=-m-2nm-n+nm-n+2mm-n=-m-2n+n+2mm-n=m-nm-n=1.第2课时异分母的分式加减法法则:用式子表示为:badc=bcacadac=bcadac.一、通分二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第121页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第121页习题5.5的1,2,4题.二、课后作业【基础巩固】1.下列计算正确的是()A.ba+bc=2bacB.12a+12b=12(a+b) C.ca-c+1a=1aD.1a-b+1b-a=02.计算3x4y-x+x+y4y-x-7yx-4y得()A.-2x+6yx-4yB.2x+6yx-4yC.-2D.4x+8y4y-x3.计算:(1)xx+y+yy+x=;(2)21-a+1(a-1)2=.4.计算:(1)21-a+a2+2a-3(a-1)2;(2)11+x+2x1-x2.【能力提升】5.已知x0,则1x+12x+13x等于()A.12xB.16xC.56xD.116x6.(2015宜昌中考)化简:x2-2x+1x2-1+2x+1.7.计算:12p+3q-12p-3q.8.计算:1x-3+1-x6+2x-6x2-9.9.计算:x+3x2-3x-x-1x2-6x+9x-9x.【拓展探究】10.(2015台州中考)先化简,再求值:1a+1-a(a+1)2,其中a=2-1.11.已知实数a,b满足ab=1,求下列分式的值.(1)a1+a+b1+b;(2)1a2+1+1b2+1.【答案与解析】1.D(解析:A.ba+bc=bcac+abac=bc+abac=b(a+c)ac.B.12a+12b=b2ab+a2ab=a+b2ab.C.ca-c+1a=c-c-1a=-1a.D.1a-b+1b-a=1a-b-1a-b=0.故选D.)2.D(解析:3x4y-x+x+y4y-x-7yx-4y=3x4y-x+x+y4y-x+7y4y-x=3x+x+y+7y4y-x=4x+8y4y-x.故选D.)3.(1)1(2)3-2a(1-a)2(解析:(1)xx+y+yy+x=x+yx+y=1.(2)21-a+1(a-1)2=2(1-a)(1-a)2+1(1-a)2=2-2a+1(1-a)2=3-2a(1-a)2.)4.解:(1)21-a+a2+2a-3(a-1)2=2(1-a)(1-a)2+a2+2a-3(1-a)2=2-2a+a2+2a-3(1-a)2=a2-1(a-1)2=a+1a-1.(2)11+x+2x1-x2=1-x(1+x)(1-x)+2x(1+x)(1-x)=1-x+2x(1+x)(1-x)=1+x(1+x)(1-x)=11-x.5.D(解析:1x+12x+13x=66x+36x+26x=116x.故选D.)6.解:x2-2x+1x2-1+2x+1=(x-1)2(x+1)(x-1)+2x+1=x-1x+1+2x+1=x+1x+1=1.7.解:原式=2p-3q(2p+3q)(2p-3q)-2p+3q(2p+3q)(2p-3q)=2p-3q-(2p+3q)(2p+3q)(2p-3q)=-6q(2p+3q)(2p-3q)=6q9q2-4p2.8.解:原式=1x-3+1-x2(x+3)-6(x+3)(x-3)=2(x+3)+(1-x)(x-3)-122(x+3)(x-3)=-(x2-6x+9)2(x+3)(x-3)=-(x-3)22(x+3)(x-3)=-x-32x+6.9.解:原式=x+3x2-3x-x-1x2-6x+9x-9x=x2-9x(x-3)2-x2-xx(x-3)2xx-9=x2-9-x2+xx(x-3)2xx-9=1(x-3)2.10.解:原式=a+1-a(a+1)2=1(a+1)2.当a=2-1时,1(a+1)2=12-1+12=122=12.11.解:(1)原式=aab+a+b1+b=1b+1+b1+b=1.(2)原式=aba2+ab+abb2+ab=ba+b+aa+b=1.例题和习题采取梯度设置,有助于学生循序渐进地获得知识,对知识掌握得更容易且更牢靠,教学效果很好.增加讨论,能让学生更明确其算理所在,容易接受.通过演练,老师能发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误,有助于及时纠正,应该多采取这种方式.实际问题的解决在于对数学模型的理解,对字母表示数的理解,可以在平时教学中不时渗透,增强学生应用数学的意识,使数学思想得到提升.随堂练习(教材第121页)1.解:(1)x-13x2=ax-a3ax2,2ax=6x3ax2.(2)3a2a-b=3a2a-b,-1b-2a=12a-b.(3)1a2-9=a+3(a+3)2(a-3),2a2+6a+9=2a-6(a+3)2(a-3).(4)1x2-4=22(x+2)(x-2),x4-2x=-x2(x-2)=-x2+2x2(x-2)(x+2).2.解:(1)2b2+3a26ab.(2)a+3a2-1或a+3(a+1)(a-1).习题5.5(教材第121页)1.解:(1)bx+ayab.(2)1-aa2b.(3)c-aac.(4)x2(x-3)2或x2x2-6x+9.2.解:(1)-2yx.(2)原式=x-1(x-1)(x-1)+1(x-1)2=x(x-1)2.3.解:原式=3x(x+2)-x(x-2)(x-2)(x+2)(x+2)(x-2)x=2x+8或者原式=3xx-2x2-4x-xx+2x2-4x=2x+8.4.解:(1)输出的答案都为1.(2)x2+xx2-1x=1.5.解:3000x-3-3000x=9000x2-3x(元).怎样确定最简公分母我们在进行异分母的分式加减运算时,先找到几个异分母的最简公分母,然后进行通分,再进行计算.如何确定最简公分母呢?1.算式中只有一项是分式,最简公分母就是这个分式的分母.如算式a-1+1a+1的最简公分母就是a+1.2.算式中有几个分式相加减,若分母互为相反数,则最简公分母可取其中任何一个分母.如算式aa-2b-b2b-a-3ba-2b的最简公分母可以是a-2b,也可以是2b-a.3.当算式中分式的几个分母都是单项式时,最简公分母则取系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的乘积.如算式12axy+23bx2-34xy2的最简公分母就是12abx2y2.4.当算式中分式的几个分母都是多项式时,要先把所有分母进行因式分解,最简公分母则是每个因式的最高次幂的乘积.如算式14x2-4y2+3x2x2-4xy+2y2的最简公分母是4(x+y)(x-y)2.5.当算式中分式的分子与分母都有公因式时,可以先把这个分式约分,再根据情况确定最简公分母.如计算x+2x-2-x2+2xx2-4时,如果直接通分,则显得繁琐;若把x2+2xx2-4的分子、分母分别分解因式得x(x+2)(x+2