北师大版高中数学（必修5）《第一章数列综合小结》ppt课件

章末整合提升,1.本章的主要内容和思路本章主要内容包括：数列、等差(比)数列及其通项公式，前n项和公式，以及数列在实际问题中的应用教材首先通过实例说明数列的意义及有关数列的项、通项公式等概念，然后通过具体数列抽象出等差、等比数列模型，给出了等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，并针对这些基本量进行基本技能训练，教材还注意类比直线和一次函数研究有关量的关系，注意了等比数列与指数函数的对比，突出了用等差、等比数列模型解决实际问题,全章贯穿观察、分析、类比、猜想、化归、模型化、函数的思想、递推的思想等思想方法，其特点是融代数、三角、几何于一体，综合性强，应用广泛，是进一步学习高等数学的基础，其中等差、等比数列的性质和运算是学习的重点，数列的实际应用是难点，加强运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力的训练是学好本章的基本要求,2知识结构,3方法技巧(1)在函数观点下理解数列的概念，注意数列与集合、函数的联系与区别数列的各项可以看成一个集合，所以数列可以用集合的形式an来表示，但数列的各项是有一定顺序的，而集合中的元素都不计顺序，这是数列与集合的一个显著不同之处数列还是一个函数事实上，数列的通项公式就是数列的第n项与项数n的函数关系式：anf(n)，不过这个函数的自变量只能取正整数，这是数列区别于一般函数的地方，用函数的观点去俯视数列的有关概念，可以理解得更深刻、更清晰,(2)求通项公式的方法公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法已知前几项的值可用观察法通常先将每项分解成几部分(如符号、绝对值、分子、分母、底数、指数等)，然后通过观察各部分与项数n的关系，最后用不完全归纳法得出通项公式，再取n的特殊值进行检验，如有误差，再作调整,(3)等差、等比数列的判定定义法：an为等差数列an1and(常数)；中项公式法：an为等差数列2an1anan2(nN)；通项公式法：an为等差数列anknb(k、b为常数)(nN)前n项和公式法：an为等差数列SnAn2Bn(A、B为常数)(nN),(5)注意方程思想的运用在等差(等比)数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量a1，an，n，d(或q)，Sn，其中首项a1和公差d(或公比q)为基本量，且“知三求二”因此解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好设未知数，列方程，解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算，达到快捷准确的目的(6)目标意识在求解数列问题时，除注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的思想外，还要特别注意在解题中要有“目标意识”，需要什么，就求什么,(7)求数列前n项和的方法求数列前n项和的方法主要是变换通项即对通项公式进行一些有目的的处理，像裂项就是一种常用方法，通过裂项而转化为等差、等比或自然数次方幂来求和两相邻项的代数和为常数时可用并项法，此法往往要分n为奇数、偶数两种情况进行讨论求一般数列的前n项和，无通法可循，我们要掌握某些特殊数列前n项和的求法，如倒序相加法、错位相减法等触类旁通另外在运用等比数列的前n项和公式时，要注意公比q分q1和q1的讨论,(8)等差、等比数列的性质要类比、理解、记忆巧用等差、等比数列的性质，可达到减少运算量、提高解题速度和正确率的目的.,专题一求数列的通项公式思维突破：数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式一样，有解析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式，便可求出任何一项及前n项和等，现将求数列通项公式的几种常见类型及方法总结如下：(一)观察归纳法思维突破：就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式,分析：根据各项的特点，找出规律，归纳出结论，然后再进行验算，从而得出答案,(二)公式法思维突破：数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a1与d或a1与q，再代入公式ana1(n1)d或ana1qn1中即可例2在等差数列an中，已知a2a5a89，a3a5a721，求数列的通项公式分析：要求通项公式，需要求出首项a1及公差d，由a2a5a89和a3a5a721直接求解很困难，这样促使我们转换思路如果考虑到等差数列的性质，注意到a2a82a5a3a7，问题就好解了,解析：a2a5a89，a3a5a721，又a2a8a3a72a5，a3a72a56，a53，a3a77，由、解得a31，a77或a37，a71.a31，d2或a37，d2.由ana3(n3)d，得an2n7或an2n13.,例3已知数列an中，an0(nN*)，其前n项和为Sn，且S12，当n2时，Sn2an，求数列an的通项公式分析：这是一个已知数列的前n项和求数列通项公式的问题，一般由anSnSn1(n2)解决,解析：当n2时，S2a1a22a2，a2a12.又n2时，Sn2an，Sn12an1，Sn1Sn2an12an，an12an(n2)数列an从第2项起是公比为2的等比数列an22n22n1(n2),(四)根据数列的递推关系求通项公式思维突破：已知数列的递推关系求数列的通项公式，方法大致有两类：一类是根据前几项的特点归纳、猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明(后面学)，另一类是将已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、换元法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求解通项,例4已知a11，an1an2nn，求an.分析：本题给出数列an连续两项的差，故可用累加法求得an的表达式解析：an1an2nn，a2a1211，a3a2222，a4a3233，n2时，anan12n1(n1)，n2时，有ana1(2222n1)123(n1),(五)构造新的等差或等比数列求通项公式思维突破：若从给出的条件直接求an比较困难，可以通过整理变形，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项例5已知a13，an12an3，求an.分析：本题给出了an和an1的线性函数，故可用待定系数法确定式子an1c2(anc)中的常数c，从而说明anc为等比数列，进而可求得an.,解析：解法1：由an12an3，得an132(an3)令an3bn，bn12bn.bn是等比数列，其首项b1a136，公比为2.bn62n1，即an362n1.an62n133(2n1),解法2：an12an3，n2时，有an2an13.an1an2(anan1)令bnan1an，有bn2bn1.bn是公比为2的等比数列，首项b1a2a16.bn62n1.,专题二数列求和思维突破：数列求和是数列部分的重要内容，求和问题是很常见的试题，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用求和公式，而非等差数列、非等比数列的求和问题，要注意观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和常见的数列求和方法有如下几种类型：,(一)利用公式思维突破：如果可以判断出所求数列是等差、等比数列或者是某些常见数列求和，则可以直接利用公式例6求数列1,35,7911，13151719，的前n项和分析：依其结构特征知，该数列前n项的和即为连续奇数的和，关键是确定奇数的个数与最末一个奇数,(二)错位相减法思维突破：针对数列anbn的数列求和应用此法，其中数列an是等差数列，bn是等比数列例7(2010全国新课标卷理)设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.,解析：(1)由已知，当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12.所以数列an的通项公式为an22n1.,(2)由bnnann22n1，知Sn12223325n22n1.从而22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn (3n1)22n12,(三)倒序相加法思维突破：如果一个数列与首末两项等距的两项和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和例8求sin21sin22sin23sin288sin289的值分析：此数列用以前的求和方法不能直接去求，但通过观察不难发现：sin21sin289sin22sin2881.,解析：设Ssin21sin22sin23sin288sin289，将式右边倒序得Ssin289sin288sin23sin22sin21.又因为sinxcos(90x)，sin2xcos2x1，得2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)89.S44.5.,分析：首先求出an的通项，然后裂项求和,(五)分组求和法思维突破：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解例10求数列141,251,361，n(n3)1的前n项的和分析：此数列的通项ann(n3)1，即非等差数列，又非等比数列，展开后利用公式法求和,专题三用函数的思想解决数列问题思维突破：数列是一类特殊的函数，可用研究函数的方法研究数列，如非常数列的等差数列的通项公式可看作关于n的一次函数，而前n项和公式可看作不含常数项的关于n的二次函数充分利用函数的单调性和求最值的结论，对于解决等差(等比)数列的相关问题会起到意想不到的效果,专题四数列应用题思维突破：与数列有关的应用题大致有三类：一类是有关等差数列的应用题；二是有关等比数列的应用题；三是有关递推数列中可化成等差、等比数列的应用题当然，还包括几类应用题的综合应用，其中第一类应用题在内容上比较简单，应用题建立等差数列模型后，常常转化成整式或整式不等式处理，很容易计算，对第二类应用题，建立等比数列的模型后，弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其解要按要求保留一定的精确度，,注意答案要符合题设中实际差别的需要，对于第三类应用题，要掌握将线性递推数列化成等比数列求解的方法,例12假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建