矩阵的初等变换及应用.doc

目 录摘要.11 矩阵的初等变换.21.1矩阵的初等变换.21.2阶梯矩阵与最简化阶梯矩阵.31.3初等矩阵与初等变换关系.42 矩阵初等变换的应用.52.1齐次线性方程组的解空间.52.2求解线性方程组.62.3求可逆矩阵.82.4求极大线性无关组.92.5对称矩阵A的对角化.10参考文献.13致谢.13 矩阵的初等变换及应用【摘要】本文主要讲矩阵的初等变换与初等变换的广泛应用，初等变换包括行变换与列变换，主要以行变换为例，通过行变换将一个矩阵化成与之等价的简化阶梯矩阵用于求其次线性方程组的解空间，解方程组，判断矩阵是否可逆，若可逆求逆矩阵以及用初等变换法在中求极大线性无关组和对称矩阵A的对角化等等。【关键词】 矩阵 初等变换 应用【ABSTRACT】 this paper about the elementary transformation matrix with primary transpositions is widely, elementary transformation and transform matrix included, mainly transformation of line as an example, through the transformation of line into A matrix and the equivalent for the next step matrix simplify the solution of linear equations, the solution of equations, the space is reversible, if the judgement matrix inverse matrix and reversible elemtntary transformation in the maximal linear irrelevant for bisymmetric matrices and A group of diagonalization etc.【KEY-WORDS】 matrix ; elementary ; transformation矩阵的初等变换是矩阵中的一个相当重要的部分，是研究矩阵不可或缺的，初等变换虽然只包含简单的三种变换，但就是这三种简单的变换便可以将一个相当没有规则的矩阵简单化，从而解决许多复杂性的问题。1 矩阵的初等变换1.1 矩阵初等变换1.1.1 矩阵初等变换的一般定义对于一个一般的矩阵，通常情况下，都需要将矩阵简单化，化成一个与原来矩阵等价的阶梯形矩阵，因此就需要对该矩阵进行初等变换，对于初等变换，其定义如下：矩阵的初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：（1） 、交换矩阵的两行（列）；（2） 、用一个不为零的数乘以矩阵的某一行（列），也就是说用一个不等于零的数乘以矩阵某一行（列）的每一个元素；（3） 、用一个数乘以矩阵的某一行（列）后加到另一行，即用某一数乘以矩阵某一行（列）的每一个元素之后加到另一行（列）对应的元素上去。1.1.2 矩阵初等变换的目的在介绍矩阵初等变换的目的之前，先看关于矩阵初等变换的一个重要的性质：性质：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩矩阵初等变换的性质明显的揭示了初等变换的目的，其主要目的就是将该讨论的矩阵化成与它等价的简化阶梯形矩阵，根据简化阶梯形矩阵直观的看出矩阵的秩，从而根据秩来判别一个线性方程组是否有解；也可以判别出一个矩阵是否有逆矩阵，其逆矩阵可以用初等变换求得，初等变换还可以用以分块矩阵求逆矩阵；此外，初等变换也可以用以求极大线性无关组以及就对称矩阵的对角化矩阵等等。1.2 阶梯形矩阵与最简化阶梯形矩阵矩阵的初等变换分有行变换与列变换，通常情况下都习惯用行变换将一个矩阵化成阶梯形或最简化阶梯形矩阵，因此，在这阶梯形矩阵与最简化阶梯形矩阵都是对于行而言。1.2.1阶梯形矩阵的一般定义满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵（1） 、矩阵的零行都排在非零行的下方；（2） 、各个非零行的首非零元的列标随着行标的递增而严格增大。譬如：就为简化阶梯形矩阵，而在求矩阵的秩时，只需到此就可判断。1.2.2 最简化阶梯形矩阵的定义满足下列条件的行阶梯形矩阵称为行最简化阶梯形矩阵（1） 、非零行的首非零元都是1；（2） 、首非零元所在列的其余元素都是零。譬如：为最简化阶梯形矩阵1.2.3 把矩阵化成最简化阶梯形矩阵的一般步骤（主要原理就是初等变换）：（1）先把第一行的第一个元素化为1，然后将其下方的所有元素化为0；再将第二行的第一个非零元素化为1，然后将其下方的所有元素化为0；直到把矩阵化为各行第一个非零元素均为1的阶梯形矩阵。（2）把最后一个非零行的第一个元素的所有元素均化为0，再将倒数第二个非零行的第一个非零元素上方的所有元素均化为0，直到把第二行第一个非零元素上方的元素化为0。1.2.4 阶梯形矩阵的作用行阶梯形矩阵主要是通过行的初等变换而来，其作用一般是求矩阵的秩。1.3初等矩阵与初等变换关系讨论1.3.1初等矩阵定义对单位矩阵I施行一次行（列）的初等变换得到的矩阵初等矩阵譬如：，都是初等矩阵，它们都是对四阶的单位矩阵施行初等变换而来。1.3.2 初等矩阵与初等变换关系初等矩阵与初等变换关系密切，对于二者的关系存在以下一个定理定理：对某一矩阵A施行行（列）初等变换，相当于对该矩阵左（右）乘以一个相应的初等矩阵。这也就告诉我们：初等变换与初等矩阵在处理矩阵A时，他们所达到的效果是一致性的，下面的简单例题就揭示了一致性例1 将矩阵A=化成最简化阶梯形矩阵解：对矩阵A进行行初等变换A=I由于是对行施行的初等变换化成了最简化阶梯形矩阵，同样，对于a、b、c、d、e五步变换，也可以采取对矩阵A分别左乘以相应的五个初等矩阵E、F、G、H、K，使得KHGFEA=I,即=，其中从等式左边倒数第二分别是E、F、G、H、K。因此，说明初等变换与初等矩阵在处理矩阵A时的效果是一致的。2 矩阵初等变换的应用矩阵初等变换的应用很广，在讨论齐次线性方程组的解空间，求解线性方程组，矩阵的逆矩阵分块矩阵，极大线性无关组及矩阵的对角化等等都需要用到矩阵的初等变换，以下就是初等变换的实际应用。2.1齐次线性方程组的解空间2.1.1 齐次方程组基础解系定义及解空间维数 对于齐次线性方程组基础解系的一般定义如下：一般地，设是齐次线性方程组 的个解向量，既有 ，如果满足条件：（1） 它们的线性表示式 （*） 给出 的所有解向量，其中是常数（2）它们间不能相互线性表示。则称这组解向量是齐次线性方程组 的一个基础解系，由基础解系表示的解（*） 称为方程组的通解。解空间的维数与齐次线性方程组的一个基础解系所含的个数是一致的，也就是若齐次方程组的基础解系的解向量个数是，那么它的解空间的维数也为个。解空间的维数与齐次线性方程组的的系数矩阵有如下关系：若元未知量齐次线性方程组的的系数矩阵的秩为，那么解空间的维数就为注：当时，齐次线性方程组只有零解。例2、求解齐次线性方程组解：对该方程组的系数矩阵进行初等行变换因此可以看出与所在的系数为1，又由于系数矩阵的秩为2，故解空间的维数为3，所以可取作自由变量，令，和，以及，得到一个基础解系：，故原方程组的通解为 （为任意常数）说明：本例在对矩阵作初等变换时如果取其它的未知数作自由变量，会得到不同的基础解系，所以方程组的基础解系不是唯一的，但基础解系的个数是唯一的。2.2 求解线性方程组 2.2.1非齐次线性方程组的解结构当一个线性方程组有解时，关于该方程组的解结构有如下定理：定理：非齐次线性方程组的通解（全部解）为齐次方程组 的通解加上的一个特解，也就是说若是的一个特解，而的通解为 （其中为 的一个基础解系），那么的通解为+。2.2.2矩阵的秩与线性方程组的解在求解线性方程组时，如何知道一个线性方程组是否有解呢？这就与线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩有关了，来看下面的定理：定理：设A是阶矩阵b是阶矩阵，矩阵A的秩R（A）=，则方程组的解与矩阵的秩有如下关系：（1） 、非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即R(A)=R(Ab)=。（2） 、若R(Ab)=，则当时方程组有唯一解，当时方程组有无穷解。（3） 、若R(A)R(Ab)，则方程组无解。（4） 、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。请看下面的例子：1） 线性方程组无解的情况例3、求解线性方程组解：对增广矩阵作行初等变换所以可知该方程组系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，故方程组无解。注：根据秩来判别方程组是否有解是一种非常重要的方法。2） 方程组有唯一解例4、求解非齐次线性方程组，其中A=，b=（Ab）=所以，R（A）=R（Ab）=2，故方程组有无穷解，先看该方程组的齐次线性方程组，知：可取与作自由变量，令=1，=0及=0，=1导出的基础解系、，再求的一个特解，令自由变量=0得出=-2，=2，即，所以方程组的通解为+=+，（为任意常数）说明：当方程组有无穷多解时，如果未知自由变量选取不同，则会得到不同的基础解系和特解，因此，通解的形式不是唯一的，像例4，若选其它未知数作自由变量，又会得到不同的通解形式。例5、考虑线性方程组，这里，证明：这个方程组有解，并且它的系数矩阵的秩是3。证明：因为，对该方程组的系数矩阵进行初等行变换，因此该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，且都是3，所以系数方程组有解。2.3 求可逆矩阵2.3.1可逆矩阵定义设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使AB=BA=I则称方阵B是A的逆矩阵，记A=B。（I是单位矩阵）2.3.2 用初等变换法求逆矩阵的一般方法因为A可逆，所以A可以表示成初等矩阵E，E的积：A=EE=AEEI ，于是E，EA=I （*）因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵所以（*）式表明，可以通过对A的行施行初等变换将A化为单位矩阵I，用A又乘（*）式两端得A=E，EI （*）比较等式（*）和（*）得出以下求逆矩阵的方法：在通过初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I时，对单位矩阵I施行同样的初等变换，就得到A的逆矩阵A，即（AI）（IA）。2.3.3 n阶矩阵A可逆的判定方式1） n阶矩阵A可逆，当且仅当它可以写成初等矩阵的乘积2） n阶矩阵A可逆，当且仅当A的秩等于n3） n阶矩阵A可逆，当且仅当det A0例6、设A=，问A是否存在？解：运用初等变换法：由此可知R（A）=23，所以A不存在。注：本题说明具体在用初等变换法求逆矩阵时，可以不必事先知道矩阵是否可逆。例7、已知B=，求B。解：运用初等变换法所以B的逆矩阵B=。说明：求逆矩阵的方法除初等变换法之外，还可以应用伴随矩阵来求一个矩阵的逆矩阵，但伴随矩阵求逆矩阵一般是当矩阵的阶数比较小时可应用，而当阶数比较大时，计算量很大，一般不采取此方法，而是用初等变换发来求逆矩阵。2.3.4 分块矩阵求逆矩阵矩阵的运算通常是一种比较复杂的运算，人们为了简化这种运算，就引入的矩阵的分块，矩阵的分块在处理高阶运算时通常被用到，分块矩阵也可以用于求逆矩阵,请看下面的例子：例8、已知A和D都是可逆矩阵，求下列分块矩阵的逆矩阵。解：设A和D分别是m、n阶矩阵，对所求分块矩阵进行初等变换，即将第二行左乘以-BD加到第一行上去：，再用A和D分别乘以第一行和及第二行得到所以，所求逆矩阵为。说明：初等变换不仅可以用于一般的矩阵求逆，在对分块矩阵求逆也同样适用，分块矩阵的初等变换法与普通的初等变换法类似。（可参考 姚慕生 编著高等代数学第97页有关分块矩阵的初等变换方法）2.4求极大线性无关组2.4.1极大线性无关组的定义 若有一个线性无关的部分组，能够表示整个向量中的任何向量，则称它为整个向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组。2.4.2矩阵与行（列）空间维数定理 定理：一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数，等于这个矩阵的秩。由于这一事实，我们也把一个矩阵的秩定义为它的行向量组的极大无关组所含向量的个数；也定义为它的列向量组的极大无关组所含向量的个数。2.4.3用初等变换求极大无关组的例子初等变换求极大无关组有一下一个事实定理：对矩阵施行初等行（列）变换，不改变矩阵列（行）向量之间的线性关系。例9、求5个向量构成的的向量组=（1，2，3，2），=（-1，2，1，-2），=（1，-1，-1，1），=（-2，1，-2，-5），=（1，-3，-2，2）的极大无关组，并用极大无关组线性表示其它向量。解：把所有的向量写成列向量的形式，按顺序排成初等矩阵然后作初等行变换：所以，由最后一行可知：第2、3、5列构成极大无关组，用来表示第1、4列，因此可知，原向量组中、是一个极大无关组，并且有线性表示式：=-5-4，=7+4。说明：本题在对矩阵作初等行变换时，如果选取的列不同，会得到不同的极大无关组，可见极大无关组并不是唯一的，但是最终结果的个数是唯一的；此外，我们也可以看出，该矩阵列向量的维数是3，若是把所有的向量写成行向量的形式，按顺序排成初等矩阵然后作初等列变换，也同样可以得出行向量的维数是3，所以，行向量与列向量是等价的。2.5对称矩阵A的对角化2.5.1对称矩阵A对角化定理对称矩阵是一种非常特殊的矩阵，并且也是相当美的矩阵，在矩阵的二次型中，就需要将对称矩阵A进行对角化，由此，存在以下定理：定理：设A=（）是数域F上一个n阶对称矩阵，总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得PAP=，即F上每一个n阶对称矩阵都与一个对角矩阵合同。2.5.2求非奇异矩阵P的方法