1991-2013年全国初中数学联合数学竞赛试题及答案(word版本).doc

1 一九九一年 第一试 一 选择题一 选择题 本题共有 8 个小题 每小题都给出了 A B C D 四个答案结论 其中只有一个是正确的 请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 设等式在实数范围内成立 其中yaaxayaaxa a x y是两两不同的实数 则的值是 22 22 3 yxyx yxyx A 3 B C 2 D 3 1 3 5 答 如图 AB EF CD 已知AB 20 CD 80 BC 100 那么EF的值是 A 10 B 12 C 16 D 18 答 方程的解是01 2 xx A B 2 51 2 51 C 或 D 2 51 2 51 2 51 答 已知 n 是自然数 那么 的值 19911991 2 1 11 nn x n xx 1 2 是 1 1991 1 1991 1991 1 n 1 1991 1 n 答 若 其中 为自然数 n 为使得等式成立M n 1210099321 的最大的自然数 则 能被 整除 但不能被 整除 2 能被 整除 但不能被 整除 能被 整除 但不能被 整除 不能被 整除 也不能被 整除 答 若a c d是整数 b是正整数 且满足 cba dcb 那么adc 的最大值是dcba 1 5 0 答 如图 正方形OPQR内接于 ABC 已知 AOR BOP和 CRQ 的面积 分别是 和 那么 正方形OPQR的边长是1 1 S3 2 S1 3 S 2 3 23 答 在锐角 ABC中 ABC的外接圆半径1 ACcAB 60 A 1 则R c 2 0 2 D c 2 答 二 填空题二 填空题 是平行四边形ABCD中BC边的中点 AE交对角线BD于G 如果 BEG的面积是 则平行四边形ABCD的面积是 已知关于x的一元二次方程没有实数解 甲由于看错了0 2 cbxax 二次项系数 误求得两根为 和 乙由于看错了某一项系数的符号 误求得 两根为 和 那么 么 a cb32 3 设m n p q为非负数 且对一切x 恒成 q p n m x x x x 1 1 1 立 则 q pnm 22 2 四边形ABCD中 ABC BCD AB BC 135 120 6 35 CD 6 则AD 1 1 S 1 3 S 3 2 S 3 第二试 x y x y x y y x 四个数中的三个又相同的数值 求出所有具有这样性质的数对 x y 二 ABC中 AB AC BC D点在BC上 E点在BA的延长线上 且 BD BE AC BDE的外接圆与 ABC的外接圆交于F点 如图 求证 BF AF CF 三 三 将正方形ABCD分割为 个相等的小方格 n是自然数 把相对的 2 n 顶点A C染成红色 把B D染成蓝色 其他交点任意染成红 蓝两色中的一 种颜色 证明 恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数 120 135 4 一九九二年一九九二年 第一试第一试 一一 选择题选择题 本题共有 8 个题 每小题都给出了 A B C D 四个结论 其中只有一个是 正确的 请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 1 满足的非负整数的个数是1 abba ba A 1 B 2 C 3 D 4 2 若是一元二次方程的根 则判别式与 0 x 0 0 2 acbxaxacb4 2 平方式的关系是 2 0 2 baxM A B C D 不确定 M M M 3 若 则的个位数字是0113 2 xx 44 xx A 1 B 3 C 5 D 7 答 4 在半径为 1 的圆中有一内接多边形 若它的边长皆大于 1 且小于 则这2 个多边形的边数必为 A 7 B 6 C 5 D 4 答 5 如图 正比例函数的图像与反比例函 0 aaxyxy和 数 的图像分别相交于 A 点和 C 点 若和 0 k x k yAOBRt COD 的面积分别为 S1和 S2 则 S1与 S2的关系是 A B 21 SS 21 SS C D 不确定 21 SS 答 6 在一个由个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为 4 的88 圆 若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 把圆周经过的所有 1 S 小方格的圆内部分的面积之和记为 则的整数部分是 2 S 2 1 S S A 0 B 1 C 2 D 3 答 5 7 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB CD AB 2CD 又 E 是底边 AB 上一点 且 FE FB AC FA AB 60A 则 AE EB 等于 A 1 2 B 1 3 C 2 5 D 3 10 答 8 设均为正整数 且 9321 xxxx 则当的值最大时 921 xxx 220 921 xxx 54321 xxxxx 的最小值是 19 xx A 8 B 9 C 10 D 11 答 二 填空题 1 若一等腰三角形的底边上的高等于 18cm 腰上的中线等 15cm 则这个等腰 三角形的面积等于 2 若 则的最大值是 0 x x xxx 442 11 3 在中 的平分线相交于点 又于点 ABC BAC 和 90 PABPE E 若 则 3 2 ACBC EBAE 4 若都是正实数 且 则 ba 0 111 baba 33 b a a b 第二试第二试 一 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根 当06 2 axx 这样的三角形只有一个时 求的取值范围 a 二 如图 在中 是底边上一点 是线段上一ABC DACAB BCEAD 点 且 ACEDBED 2 求证 CDBD2 三 某个信封上的两个邮政编码 M 和 N 均由 0 1 2 3 5 6 这六个不 同数字组成 现有四个编码如下 A 320651B 105263 C 612305D 316250 6 已知编码 A B C D 各恰有两个数字的位置与 M 和 N 相同 D 恰有三个 数字的位置与 M 和 N 相同 试求 M 和 N 一九九三年一九九三年 第一试第一试 一一 选择题选择题 本题共有 8 个小题 每小题都给出了 A B C D 四个结论 其中只有一个 是正确的 请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 1 多项式除以的余式是1 612 xx1 2 x A 1 B 1 C D 1 x1 x 2 对于命题 内角相等的圆内接五边形是正五边形 内角相等的圆内接四边形是正四边形 以下四个结论中正确的是 A 都对 B 对 错 C 错 对 D 都错 3 设是实数 下列四个结论 x11 xxy 没有最小值 y 只有一个使取到最小值 xy 有有限多个 不止一个 使取到最大值 xy 有无穷多个使取到最小值 xy 其中正确的是 A B C D 4 实数满足方程组 54321 xxxxx 5215 4154 3543 2432 1321 axxx axxx axxx axxx axxx 其中是实常数 且 则的 54321 aaaaa 54321 aaaaa 54321 xxxxx 大小顺序是 A B 54321 xxxxx 53124 xxxxx C D 52413 xxxxx 24135 xxxxx 5 不等式的整数解的个解73 1 1 2 xxx 7 A 等于 4 B 小于 4 C 大于 5 D 等于 5 6 在中 ABC BCAOOA 是垂心是钝角 则的值是 cos OCBOBC A B 2 2 2 2 C D 2 3 2 1 答 7 锐角三角 ABC 的三边是 a b c 它的外心到三边的距离分 别为 m n p 那么 m n p 等于 A B cba 1 1 1 cba C D CBAcos cos cosCBAsin sin sin 答 8 可以化简成 1 333 3 9 1 9 2 9 4 3 A B C D 12 3 33 12 3 33 12 3 12 3 答 二二 填空题填空题 1 当 x 变化时 分式的最小值是 1 563 2 2 1 2 xx xx 2 放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行 如果最左面的盒里有 7 个小球 且 每四个相邻的盒里共有 30 个小球 那么最右面的盒里有 个小球 3 若方程有四个非零实根 且它们在数轴上对应的四个点kxx 4 1 22 等距排列 则 k 4 锐角三角形 ABC 中 以 BC 边为直径作圆 与 AB 30A AC 分别交于 D E 连接 DE 把三角形 ABC 分成三角形 ADE 与四 边形 BDEC 设它们的面积分别为 S1 S2 则 S1 S2 第二试第二试 一 设 H 是等腰三角形 ABC 垂心 在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至 底边 BC 的距离变小 这时乘积的值变小 变大 还是不 HBCABC SS 变 证明你的结论 8 二 中 BC 5 AC 12 AB 13 在边 AB AC 上分别取点 D E 使线段ABC DE 将分成面积相等的两部分 试求这样的线段 DE 的最小长度 ABC 三 已知方程分别各有两个整数根及 且 00 22 bcxxcbxx及 21 x x 21 x x 0 21 xx0 21 x x 1 求证 0 0 0 0 2121 xxxx 2 求证 1 bc1 b 3 求所有可能的值 cb 9 1994年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 第一试 4月3日上午8 30 9 30 考生注意 本试共两道大题 满分考生注意 本试共两道大题 满分80分分 一 选择题 本题满分一 选择题 本题满分48分 每小题分 每小题6分 分 本题共有8个小题都给出了A B C D 四个结论 其中只有一个 是正确的 请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内 每小题选对得6分 不选 选错或选出的代表字母超过一个 不论是否 写在圆括号内 一律得0分 答 2 设a b c是不全相等的任意实数 若x a2 bc y b2 ca z c2 ab 则 x y z A 都不小于0 B 都不大于0 C 至少有一个小0于D 至少有一个大于0 答 3 如图1所示 半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上 且与其余 三边BC CD DA相切 若BC 2 DA 3 则AB的长 A 等于4 B 等于5 C 等于6D 不能确定 答 A 1 B 1 C 22001 D 22001 答 5 若平行直线EF MN与相交直线 AB CD相交成如图2所示的图形 则共得同旁 内角 A 4对B 8对 C 12对D 16对 答 10 答 7 设锐角三角形ABC的三条高AD BE CF相交于H 若 BC a AC b AB c 则AH AD BH BE CH CF的值是 答 A 1001 B 1001 3989 C 1001 1996 D 1001 1996 3989 答 二 填空题 本题满分32分 每小题8分 各小题只要求在所给横线上直接填写结果 3 在 ABC中 设AD是高 BE是角平分线 若 BC 6 CA 7 AB 8 则DE 4 把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上 使它们 两两外切 若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住 则这 个大圆形纸片的最小半径等于 第二试 4月3日上午10 00 11 30 考生注意 本试共三道大题 满分考生注意 本试共三道大题 满分60分分 一 一 本题满分 本题满分20分 分 如图所示 在 ABC中 AB AC 任意延长CA到P 再延长AB到 Q 使AP BQ 求证 ABC的外心O与A P Q四点共圆 11 二 二 本题满分 本题满分20分 分 周长为6 面积为整数的直角三角形是否存在 若不存在 请给出 证明 若存在 请证明共有几个 三 三 本题满分 本题满分20分 分 某次数学竞赛共有15个题 下表是对于做对n n 0 1 2 15 个题的 人数的一个统计 n0123 12 13 14 15 做对n个题的人数7810 21 15 631 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题 做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题 问这个表至少统计 了多少人 1994年全国初中数学联赛参考答案年全国初中数学联赛参考答案 第一试答案第一试答案 一 选择题 小题号 12345678 答案ADBBDCBC 二 填空题 第二试提示及答案第二试提示及答案 一 连结OA OC OP OQ 证明 OCP OAQ 于是 CPO AQO 所以O A P Q四点共圆 三 这个表至少统计了200人 12 1995年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 第一试 一 选择题 1 已知a 355 b 444 c 533 则有 A a b cB c b a C c a b D a c b A 1B 2 C 3 D 4 3 如果方程 x 1 x2 2x m 0的三根可以作为一个三角形的三 边之长 那么实数m的取值范围是 4 如果边长顺次为25 39 52与60的四边形内接于一圆 那么此 圆的周长为 A 62 B 63 C 64 D 65 5 设AB是 O的一条弦 CD是 O的直径 且与弦AB相交 记 M S CAB S DAB N 2S OAB 则 A M N B M N C M N D M N的大小关系不确 定 6 设实数a b满足不等式 a a b a a b 则 A a 0且b 0B a 0且b 0 C a 0且b 0D a 0且b 0 二 填空题 1 在12 22 32 952这95个数中 十位数字为奇数的数共有 个 13 4 以线段AB为直径作一个半圆 圆心为O C是半圆周上的点 且 OC2 AC BC 则 CAB 第二试 一 已知 ACE CDE 90 点B在CE上 CA CB CD 经 A C D三点的圆交AB于F 如图 求证F为 CDE的内心 二 在坐标平面上 纵坐标与横坐标都是整数 理由 三 试证 每个大于6的自然数n 都可以表示为两个大于1且互质 的自然数之和 14 1995年全国初中数学联赛参考答案年全国初中数学联赛参考答案 第一试 一 选择题 1 讲解 这类指数幂的比较大小问题 通常是化为同底然后比较 指数 或化为同指数然后比较底数 本题是化为同指数 有 c 53 11 12511 24311 35 11 a 25611 44 11 b 选C 利用lg2 0 3010 lg3 0 4771计算lga lgb lgc也可以 但没有优 越性 2 讲解 这类方程是熟知的 先由第二个方程确定z 1 进而可求 出两个解 2 21 1 20 3 1 也可以不解方程组 直接判断 因为x y 否则不是正整数 故方程组 或无解或有两个解 对照选择支 选B 3 讲解 显然 方程的一个根为1 另两根之和为x1 x2 2 1 三根能作为一个三角形的三边 须且只须 x1 x2 1又 15 有0 4 4m 1 4 讲解 四个选择支表明 圆的周长存在且唯一 从而直径也存 在且唯一 又由 AB2 AD2 252 602 52 52 122 52 132 32 42 132 392 522 BC2 CD2 故可取BD 65为直径 得周长为65 选D 5 讲解 此题的得分率最高 但并不表明此题最容易 因为有些 考生的理由是错误的 比如有的考生取AB为直径 则M N 0 于是 就选B 其实 这只能排除A C 不能排除D 不失一般性 设CE ED 在CE上取CF ED 则有OF OE 且S ACE S ADE S AEF 2S AOE 同理 S BCE S BDE 2S BOE 相加 得S ABC S DAB 2S OAB 即M N 选B 若过C D O分别作AB的垂线 图3 CE AB DF AB OL AB 垂足分别为E F L 连CF DE 可 得梯形CEDF 又由垂径分弦定理 知L是EF的中点 根据课本上做过 16 的一道作业 梯形对角线中点的连线平行底边 并且等于两底差的一半 有 CE DF 2OL 即M N 选B 6 讲解 取a 1 b 2可否定A C D 选B 一般地 对已知 不等式平方 有 a a b a a b 显然 a a b 0 若等于0 则与上式矛盾 有 两边都只能取1或 1 故只有1 1 即 有a 0且a b 0 从而b a 0 选B 二 填空题 1 讲解 本题虽然以计算为载体 但首先要有试验观察的能 力 经计算12 22 102 知十位数字为奇数的只有 42 16 62 36 然后 对两位数10a b 有 10a b 2 20a 5a b b2 其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数 故两位数的平方中 也 中有b 4或6时 其十位数字才会为奇数 问题转化为 在 1 2 95中个位数出现了几次4或6 有2 9 1 19 2 讲解 这类问题一般都先化简后代值 直接把a 学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确 最后又不会将 a2 a作为整体代入 这里关键是整体代入 抓住这一点 计算可以灵 活 比如 由 有 由 得 17 由 并将 代入 得 还可由 得 即得所求 3 讲解 这个题目是将二次函数y x2 x与反比例函数 因而x 1时 y有最小值1 4 讲解 此题由笔者提供 原题是求sin CAB 让初中生用代数 几何相结合的方法求特殊角的三角函数值 sin75 sin15 解法如下 18 与AB2 AB2 AC2 联立 可推出 而式 表明 AB AC是二次方程 改为求 CAB之后 思路更宽一些 如 由 第二试 一 讲解 首先指出 本题有IMO29 5 1989年 的背景 该题是 在直角 ABC中 斜边BC上的高 过 ABD的内心与 ACD的内心的 直线分别交边AB和AC于K和L ABC和 AKL的面积分别记为S和 T 求证S 2T 19 在这个题目的证明中 要用到AK AL AD 今年的初中联赛题相当于反过来 先给出AK AL AD 斜边上的 高 再求证KL通过 ABD ADC的内心 图7 其次指出 本题的证法很多 但思路主要有两个 其一 连 FC FD FE 然后证其中两个为相应的角平分线 其二是过F作三边的 垂线 然后证明其中两条垂线段相等 下面是几个有代表性的证法 证法1 如图6 连DF 则由已知 有 连BD CF 由CD CB 知 FBD CBD 45 CDB 45 FDB 得FB FD 即F到B D和距离相等 F在线段BD的垂直平分线上 从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上 CF是 ECD的平分线 由于F是 CDE上两条角平分线的交点 因而就是 CDE的内心 证法2 同证法1 得出 CDF 45 90 45 FDE之后 由于 ABC FDE 故有B E D F四点共圆 连EF 在证得 FBD FDB之后 立即有 FED FBD FDB FEB 即EF是 CED的平分线 本来 点E的信息很少 证EF为角平分线应该是比较难的 但四点 共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了 因而证法2并不比证法1复 杂 由这个证明可知 F是 DCB的外心 20 证法4 如图8 只证CF为 DCE的平分线 由 AGC GBA GAB 45 2 AGC ADC CAD CAB 1 45 1 得 1 2 从而 DCF GCF 得CF为 DCE的平分线 证法5 首先DF是 CDE的平分线 故 CDE的外心I在直线DF上 现以CA为y轴 CB为x轴建立坐标系 并记CA CB CD d 则直 线AB是一次函数 y x d 的图象 图9 若记内心I的坐标为 x1 y1 则 x1 y1 CH IH CH HB CB d 满足 即I在直线AB上 但I在DF上 故I是AB与DF的交点 由交点 的唯一性知I就是F 从而证得F为Rt CDE的内心 还可延长ED交 O于P1 而CP为直径来证 二 讲解 此题的原型由笔者提供 题目是 21 于第一象限内 纵坐标小于 横坐标的格点 这个题目的实质是解不等式 求正整数解 直接解 数字较繁 但有巧法 由 及1 y x 知1 2 x 1 1995 1 2 x 但1953 1 2 62 1995 1 2 62 63 2016 得x 63 从而y 21 所求的格点为 21 63 经过命题组的修改之后 数据更整齐且便于直接计算 有x2 x 18 10 x 当x 0时 有x2 11x 18 0 得2 x 9 代入二次函数 得合乎条件的4个整点 2 2 4 3 7 6 9 9 当x 0时 有 x2 9x 18 0 得 6 x 3 代入二次函数 得合乎条件的2个整点 6 6 3 3 对x 0 取x 2 4 7 9 12 14 顺次代入 得 2 2 4 3 7 6 9 9 且当x 9时 由 对x 0 取x 1 3 6 8 顺次代入 得 3 3 6 6 且当x x 再无满足y x 的解 故一共有6个整点 图示略 22 解法3 先找满足条件y x 的整点 即分别解方程 x2 11x 18 0 x2 9x 18 0 可得 2 2 9 9 6 6 3 3 再找满足y x 的整点 这时 2 x 9或 6 x 3 依次检验得 4 3 7 6 故共有6个整点 三 讲解 直观上可以这样看 当n 6时 在2 3 n 2中 必有 一个数A与n互质 2 A n 2 记 B n A 2 有n A B 此时 A与B必互质 否则A与B有公约数d 1 则d也是n的约数 从而A与n有大于1的公约数 与A n互质矛盾 但是 对于初中生来说 这个A的存在性有点抽象 下面分情况 把它具体找出来 1 当n为奇数时 有 n 2 n 2 2 当n为偶数 但不是4的倍数时 有 3 当n为偶数 且又是4的倍数时 有 23 1996年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 第一试第一试 一 选择题 本题满分一 选择题 本题满分42分 每小题分 每小题7分 分 A M NB M N C M N D 不确定 A 有一组B 有二组 C 多于二组 D 不存在 3 如图 A是半径为1的圆O外的一点 OA 2 AB是圆O的切线 B是切点 弦BC OA 连结AC 则阴影部分的面积等于 4 设x1 x2是二次方程x2 x 3 0的两个根 那么x13 4x22 19的值等 24 于 A 4 B 8 C 6 D 0 5 如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分 那么该直线 必通过这个三角形的 A 内心B 外心C 重心D 垂心 6 如果20个点将某圆周20等分 那么顶点只能在这20个点中选取 的正多边形的个数有 A 4个 B 8个 C 12个 D 24个 二 填空题 本题满分二 填空题 本题满分28分 每小题分 每小题7分 分 2 如图 在 ABC中 AB AC ABN MBC BM NM BN a 则点N到边BC的距离等 于 3 设1995x3 1996y3 1997z3 xyz 0 且 4 如图 将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60 至AB C D 的位置 则这两个正方形重叠部分的面积是 第二试第二试 一 一 本题满分 本题满分20分 分 某校在向 希望工程 捐款活动中 甲班的m个男生和11个女生的 捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等 都是 m n 9m 11n 145 元 已知每人的捐款数相同 且都是整数元 求每 人的捐款数 25 二 二 本题满分 本题满分25分 分 设凸四边形ABCD的对角线AC BD的交点为M 过点M作AD的平 行线分别交AB CD于点E F 交BC的延长线于点O P是以O为圆心 OM为半径的圆上一点 位置如图所示 求证 OPF OEP 三 三 本题满分 本题满分25分 分 已知a b c都是正整数 且抛物线y ax2 bx c与x轴有两个不同的 交点A B 若A B到原点的距离都小于1 求a b c的最小值 1996年全国初中数学联赛参考答案年全国初中数学联赛参考答案 第一试第一试 一 选择题一 选择题 1 B2 A3 B 4 D5 A6 C 二 填空题二 填空题 第二试第二试 一 一 解解 据题意m 11 n 9 且整除mn 9m 11n 145 而 mn 9m 11n 145 m 11 n 9 46 故m 11 n 9都整除46 由此得 综上可知 每人捐款数为25元或47元 二 二 26 证证 作AD BO的延长线相交于G OE 三 三 解解 据题意 方程ax2 bx c 0有两个相异根 都在 1 0 中 故 经检验 符合题意 a b c 11最小 27 一九九七年一九九七年 第一试第一试 一 选择题 本题共有 6 小题 每一个小题都给出了以 A B C D 为代号的四个答案 其中只有一个答案是正确的 请将正确的答案用代号填在各小题的括号内 1 下述四个命题 1 一个数的倒数等于自身 那么这个数是 1 2 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3 的平方根是 2 aa 4 大于直角的角一定是钝角 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答 2 已知 那么满足上述不等式的整数 x 的个数是 35 4 23 4 x 答 A 4 B 5 C 6 D 7 答 3 若实数满足 代数式的最cba 9 222 cba 222 accbba 大值是 A 27 B 18 C 15 D 12 答 4 给定平面上个点 已知 1 2 4 8 16 32 都是其中两点之间的距离 那么n 28 点数的最小可能值是n A 4 B 5 C 6 D 7 答 5 在梯形中 E M F N 分别为ABCDDCAD 0 30 B 0 60 C AB BC CD DA 的中点 已知 BC 7 MN 3 则 EF 之值为 A 4 B C 5 D 6 答 2 1 4 6 如图 已知 均垂直于 BA 1 AA 1 PP 1 BB 11B A17 1 AA16 1 PP 则AP PB等于20 1 BB12 11 BA A 12 B 13 C 14 D 15 答 二 填空题二 填空题 1 从等边三角形内一点向三边作垂线 已积压这三条垂线的长分别为 1 3 5 则 这个等边三角形的面积是 2 当取遍 0 到 5 的所有实数值时 满足的整数的个数是 a 83 3 aabb 3 若 满足 则的取值范围是 ab753 babS322 4 若正整数 x y 满足 则等于 1997 22 yxyx 第二试第二试 一 设 P 为等腰直角三角形 ACB 斜边 AB 上任意一点 PE 垂直 AC 于点 F PF 垂直 BC 于点 F PG 垂直 EF 于点 G 延长 GP 并在其延长线上取一点 D 使 得 PD PC 试证 且 BC BD BDBC 29 二 已知为整数 且 方程ba ba 04 33 2 abxbax 的两个根满足关系式 1 1 1 1 试求所有的整数点对 ba 三 已知定理 若三个大于 3 的质数 满足关系式 则cba cba 52 是整数 n 的倍数 试问 上述定理中的整数 n 的最大可能值是多少 并证cba 明你的结论 1998 年全国数学联赛试卷 一 选择题 每小题 6 分 共 30 分 1 已知 a b c 都是实数 并且 那么下列式子中正确的是 cba bcab cbba cbba c b c a 2 如果方程的两根之差是 1 那么 p 的值为 001 2 ppxx 2 4 35 3 在 ABC 中 已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线 并且 BD CE BD 4 CE 6 那 么 ABC 的面积等于 12 14 16 18 4 已知 并且 那么直线一定通过第 0 abcp b ac a cb c ba ppxy 象限 一 二 二 三 三 四 一 四 5 如果不等式组的整数解仅为 1 2 3 那么适合这个不等式组的整数 a b 08 09 bx ax 的有序数对 a b 共有 17 个 64 个 72 个 81 个 二 填空题 每小题 6 分 共 30 分 6 在矩形 ABCD 中 已知两邻边 AD 12 AB 5 P 是 AD 边上任意一点 PE BD PF AC E F 分别是垂足 那么 PE PF 7 已知直线与抛物线相交于 A B 两点 O 为坐标原点 那么 OAB32 xy 2 xy 30 的面积等于 8 已知圆环内直径为 acm 外直径为 bcm 将 50 个这样的圆环一个接一个环套地连成一 条锁链 那么这条锁链拉直后的长度为 cm 9 已知方程 其中 a 是非负整数 至少有一个整 01513283 2222 aaxaaxa 数根 那么 a 10 B 船在 A 船的西偏北 450处 两船相距km 若 A 船向西航行 B 船同时向南航210 行 且 B 船的速度为 A 船速度的 2 倍 那么 A B 两船的最近距离是 km 三 解答题 每小题 20 分 共 60 分 11 如图 在等腰三角形 ABC 中 AB 1 A 900 点 E 为腰 AC 中点 点 F 在底边 BC 上 且 FE BE 求 CEF 的面积 12 设抛物线的图象与 x 轴 4 5 212 2 axaxy 只有一个交点 1 求 a 的值 2 求的 618 323 aa 值 13 A 市 B 市和 C 市有某种机器 10 台 10 台 8 台 现在决定把这些机器支援给 D 市 18 台 E 市 10 台 已知 从 A 市调运一台机器到 D 市 E 市的运费为 200 元和 800 元 从 B 市调运一台机器到 D 市 E 市的运费为 300 元和 700 元 从 C 市调运一台机器到 D 市 E 市的运费为 400 元和 500 元 1 设从 A 市 B 市各调 x 台到 D 市 当 28 台机器调运完毕后 求总运费 W 元 关于 x 台 的函数关系式 并求 W 的最大值和最小值 2 设从 A 市调 x 台到 D 市 B 市调 y 台到 D 市 当 28 台机器调运完毕后 用 x y 表 示总运费 W 元 并求 W 的最大值和最小值 1998年全国初中数学联赛参考答案年全国初中数学联赛参考答案 一 选择题一 选择题 1 B 根据不等式性质 2 D 由 p2 4 0及p 2 设x1 x2为方程 的两根 那么有x1 x2 p x1x2 l 又由 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 得l2 p 2 4 p2 5 A B C E F 31 3 C 如图连ED 又 DE是 ABC两边中点连线 故选C 4 B 得 2 a b c p a b c 有p 2或a b c 0 当p 2时 y 2x 2 则直线通过第一 二 三象限 当a b c 0时 不妨取a b c 于是 y x 1 则直线通过第二 三 四象限 综合上述两种情况 直线一定通过第二 三象限 故选B 5 C 在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间 如下图 32 a 1 2 3 9 共9个 b 3 8 1 3 8 2 3 8 3 3 8 8 共8个 9 8 72 个 故选C 二 填空题二 填空题 6 解 如图 过A作AG BD于G 等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高 PE PF AG AD 12 AB 5 BD 13 7 解 如图 直线y 2x 3与抛物线y x2的交点坐标为A 1 1 B 3 9 作AA1 BB1分别垂直于x轴 垂足为A1 B1 33 S OAB S梯形AA1B1B S AA1O S BB1O 8 解 如图 当圆环为3个时 链长为3a 故a可取1 3或5 10 解 如图 设经过t小时后 A船 B船分别航行到A1 B1 设 AA1 x 于是BB1 2x A1C 10 x B1C 10 2x 34 三 解答题三 解答题 11 解法1 过C作CD CE与EF的延长线交于D ABE AEB 90 CED AEB 90 ABE CED 于是Rt ABE CED 又 ECF DCF 45 所以 CF是 DCE的平分线 点F到CE和 CD的距离相等 解法2 作FH CE于H 设FH h ABE AEB 90 FEH AEB 90 ABE FEH Rt EHF Rt BAE 即EH 2h 35 又 HC FH 12 解 1 因为抛物线与x轴只有一个交点 所以一元二次方程 2 由 1 知 a2 a 1 反复利用此式可得 a4 a 1 2 a2 2a 1 3a 2 a8 3a 2 2 9a2 12a 4 21a 13 a16 21a 13 2 441a2 546a 169 987a 610 a18 987a 610 a 1 987a2 1597a 610 2584a 1597 a2 a 1 0 64a2 64a 65 1 即 8a 5 8a 13 1 a18 323a 6 2584a 1597 323 8a 13 5796 13 解 1 由题设知 A市 B市 C市发往D市的机器台数分 x x 18 2x 发往E市的机器台数分别为10 x 10 x 2x 10 于是 W 200 x 300 x 400 18 2x 800 10 x 700 10 x 500 2x 10 800 x 17200 36 5 x 9 W 800 x 17200 5 x 9 x是整数 由上式可知 W是随着x的增加而减少的 所以当x 9时 W取到最 小值10000元 当x 5时 W取到最大值13200元 2 由题设知 A市 B市 C市发往D市的机器台数分别为x y 18 x y 发往E市的机器台数分别是10 x 10 y x y 10 于是 W 200 x 800 10 x 300y 700 10 y 400 19 x y 500 x y 10 500 x 300y 17200 W 500 x 300y 17200 W 200 x 300 x y 17200 200 10 300 18 17200 9800 当x 10 y 8时 W 9800 所以 W的最小值为9800 又W 200 x 300 x y 17200 200 0 300 10 17200 14200 当x 0 y 10时 W 14200 所以 W的最大值为14200 37 1999 年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试 4 月 4 日上午 8 30 9 30 考生注意 本试两大题共 10 道小题 每题 7 分 全卷满分 70 分 一 选择题 本题满分 42 分 每小题 7 分 本题共有 6 个小题 每小题都给出了 A B C D 四个结论 其中只有一个是正确的 请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 每小题选对得 7 分 不选 选错或选出的代表字母超过一个 不论是否写在圆 括号内 一律得 0 分 1 计算的值是 A 1 B 1 C 2 D 2 2 ABC 的周长是 24 M 是 AB 的中点 MC MA 5 则 ABC 的面积是 A 12 B 16 C 24 D 30 3 设 将一次函数与的图象画在同一平面直 角坐标系内 则有一组的取值 使得下列 4 个图中的一个为正确的是 38 4 若函数 则当自变量 取 1 2 3 100 这 100 个自然数时 函数值的和是 A 540 B 390 C 194 D 97 5 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB DC AB 998 DC 1001 AD 1999 点 P 在线段 AD 上 则满足条件 BPC 90 的点 P 的个数为 A 0 B 1 C 2 D 不小于 3 的整数 6 有下列三个命题 甲 若是不相等的无理数 则是 无理数 乙 若是不相等的无理数 则是无理数 丙 若 是不相等的无理数 则是无理数 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 本题满分 28 分 每小题 7 分 39 本题共有 4 道小题 要求直接把答案写在横线上 1 已知且 则 2 如图 在 ABC 中 B 36 ACB 128 CAB 的平分线交 BC 于 M ABC 的外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N 则 ANM 的最小角等于 3 已知为整数 且满足 则 4 在正方形 ABCD 中 N 是 DC 的中点 M 是 AD 上异于 D 的点 且 NMB MBC 则 tg ABM 40 第二试 4 月 4 日上午 10 00 11 30 考生注意 本试三大题 第一题 20 分 第二 三题各 25 分 全卷满分 70 分 一 本题满分 20 分 某班参加一次智力竞赛 共三题 每题或者得满分或者得 0 分 其 中题满分 20 分 题 题满分分别为 25 分 竞赛结果 每个学生至少 答对了一题 三题全答对的有 1 人 答对其中两道题的有 15 人 答对题的 人数与答对题的人数之和为 29 答对题的人数与答对题的人数之和为 25 答对题的人数与答对题的人数之和为 20 问这个班的平均成绩是多 少分 二 本题满分 25 分 如图 设 ABC 是直角三角形 点 D 在斜边 BC 上 BD 4DC 已知圆过点 C 且与 AC 相交于 F 与 AN 相切于 AB 的中点 G 求证 AD BF 三 本题满分 25 分 已知为整数 方程的两根都大于 1 且小于 0 求 和的值 第一试参考答案 一 选择题 本题满分 42 分 每小题 7 分 41 本题共有 6 个小题 每小题都给出了 A B C D 四个结论 其中只有一个是正确的 请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 每小题选对得 7 分 不选 选错或选出的代表字母超过一个 不论是否写在圆 括号内 一律得 0 分 1 计算的值是 D A 1 B 1 C 2 D 2 解 原式 2 ABC 的周长是 24 M 是 AB 的中点 MC MA 5 则 ABC 的面积是 C A 12 B 16 C 24 D 30 解 MA MB MC 5 ACB 90 已知周长是 24 则 AC BC 14 AC2 BC2 102 2AC BC AC BC 2 AC2 BC2 142 102 4 24 3 设 将一次函数与的图象画在同一平面直 角坐标系内 则有一组的取值 使得下列 4 个图中的一个为正确的是 B 42 解 由方程组的解知两直线的交点为 而图 A 中交点 横坐标是负数 故图 A 不对 图 C 中交点横坐标是 2 1 故图 C 不对 图 D 中 交点纵坐标是大于 小于的数 不等于 故图 D 不对 故选 B 4 若函数 则当自变量 取 1 2 3 100 这 100 个自然数时 函数值的和是 B A 540 B 390 C 194 D 97 解 当时 当自变量取 2 3 98 时 函数值都为 0 而当取 1 99 100 时 故所求的和为 5 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB DC AB 998 DC 1001 AD 1999 点 P 在线段 AD 上 则满足条件 BPC 90 的点 P 的个数为 C A 0 B 1 C 2 D 不小于 3 的整数 解 AD 的中点 M 对 BC 张成 90 角 又在 AD 上取点 N 使 AN 998 则 ND 1001 由 ABN 和 DCN 都为等腰三角形推知 BNC 90 注意到以 BC 为 直径的圆与 AD 至多有两个交点 可知所求点的个数为 2 43 6 有下列三个命题 甲 若是不相等的无理数 则是无 理数 乙 若是不相等的无理数 则是无理数 丙 若 是不相等的无理数 则是无理数 其中正确命题的个数是 A A 0 B 1 C 2 D 3 解 只要令 则为有理数 故 甲 不对 又若令 则为有理数 故 乙 不对 又若令 则为有理数 故 丙 不对 故正确命 题个数是 0 应选 A 二 填空题 本题满分 28 分 每小题 7 分 本题共有 4 道小题 要求直接把答案写在横线上 1 已知且 则 2 解 即 44 2 如图 在 ABC 中 B 36 ACB 128 CAB 的平分线交 BC 于 M ABC 的外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N 则 ANM 的最小角等于 44 解 B 36 ACB 128 AM 为 CAB 的平分线 CAM MAB AMC 44 又 AN 为切线 NAC B 36 NAM 44 N 180 44 44 92 ANM 的最小角为 44 3 已知为整数 且满足 则 3 解 左边 即 而为 整数 且不相等 只可能取值或 不妨设 则 或 2 无整数解 由 1 得 4 在正方形 ABCD 中 N 是 DC 的中点 M 是 AD 上异于 D 的点 且 NMB MBC 则 tg ABM 45 解 延长 MN 交 BC 的延长线于 T 设 MB 的中点为 O 连 TO 则 BAM TOB 即 令 DN 1 CT MD 则 AM BM 1 式得 注意到 解得 第二试参考答案 一 本题满分 20 分 某班参加一次智力竞赛 共三题 每题或者得满分或者得 0 分 其 中题满分 20 分 题 题满分分别为 25 分 竞赛结果 每个学生至少 答对了一题 三题全答对的有 1 人 答对其中两道题的有 15 人 答对题的 人数与答对题的人数之和为 29 答对题的人数与答对题的人数之和为 25 答对题的人数与答对题的人数之和为 20 问这个班的平均成绩是多 少分 46 解 设分别表示答对题 题 题的人数 则有 答对一题的人 数为 37 1 3 2 15 4 全班人数为 1 4 15 20 平均成绩为 答 班平均成绩为 42 分 二 本题满分 25 分 如图 设 ABC 是直角三角形 点 D 在斜边 BC 上 BD 4DC 已知圆过点 C 且与 AC 相交于 F 与 AN 相切于 AB 的中点 G 求证 AD BF 证 作 DE AC 于 E 则 AC AE AG ED 由切割线定理有 AG2 AF AC ED2 AF AE 5ED2 AF AE AB ED AF AE BAF AED ABF EAD 而 EAD DAB 90 ABF DAB 90 AD BF 三 本题满分 25 分 47 已知为整数 方程的两根都大于 1 且小于 0 求 和的值 解 根据函数的图象和题设条件知 当时 当时 抛物线顶点的横坐标满 足 即 由 得 若 则由 得且 得 若 则且 无整数解 若 则且 无整数解 若 则且 无整数解 故所求的值为 2000 年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试 4 月 2 日上午 8 30 9 30 48 一 选择题 本题满分 42 分 每小题 7 分 1 计算的值是 A 1 B C D 5 2 若 则的值是 A B C 5 D 6 3 设是不相等的任意正数 又 则这两 个数一定 A 都不大于 2 B 都不小于 2 C 至少有 1 个大于 2 D 至少有 1 个小于 2 4 正整数小于 100 并满足等式 其中表示不超 过的最大整数 这样的正整数有 A 2 个 B 3 个 C 12 个 D 16 个 5 已知一个梯形的四条边的长分别为 1 2 3 4 则此梯形的面积等于 A 4 B 6 C D 6 已知 ABCD 是一个半径为 R 的圆的内接四边形 AB 12 CD 6 分别延长 AB 和 DC 它们相交于 P 且 BP 8 APD 60 则 R 等于 A 10 B C D 14 二 填空题 本题满分 28 分 每小题 7 分 49 1 是正数 并且抛物线和都与 轴有公共点 则的最小值是 2 某果品店组合销售水果 甲种搭配 2 千克 A 水果 4 千克 B 水果 乙种搭 配 3 千克 A 水果 8 千克 B 水果 1 千克 C 水果 丙种搭配 2 千克 A 水果 6 千克 B 水果 l 千克 C 水果 A 水果价格每千克 2 元 B 水果价格每千克 1 2 元 C 水果价格每千克 10 元 某天该店销售三种搭配共得 441 2 元 其中 A 水 果的销售额为 116 元 则 C 水果的销售额为 元 3