高数-级数.doc

高等数学（下）自学、复习参考资料使用前请详细阅读后面所附的“使用指南”授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）强烈建议同志们以综合练习为纲，仔细掌握其中的所有习题内容！各章复习范围：第一部分矢量代数与空间解析几何第八章第一至六节、第八节（即是除了第七节之外都要复习）第二部分多元函数微积分第九章第一至五节（其中第四节只要求“全微分”）第十章第一至三节、第五节（即是第四、六节暂不作要求）第三部分级数论第十一章 都要复习敬告学员本门课程复习资料我们是根据听课和教研的基本情况结合自己的理解、加工，尽量全面、系统地整理出来，但是也只能供大家参考使用而已，并不能代表考试的任何信息，特此说明。不便之处，敬请原谅！另外，以后象这样的数理学科，众所周知，其难度较大，数字稍作变化，许多同志未必能做出来。因此，这些科目的面授课建议大家都能克服困难，积极地参加，以获取准确的知识和复习信息，否则光是依赖网上复习参考资料，随时有不能一次通过的危险。 第十一章 级数一、常数项级数的概念与性质（了解）1、无穷级数的概念 设有无穷数列 则式子 称为无穷级数，简称级数。记作。即其中叫做级数的项，而叫做级数的一般项或通项，各项都是常数的级数称为常数级数。例如，。就是常数项级数。2、级数的收敛与发散定义 设级数当n无限增大时，如果部分和数列有极限，即 ，则称该无穷级数是收敛的，这时极限叫做级数的和，并写成如果数列的极限不存在，则称该无穷级数发散，这时级数没有和。3、级数的基本性质性质1 级数各项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变。性质2 收敛级数可以逐项相加或相减。即设有两个收敛级数则级数。性质3 在级数前面加上（或去掉）有限项，其敛散性不变。（因此我们分析级数的敛散性时可忽略前面的一些项。）性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛，且和不变。4、级数收敛的必要条件重要定理 若级数收敛，则当时，一般项趋于零，即。所以一般项趋于零是级数收敛的必要条件。换言之，若，则级数发散。（这是判断一个级数发散常用的方法之一）二、正项级数及其判敛法 如果级数 的各项都是非负数（即，n=1，2，），则称这个级数为正项级数。1、比较判别法（会用） 设两个正项级数和，如果级数收敛，且则级数也收敛；如果级数发散，且则级数也发散。应熟记的几个级数的敛散性：（1）等比级数（几何级数）当时，等比级数收敛，且和为；当时，等比级数发散。（2）调和级数是发散的。（3）P级数当时，P级数发散；当时，P级数收敛。2、比值判敛法（掌握）定理 设正项级数有 则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时级数可能收敛，也可能发散。三、交错级数及其判敛法1、级数其中（n=1，2，）称为交错级数。2、交错级数判敛法（莱布尼兹判敛法） 如果交错级数满足下列条件：（1）； （2）。则交错级数收敛，且它的和，其余项的绝对值四、任意项级数、绝对收敛和条件收敛（了解）既有正项，又有负项的级数称为任意项级数。定理2 如果正项级数收敛，则任意项级数也收敛。定义 若正项级数收敛，则称任意项级数为绝对收敛；若任意项级数收敛，而正项级数发散，则称任意项级数为条件收敛。注意：（1）交错级数是任意项级数；（2）绝对收敛和条件收敛是对任意项级数来说的；（3）正项级数不存在绝对收敛和条件收敛。判定数项级数敛散性的方法：方法一：级数的前n项和的极限，即存在，则级数收敛，否则级数发散。如：（1）该级数收敛且和S = 1。（2）该级数发散。方法二：（步骤）（一）、首先考察，如果，则级数发散；（二）、如果，则级数敛散性不定，根据级数的不同类型，采用不同的判敛方法 ；1、正项级数：比值法、比较法；2、交错级数：用莱布尼兹判敛法；3、任意项级数：先判定由它的各项取绝对值后所得的正项级数的敛散性。如果正项级数是收敛的，则原任意项级数绝对收敛；如果正项级数发散，则原任意项级数可能是条件收敛，也可能发散。方法三：用级数的定义和性质判定级数的敛散性。例1 判定下列级数的敛散性：（1）解： 级数的通项为： 该级数发散。（2）解：此级数为正项级数。 该级数收敛。（3）解：此级数为正项级数。 该级数收敛。（4）（，）解：此级数为正项级数。 1）当，即时，级数收敛；2）当，即时，级数发散。（5）解：此级数为正项级数。分析：因为 不能用比值法判敛。但 又P级数是收敛的，收敛。（6）解： 又是少了第一项的调和级数，所以是发散的，原级数是发散的。例2 讨论级数（P0）的敛散性。解： 当时，收敛，级数绝对收敛；而当时，发散，又是交错级数，用布莱尼兹判别法： 1）；2）。 收敛。综上所述，级数（P0）1）当时，绝对收敛；2）当时，条件收敛。重要说明：级数的敛散性大家要熟记，正项级数的判敛法是重要的考试内容。五、幂级数（掌握）1、如果级数的各项都有是定义在某区间上的函数，则称该级数为函数项级数。函数项级数的全体收敛点称为它的收敛域。2、形如称为x的幂级数。3、幂级数的敛散性（1）根据等比级数可得幂级数的收敛域是（-1，1）。（2）幂级数收敛半径的求法；设幂级数如果相邻两项的系数有 则1）当时，幂级数在内绝对收敛，在端点处的敛散性需另行判定。称为收敛半径，记为R，即。2）当时，幂级数在内收敛。收敛半径。3）当时，幂级数仅在处收敛。收敛半径。4、收敛域为收敛区间（R，R）加上收敛的区间端点。5、幂级数的运算设幂级数 （R1，R1） （R2，R2）其中分别是它们的和函数，R1，R2分别是它们的收敛半径。则在（R，R）内（R=min（R1，R2），上述二收敛的幂级数可逐项相加或相减，即（R，R）6、幂级数的分析运算（重点掌握）设幂级数在（R，R）内收敛于s（x）。（1）幂级数的和函数s（x）在收敛区间（R，R）内是连续的。（2）幂级数在其收敛区间内可逐项求导。逐项求导后所得的幂级数与原级数的收敛半径相同。（3）幂级数在其收敛区间内可逐项积分。逐项积分后所得的幂级数与原级数的收敛半径相同。例1 求下列幂级数的收敛域（1）解： 收敛半径为R=1，收敛区间为（1，1）。当x = 1时，级数为，收敛，当x = 1时，级数为，收敛。 收敛域为1，1。重要说明：求收敛半径不用讨论端点的敛散性，求收敛域时要讨论端点的敛散性。（重点例题）例2 求幂函数的收敛区间及和函数。解：收敛半径为R = 1，收敛区间为（1，1）。和函数（这里利用了级数和 ，这是非常重要的级数和，大家一定要熟记它）（重点例题）例3 求级数在（1，1）内的和函数。解：设 两边对x求导， 两边积分 即即。六、函数展开成幂级数1、 设函数在含有x0的某个区间（a，b）上有直到n+1阶导数，则对于区间（a，b）内的任一点x，级数叫做函数f（x）的台劳级数。级数叫做函数f（x）的麦克劳林级数。2、函数展开成幂级数的方法只要求下述的间接展开法：就是利用几个常用函数的幂级数展开式以及幂级数的四则运算、分析运算，函数的复合，变量代换等，将所给函数展开成幂函数。几个常用函数的幂级数展开式：（1，1） （1，1）（重要）例1 将下列函数展为x的幂级数（麦克劳林级数）（1）解： （2）解： （2，2）(3) 解：（3，3）( )重要说明：求展开式一定要写收敛域例2、将展开为（x2）幂级数。解： （0，4）（ ）七、富里哀级数1、函数项级数称为三角级数，其中都是常数，称为三角级数的系数。2、一个周期为2的函数f（x），如果能展开成三角函数，即那么，以上公式称为尤拉富里哀公式，叫做函数f（x）的富里哀系数，简称富氏系数。由富氏系数所确定的三角级数称火函数的富里哀级数，简称富氏级数。3、展开条件狄里赫来定理 设f（x）是周期为2的函数，如果在区间上满足下列条件：（1）f（x）在上连续或只有有限个第一类间断点；（2）f（x）在上只有有限个极值点，则函数f（x）的富氏级数收敛，并且它的和函数：当x为f（x）的连续点时， = f（x）；当x为f（x）的间断点时， ；或时， 例1 设函数 不具体将f（x）展为富氏级数，回答下述问题：（1）f（x）的富氏级数在中是否收敛；（2）f（x）的富氏级数在处的和分别等于多少？解：作出函数f（x）在的图象，如图 y 0 - 0 x 0 - 函数满足狄里赫莱条件，f（x）的富氏级数在中收敛。又x=1，1是连续点又x=0是间断点八、将函数展为正弦级数和余弦级数（重点）1、奇函数与偶函数的富氏级数如果f（x）是周期为2的奇函数，则，。因此，奇函数f（x）的富氏级数只含正弦函数项，为称此级数为正弦级数。如果f（x）是周期为2的偶函数，则，。因此，偶函数f（x）的富氏级数只含余弦函数项，为称此级数为余弦级数。2、函数展为正弦级数和余弦级数（重要）重点参看书的例题；P293-297例5、例6。例2 将展为余弦级数。解：展为余弦级数三个部分的自学复习资料至此全部结束，祝考试好运！使用指南本复习参考资料应当与人手一册的综合练习册配套使用并服从于综合练习册。另外，请注意如下几点： 综合练习册是我们复习重点中的重点，请对照