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第五章 平面向量【考点扫描】向量是数学的基本基本概念之一，它也是在物理学、工程技术等其它学科中解决问题的有力工具，在高中阶段学习平面向量的知识，是因为它有一整套良好的运算性质，以向量为工具，可以把几何图形的性质转化为向量的运算性质，也可以将一些代数问题转化为几何图形的性质，从面实现“数”与“形”的结合。本章所涉及到的主要知识内容有：向量的基本概念及其几何表示和坐标表示；向量的加法、减法、实数与向量的积的代数运算和几何运算；两向量的夹角两向量的数量积；线段的定比分点、平移等。本章的主要定理有：平面向量基本定理；两个向量平行的充要条件；两个向量垂直的充要条件；线段的定比分点坐标公式；中点坐标公式；平移公式。本章知识属于新内容，通过向量可以将“数”与“形”有机地结合起来。从高考的命题来看，平面向量与解析几何最为密切。如2003年江苏卷第20题，便是以平面直角坐标系为背景，求轨迹问题；同时平面向量还可与平面几何结合，如2003年江苏卷第5题，相当多的学生凭直观选C（重心），事实上由菱形的对角线平分对角可知，应选B（内心）。【方法导析】1. 向量可经用有向线段来表示它（几何表示），也可以用坐标内的一对实数（即它的坐标）来表示（向量的坐标表示）。因此，向量的运算有两种形式：几何运算（有向线段）与代数运算（坐标），在具体操作时须选择适当的方法，并注意这两种形式的相互联系及相互转化。 用几何方法来表示向量的加（减）运算时，可用平行四边形法则，也可用三角形法则。2. 平面向量的两个特殊位置关系是考查的重点。（1）两个非零向量与平行的充要条件：存在实数，使； 设，则。（2）两个非零向量与垂直的充要条件： ； 设，则。3. 利用平移公式研究曲线间的位置关系： （1）将曲线沿向量平移后的曲线方程为 。 （2）将曲线C沿向量平移后的曲线方程为，则原曲线C的方程为 。在曲线平移的过程中，曲线的几何性质不变，相关点（如顶点、焦点等）线（如对称轴、准线等）的位置关系不变。4. 平面向量中一些重要结论要记熟。（1）设三点A、B、C不共线，若，则点P直线BC；用此结论做2002年天津卷中的（见第14讲考题考题聚焦3）试题则很方便。特别地若，则（2）ABC的三顶点坐标为，则其重心坐标为 ；（3）平行四边形ABCD的四顶点为，则一定有，；（4）ABC中，点P是平面（空间中也成立）上任一点，的充要条件是：点P是ABC的重心。5. 在用定比分点公式时，首先要注意比的定义及比与点的相对位置关系，其次要注意起点、终点、分点，它们的顺序关系不能出差错。对于下列问题，可以回避掉定比分点公式，故应灵活掌握它.已知A（3，4），B（12，7），点C在直线AB上，且，则点C的坐标为 用待定系数法，设点C坐标，由及可直接求。6. 两向量的夹角与这两个
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