讲座直线、平面、简单几何体

高考专题讲座 直线、平面、简单几何体l 高考风向标本讲高考的知识点是：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球在高考命题时，一般呈现一道解答试题和两到选择、填空题其热点内容是有关垂直的推理证明和角、体积等的计算问题。l 典型题选讲 例1 已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MNAB；（2）若PD=AB，且平面MND平面PCD，求二面角PCDA的大小；（3）在（2）的条件下，求三棱锥DAMN的体积讲解 （1）连结AC，AN. 由BCAB，AB是PB在底面ABCD上的射影. 则有BCPB. 又BN是RtPBC斜边PC的中线，即.由PA底面ABCD，有PAAC，则AN是RtPAC斜边PC的中线，即，又M是AB的中点， （2）为了求二面角PCDA的大小，需要先作出它的平面角由PA平面ABCD，ADDC，有PDDC，则PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c，又由AB=PD=DC，N是PC中点，则有DNPC又平面MND平面PCD于ND， PC平面MND PCMN，而N是PC中点，则必有PM=MC 此时，即二面角PCDA的大小为（）关于体积的计算，需要转换角度看问题，事实上，我们容易知道：，连结BD交AC于O，连结NO，则， 且NO平面AMD，由PA=a，点评需要指出的是，题（）也可应用三垂线定理来证明，请读者自己去思考，并写出具体的解题过程例2矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿对角线BD将矩形折 成二面角A-BD-C（1） 若二面角A-BD-C的大小为60，求A、C两点间的距离；（2） 当三棱锥A-BCD体积最大时，求AC与BD所成的角（若为非特殊角，限用反正切表示）讲解 （1）过A作AEBD，垂足为E；过C作CFBD，垂足为F；过F在平面ABD内作FHAE，连结AH、HCFHAE，四边形AEFH为平行四边形AHEFAEBD，HFAE，HFBD又FCBD，故HFC就是二面角A-BD-C的平面角，在RtBAD中，EF平面HFC，AHEF，AH平面HFC，AHHC在RtAHC中，为所求（2），因为定值，故当h取得最大值时，最大，即当二面角A-BD-C的大小为时，最大由（1）知，AHBD，故HAC就是AC与BD所成的角在RtAHC中，故AC与BD所成的角为点评和第（）题的一个类似的问题是：已知正方形ABCD沿它的对角线折叠以后，得到的四面体的体积最大时，求直线AB和平面 CDA的所成的角的大小例如图，四棱锥PABCD的底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN.（）求证：AMPD；（）求二面角PAMN的大小；（）求直线CD与平面AMN所成角的大小讲解（）ABCD是正方形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PADAM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD. （）AM平面PCD（已证）.AMPM，AMNM.PMN为二面角P-AM-N的平面角PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M为PD的中点，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 .即二面角PAMN的大小为. （）延长NM，CD交于点E.PC平面AMN，NE为CE在平面AMN内的射影CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角.CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中，CD与平面AMN所成的角的大小为点评为了计算角的大小，需要先作出角的平面角，然后放到三角形里去计算就行了这既需要推理，也需要计算不是特殊角时，请用反三角函数表示角例4 四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，CDPD.底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.（）求异面直线PA与CD所成的角；（）求证：PC平面EBD；（）求二面角ABED的大小（用反三角函数表示）.讲解（）PB底面ABCD，CDPD，CDBD.在直角梯形ABCD中，AB=AD=3，BC=6取BC的中点F，连结PF，则AF/CD，所以，异面直线PA和CD所成的角就是PA和AF所成的角PAF在PAF中，（）连结AC交BD于G，连结EG，（）PB平面ABCD，ADPB.又ADAB，AD平面EAB.作AEBE，垂足为H，连结DH，则DHBE，AHD是二面角ABED的平面角.点评等面积法与等体积法，在立体几何的计算问题中，有时是有用的，关于这一点，还请读者多多留意事实上，记住一些有用的解题的小结论、小技巧，也许对提高解题的速度是有较大的帮助的例5如图，正四棱锥PABCD中，AB=2，侧棱PA与底面ABCD所成的角为60.（1）求侧面与底面所成的二面角（锐角）的大小；（2）在线段PB上是否存在一点E，使得AEPC，若存在，试确定点E的位置，并加以证明，若不存在，请说明理由.讲解（1）如图O为底面ABCD的中心则PAO为PA与底面所成的角，PAO=60 过O作OMBC于M，连PM由三垂线定理得BCPMPMO为侧面与底面所成二面角平面角OM=1，PO=（2）如图，建立空间直角坐标系，点评空间向量是B种教材要求的内容，它是立体几何问题代数化的桥梁，学习时，应当紧扣课本，适度控制问题难度例6 如图，将长，宽的矩形沿长的三等分线处折迭成一个三棱柱，如图所示：（）求平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值；（）求三棱锥的体积讲解（）依题意知，三棱柱是正三棱柱，且侧棱，底面边长为，BP=1，CQ=2. 延长QP交BC延长线于点E，连AE. 在ACE中， ，ACE=60，于是AE=3.过C作CFAE于F，连QF.则QFC为平面APQ与平面ABC所成的锐二面角., 于是.即平面APQ与面ABC所成锐二面角的正切值为（）连，的面积为，点Q到平面的距离为, 点评本题是年咸阳市高三数学模考试题，在解答此题时，请读者注意，折迭的过程当中，哪些量是不变的，哪些量是变化的与微细的地方发现问题的本质所在l 针对性演练一. 选择题下列命题中，正确的是（）若直线a 平行于平面内的一条直线b , 则 a / 若直线a垂直于平面的斜线b在平面内的射影，则ab若直线a垂直于平面,直线b是平面的斜线，则a与b是异面直线若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥在正方体中，面对角线与（）A. 条 B. 条 C. 条 D.条如图，在一根长11cm，外圆周长6cm的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（ ）.A. 61cm B.cmC. cm D.cm已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是（ ）.ABCD如图，矩形ABCD中,AB=3, BC = 4 , 沿对角线将 折起，使点在内的_D_(A)_C_A_B射影落在BC边上,若二面角CABD的平面角大小为，则sin的值等于（ ）. A . B. C . D. 一个四面体共一个顶点的三条棱两两相互垂直，其长分别为，且四面体的四个顶点在一个球面上则这个球的表面积为（） 一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角为 ( ). A. B. C. D. 在空间直角坐标系xyz中，有一个平面多变形，它在xOy平面上的射影的面积，在yOz 平面和在zOx平面的正射影的面积都是，则这个多边形的面积为（）如图, 在三棱锥P中，平面，、分别是、的中点，AD,设PC与DE 所成的角为，PD与平面ABC所成的角为，二面角P的平面角为，则的大小关系是（）已知二面PB= 4 ,设、到二面角的距离分别为x,y 当变化时，点（x , y ）的轨迹是下列图形中的（）二、填空题 在正方体ABCD中,O是底面ABCD的中心,E、F、G、H分别是棱、的中点，请写出一个与垂直的正方体的截面 .(截面以给定的字母标识, 不必写出全部符合条件的截面 ). 如图把边长为a 的正六边形薄铁板剪去相同的个角后，用剩余部分做成一个形如正六棱柱的无盖盒子（不计接缝），那么这个盒子的最大容积是在三棱锥PABC中，APB=APC=BPC=60，则侧棱PA与侧面PBC所成的角的大小是 . 一个立方体的六个面上分别标有A、C、D、E、F，下图是此立方体的的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是 .ABCDEC取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体则此多面体：有12个顶点；有24条棱；有12个面；表面积3a2；体积为以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号） 三、解答题. 在长方体中，O为对角线的中点.（1）求OD与底面ABCD所成的角的大小；（2）P为AB上一动点，当P在何处时，平面平面?并证明你的结论.DCBA如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC中点.（1）求证：平面BEC1平面ACC1A1； （2）求证：AB1/平面BEC1；（3）若，求二面角EBC1C的大小. 如图，已知面，于D，.（1）令，试把表示为的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？ 如图，在ABC中，AC=BC=1，ACB=90，点D在斜边AB上，BCD=（0）把BCD沿CD折起到BCD的位置，使平面BCD平面ACD.（1）求点B到平面ACD的距离（用表示）；（2）当ADBC时，求三棱锥B-ACD的体积；（3）当点B在平面ACD内的射影为线段CD的中点时，求异面直线AD与BC所成角的大小已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）求圆锥的全面积参考答案一、 选择题二、填空题面GDB (或).三、解答题. ， ，即，故OD与底面所成的角为 （2）， 又 O为的中点，于是当P为AB的中点时， ， 从而，平面POD. 又平面， 平面POD平面（1）ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面ABC，BEAA1.ABC是正三角形，E是AC中点，BEAC，BE平面ACC1A1.又BE平面BEC1平面BEC1平面ACC1A1.（）连B1C，设BC1B1C=D. ABCA1B1C1是正三棱柱，BCC1B1是矩形，D是B1C的中点. E是AC的中点，AB1/DE. DE平面BEC1，AB1平面BEC1，AB1/平面BEC1.（）作CFBC1于F，FGBC1于G；连CG. 平面BEC1平面ACC1A，CF平面BEC1 FG是CG在平面BEC1上的射影.根据三垂线定理得，CGBC1. CGF是二面角EBC1C的平面角.设 在RtECC1中，CF=在RtBCC1中，CG= 在RtCFG中， 二面角EBC1C的大小是 （1）为寻求与的关系，首先可以将转化为. 面，于D， ， ， 为在面上的射影， ，即， 即的最大值为，等号当且仅当时取得（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得，令，解得：，与交集非空， 满足条件的点Q存在 （）作于E. 平面，.的长为点到平面ACD的距离 （） CE为在平面ACD内的射影.又，ADCD（CE） AD=BC=1，ACB=90D为AB的中点，且， （）E为CD的中点，