概率统计的起源与发展

自然界中出现的现象可以分为两大类 一 确定性现象 即必然会发生的现象 二 随机现象 可能发生也可能不发生的现象 狄青平乱公元1052年4月 侬智高起兵反宋 当朝皇帝宋仁宗决定派遣大将狄青去平定叛乱 当时路途艰险 军心不稳 狄青取胜的把握不大 为了鼓舞士气 狄青便设坛拜神 说 这次出兵讨伐叛军 胜败没有把握 是吉是凶 只好由神明决定了 是吉的话 那我随便掷100个铜钱 神明保佑 正面定然会全部朝上 只要有一个背面朝上 那我们就难以制敌 只好回朝了 左右官员诚惶诚恐 劝道 大将军 运气再好 100个铜钱 总不会个个正面朝上 如果有背面朝上 岂不动摇军心 如果不战而回朝 那更是违抗圣旨 请大将军三思而行 此时的狄青已是胸有成竹 叫心腹拿来一袋铜钱 在千万人的注视下 举手一挥 把铜钱全部抛向空中 100个铜钱居然鬼使神差的全部朝上 顿时 全军欢呼 声音响彻山野 由于士兵个个认定神灵护佑 战斗中奋勇争先 仅一次战役 就收回了失地 大功告成 那么 那100个铜钱究竟是怎么回事呢 概率故事 公元1814年 法国数学家拉普拉斯 Laplace1794 1827 在他的新作 概率的哲学探讨 一书中 记载了一下有趣的统计 他根据伦敦 彼得堡 柏林和全法国的统计资料 得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22 21 即在全体出生婴儿中 男婴占51 2 女婴占48 8 可奇怪的是 当他统计1745 1784整整四十年间巴黎男婴出生率时 却得到了另一个比是25 24 男婴占51 02 与前者相差0 14 对于这千分之一点四的微小差异 拉普拉斯感到困惑不解 他深信自然规律 他觉得这千分之一点四的后面 一定有深刻的因素 于是 他深入进行调查研究 终于发现 当时巴黎人 重女轻男 有抛弃男婴的陋俗 以至于歪曲了出生率的真相 经过修正 巴黎的男女婴的出生比率依然是22 21 男女出生比例 目前世界男女比例 21 20 而中国目前男女出生比例 120 100 预计到2020年将会出现3000万 光棍 卡尔 邓尼茨 第二次世界大战期间德国的著名军事将领 曾任潜艇部队司令 海军总司令 第三帝国国家元首 武装部队统帅 德国海军元帅 是德意志民族国家社会党党员 希特勒死后接任德国国家元首 德国狼群战术创始人 1943年以前 在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击 当时 英美两国限于实力 无力增派更多的护航舰 一时间 德军的 潜艇战 搞得盟军焦头烂额 一名优秀数学家 10个师 为此 有位美国海军将领专门去请教了几位数学家 数学家们运用概率论分析后分析 舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件 从数学角度来看这一问题 它具有一定的规律性 一定数量的船 为100艘 编队规模越小 编次就越多 为每次20艘 就要有5个编次 编次越多 与敌人相遇的概率就越大 美国海军接受了数学家的建议 命令舰队在指定海域集合 再集体通过危险海域 然后各自驶向预定港口 结果奇迹出现了 盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25 降为1 大大减少了损失 保证了物资的及时供应 概率天气预报是用概率值表示预报量出现可能性的大小 它所提供的不是某种天气现象的 有 或 无 某种气象要素值的 大 或 小 而是天气现象出现的可能性有多大 如对降水的预报 传统的天气预报一般预报有雨或无雨 而概率预报则给出可能出现降水的百分数 百分数越大 出现降水的可能性越大 一般来讲 概率值小于或等于30 可认为基本不会降水 概率值在30 60 降水可能发生 但可能性较小 概率在60 70 降水可能性很大 概率值大于70 有降水发生 概率天气预报既反映了天气变化确定性的一面 又反映了天气变化的不确定性和不确定程度 在许多情况下 这种预报形式更能适应经济活动和军事活动中决策的需要 概率天气预报 概率论的起源 赌博 德 梅勒是一位军人 语言学家 古典学者 同时也是一个有能力 有经验的赌徒 他经常玩骰子和纸牌 虽然他不是一个全职的数学家 但他经常从数学的角度提出和思考赌博中出现的一些有深度的问题 点问题 就是其中之一 一次 德 梅勒和他的一个朋友每人出30个金币 两人各自选取一个点数 谁选择的点数首先被掷出3次 谁就赢得全部的赌注 在游戏进行了一会儿后 德 梅勒选择的点数 5 出现了2次 而他的朋友选择的点数 3 只出现了一次 这时候 德 梅勒由于国王召见必须离开 游戏不得不停止 他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢 故事背景 德 梅勒的朋友认为 既然掷出他选择的点数的机会是德 梅勒的一半 那么他该拿到德 梅勒所得的一半 即他拿20个金币 德 梅勒拿40个金币 然而德 梅勒争执到 再掷一次骰子 对他来说最糟糕的事是他将失去他的优势 游戏是平局 每人都得到相等的30个金币 但如果掷出的是 5 他就赢了 并可拿走全部的60个金币 在下一次掷骰子之前 他实际上已经拥有了30个金币 他还有50 的机会赢得另外30个金币 所以 他应分得45个金币 他们对这一问题的看法和计算方法不一致 为此而争论不休 后来德 梅勒把这个问题告诉了帕斯卡 帕斯卡对此也很感兴趣 但也难住了帕斯卡 他们两人多再赌两局即可分出胜负 这两局有4种可能的结果 5 5 5 3 3 5 3 3 前3种情况都是甲最后获胜 只有最后一种情况才是乙取胜 所以赌注应按3 1的比例分配 即甲得45个金币 乙得15个 帕斯卡又写信告诉了费马 于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信 总共用了三年的时间 解决了这一问题 在概率论的历史上 一般的传统观点则把这一事件看作为数学概率论的起始标志 三年后 也就是1657年 荷兰著名的天文 物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下 试图总结出更一般的规律 结果写成了 论掷骰子游戏中的计算 一书 这就是最早的概率论著作 概率论诞生了 布莱兹 帕斯卡 BlaisePascal 1623年6月19日 1662年8月19日 法国数学家 物理学家 宗教哲学家 帕斯卡早期进行自然和应用科学的研究 对机械计算器的制造和流体的研究作出重要贡献 扩展托里切利的工作 澄清了压强和真空的概念 帕斯卡还有力地为科学方法辩护 数学上 帕斯卡促成了两个重要的新研究领域 他16岁写出一篇题为射影几何的论文 1654年开始与皮埃尔 德 费马通信 讨论概率论 大大影响了现代经济学和社会科学的发展 费马 Fermat Pierrede1601 1665 法国数学家 被誉为 业余数学家之王 费马一生从未受过专门的数学教育 数学研究也不过是业余之爱好 然而 在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌 他是解析几何的发明者之一 对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿 莱布尼茨 概率论的主要创始人 以及独承17世纪数论天地的人 此外 费马对物理学也有重要贡献 一代数学大才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家 荷兰物理学家 天文学家 数学家 1629年4月14日生于海牙 1695年7月8日卒于同地 1645 1647年在莱顿大学学习法律与数学 1647 1649年转入布雷达学院深造 在阿基米德的著作和R 笛卡尔等人的影响下 致力于力学 光学 天文学及数学的研究 1663年选为英国皇家学会成员 1666年选为刚成立的法国科学院的成员 惠更斯首先发明了摆钟并对有关时计的若干种摆 单摆 复摆 旋轮摆等 作了研究 这对当时天文与航行上所用和后来时计的发展起了重要的作用 惠更斯是创建经典力学的先驱之一 惠更斯是经典物理光学的奠基人 他提出的光的波动理论是以 光是以太媒介中的波动 为前提和波的惠更斯原理为核心的光波理论 在数学方面 惠更斯主要是在1658年求得摆线 旋轮线 曲线的长度 在天文学方面 他发现了土星的光环 土卫六和猎户星云等 其他还有对空气泵和气压计的改进 提出测微计的初步设想 发明钟表的弹簧游丝 改进测温术 对引力及地球形状的研究 提出各种动力机的设想等工作与成就 光论 是他的经典名著 统计资料 英国人平均寿命78 5岁 共24亿750万秒 人的一生心跳25亿次 乌龟5亿次 一生呼吸约10亿次 一生眨眼4亿次 一生吃掉的东西 4头牛 15头猪 21只羊 1200只鸡 13000只鸡蛋 未出生的鸡 5000多只苹果 1万多个胡萝卜 3吨面包 630公斤巧克力 2吨葡萄酒 11吨啤酒 全球随时都有4500万醉鬼 18吨的牛奶 75000杯茶 相当于装满一个浴缸的罐头豆子 一生总共吃下约50吨食物 当然 这是指世界各地人们的平均数 考虑到很多穷人没什么吃的 富人应该吃的更多 每天说4300个字 一生大约说1亿2千多万个字词 大多没什么意义 一生读报纸1 5吨 约2500份 一生读500本书 考虑到有40 的人从来不看书 爱读书的人 一生读书超过1000本 一个人一生读的书和报纸 至少需要24棵树 你种了几棵 一生2900多天在看电视 按24小时算 差不多在电视机前不睡觉不说话 枯坐了8年 统计概率 政治算术 统计学的起源 稍微关心一点时事政治的人 都能经常看到各种媒体上公布的各种各样的统计数字 统计数字已经是现代社会不可缺少的内容了 它会使我们对社会的状况有一个整体的 定量的了解 而且为各国的比较与历史的演进提供了素材 近代的统计学来源于十七世纪的国势学 这门学问主要是描述国家的状况 借助于表格和数字使描述一目了然 对于各国的政府无疑是决策的重要依据 对现代统计学的形成有较大贡献的人要推英国人格劳特 1620年 1674年 他对生命统计 保险统计和经济统计都进行研究 1662年 格劳特使用调查员调查伦敦市的死亡人数 是历史上最早出现的统计推断 而且他据此做出第一个现在人寿保险公司必备的死亡率表 出版了 对死亡表的自然观察和政治观察 一书 1690年 英国著名经济学家威廉 配第沿袭格劳特的方法 通过统计进行社会之间的相互比较 它的结果在 政治算术 一书中发表 统计应用 中国大陆的人口总数为126583万人 包括250万现役军人在内 证明了计划生育和中国自改革开放以来经济发展和社会发展对人口出生率的抑制 除国家的人口控制政策外 市场经济的竞争性 人力资本和教育费用的提高等也不同程度促使中国人口出生率的迅速下降 自1998年开始 中国大陆人口的自然增长率就下降到了10 以下 为9 53 1999年进一步下降到了8 77 因而 即使将中国大陆2001年人口自然增长率估计为8 性别构成 中国当前的人口性别比为106 74 不同文化程度人口的构成 中国总人口文盲率下降到了7 华北和东北地区的文盲率较低 绝大多数省份都在5 以下 而西南和西北地区的文盲率却较高 西藏的文盲率甚至于在32 50 左右 其他如青海 甘肃 宁夏 贵州 云南 安徽的文盲率都在10 以上 中国15 64岁劳动力人口在总人口中所占的比重达到了70 15 农村人口的老龄化水平已经超过了城镇 农村为7 35 城镇为6 30 农村人口老龄化水平的提高 已经使农村老人的赡养问题凸现了出来 2000年11月 五普 表明 上海乡村的老龄化水平已经达到了13 73 浙江达到了10 51 江苏达到了9 73 山东达到了9 15 北 京市达到了8 35 重庆市达到了8 04 国家举行重大活动需要了解几百年甚至上千年的天气资料 以避免遭遇恶劣天气的影响 例如 2008年北京奥运会的举办时间为8月8日至8月24日 这是因为根据统计资料显示 北京这期间遭遇恶劣天气的概率非常低 统计概率对人们的观念的影响是深远的 自从十九世纪二三十年代凯特勒开创了统计概率以来 人们对统计数据规律性的信任超过了以往的任何一个时代 国家以各种报表来了解工业 农业 国防 人口 消费 犯罪等方面的资料 制定银行利息的高低需要消费指数和通货膨胀率 如果通货膨胀率高 消费指数低 银行就会考虑提高利率 反之亦然 今天 统计概率已经渗透到社会科学 自然科学的方方面面 特别是计算机的广泛应用 使社会统计工作得以全面展开 我们耳熟能详的食品检测报告 人口统计 犯罪统计 国民生产总值的统计 国家和公司为了了解民意所进行的民意调查 市场调查 无一不涉及统计概率 同时 概率统计已经变成现代人理念与信念体系中的一部分 比如 对于美国大选 可以通过民意调查 用概率统计的方式计算某个候选人的受欢迎程度 而反过来 这种数据又在一定程度上左右人们的好恶 只是民意倾向变化 而影响到实际的选举过程 这说明概率统计的观念也影响到每一个人的行为和生活方式 为了使大家更直观的了解概率论的应用 举一个概率论在社会调查中应用的例子 对于某些被调查不愿公开回答的问题 运用概率论的方法可以得到较准确的结论 对一批即将出国留学的学生进行调查 确定学业完成后愿意回国者所占的比例 对于 完成学业后 你是否会回国 这一问题 很多人不希望透露自己的真实想法 为了得到正确的结论 我们将问题稍加调整 将 完成学业后 你是否会回国 定位问题a 另设问题b 你的年龄是奇数 将a b组成一组问题 让被调查者抛硬币决定回答问题a或b 并且在问卷上不标示被调查者回答的是问题a还是问题b 解除了顾虑后 被调查者都会给出真实的想法 统计学小例题 运用概率论方法 我们就可以从调查结果中得到我们想知道的回国者比例 假定有300人接受调查 结果有130个 是 因为被调查者回答问题a b的概率各是50 所以将各有约150人回答a或b问题 又被调查者年龄是奇数的概率各是50 所以150个回答b问题的人中 约有75个 是 那么130个 是 的答案中 约有55个 是 是问题a的答案 于是我们就可以得到完成学业后愿意回国者的比例约55 150即11 30 300人 150人回答a 150人回答b 75人回答是 75人回答否 共有130人回答是 55人回答是 三扇门问题 该问题来自于美国电视娱乐节目 让我们做个交易 也称为 汽车与山羊 的问题 主持人玛莉莲的智商是228 是智商吉尼斯纪录的保持者 她对这一问题的的解答是应该换 因为换了以后就有2 3的概率赢得汽车 不换只有1 3的概率 她的这一回答引起轩然大波 有90 的反对者 认为她的回答太荒谬了 甚至有人说如果这个解答代表美国人的智力 那美国就没有希望了 因为知觉告诉人们既然参赛者是从三扇门中人选一扇 那么一开始的概率是1 3 当主持人打开有山羊的3号门后 那1号与2号门有汽车的概率就都是1 2 完全没有必要改变选择 在后面的节目中 玛莉莲对她的结论给予开玩笑式的解释 加入当主持人打开那个有山羊的门后 有外星人突然到台上选 他在两个门中选择 选中汽车的概率确实都是50 但你不是刚到 你是有优势的 因为主持人已经帮你做了预选 你换了以后概率就有1 3变到2 3了 但反对者却更多 其中包括了全国健康机构统计学家 国防情报中心的副主任 著名的匈牙利数学家保罗埃尔笛希 现在主持人手中有52张扑克牌 如果你抽到黑桃A就赢 现在你随机抽了一棵牌 然后主持人慢慢的把手中50张不是黑桃A的牌打开 请问你会不会做出选择 重新选主持人手中没有打开的扑克牌 显然你手中牌是黑桃A的概率为1 52 黑桃A在主持人手中的概率为51 52 当主持人替你去掉不是黑桃A的牌 那剩下的那棵牌是黑桃A的概率为依然是51 52 当然应该换牌 直觉固然重要 但有时并不可靠 问题4 一个人投掷一枚均匀的硬币 前49次都出现的是正面 第50次出现正面的可能性多大 问题5 有个女的生了双胞胎 双卵的 问两个都是男孩的概率和1男1女的概率还有两个都是女的的概率各占多少 问题2 假设你在参加一个由50人组成的婚礼 有人或许会问 我想知道这里两个人的生日一样的概率是多少 此处的一样指的是同一天生日 如5月5日 并非指出生时间完全相同 思考一下 问题3 齐鲁风采乐透奖 是从一到三十中选七个数 中一等奖的概率是多少 生活就是一场冒险 日常生活中出现一些危险是难免的 问题是遭遇某种危险的概率有多大 一般说来 如果遭遇某种危险的概率低于十万分之一 我们还能坦然视之 但如果危险概率提高到万分之一 我们就得小心了 每年都可能遇到的危险机会有 受伤 危险概率是1 3 生活中的概率 中国每年交通事故50万起 每年因交通事故所造成的经济损失达数百亿元 车祸 危险概率是1 12 死于车祸 危险概率是1 5000 因交通事故死亡人数均超过10万人 相当于一个小型县 居世界第一 据统计数据表明 每5分钟就有一人丧身车轮 每1分钟都会有一人因为交通事故而伤残 心脏病突然发作 如果您已超过35岁 危险概率是1 77 死于心脏病 危险慨率是1 340 受到致命武器的攻击 危险概率是1 260 死于火灾 危险概率是1 50000 自杀 危险概率分别是1 20000 女性 和15000 中国每两分钟之内就有一人自杀死亡 十人自杀未遂 每年死于自杀约三十万人 至少250万到350万之间的人自杀未遂 溺水而死 危险概率是1