2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量测评新人教A版选修2.doc

第三章单元质量测评本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1若平面外直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，则能使l的是()Aa(1,0,1)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)答案D解析若l，则an0，只有选项D中an0.2已知A(1,2，1)，B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则()A(2,0，2) B(2,0,2)C(1,0，1) D(0，2，2)答案A解析由题意可知B(1,2,1)，C(1,2，1)，(2,0，2)3以下四组向量中，互相平行的组数为()a(2,2,1)，b(3，2，2)；a(8,4，6)，b(4,2，3)；a(0，1,1)，b(0,3，3)；a(3,2,0)，b(4，3,3)A1 B2 C3 D4答案B解析中a2b，ab；中ab，ab；而中的向量不平行故选B.4已知a(1，x,1)，b(2,1，1)的夹角为锐角，则函数yx24x1的值域是()A(，3) B(，3)C(4，) D(，4)答案C解析因a(1，x,1)，b(2,1，1)的夹角为锐角，则ab0，同时a(1，x,1)，b(2,1，1)不共线，即2x10，得x1，则yx24x1(x2)254，故选C.5已知A(2，4，1)，B(1,5,1)，C(3，4,1)，D(0,0,0)，令a，b，则ab为()A(5，9,2) B(5,9，2)C(5,9，2) D(5，9，2)答案B解析a(1,0，2)，b(4,9,0)，ab(5,9，2)6已知a(1,2，y)，b(x,1,2)，且(a2b)(2ab)，则()Ax，y1 Bx，y4Cx2，y Dx1，y1答案B解析由题意知，a2b(2x1,4,4y)，2ab(2x，3，2y2)(a2b)(2ab)，存在实数，使a2b(2ab)，解得7已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m8j3k，ni5j4k，则mn()A7 B20 C28 D11答案C解析因为m(0,8,3)，n(1,5，4)，所以mn0401228.8在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PA平面ABC，且PAAB，则二面角APBC的平面角的正切值为()A. B. C. D.答案A解析设PAAB2，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)(0，2，2)，(，1,0)设n(x，y，z)是平面PBC的法向量则即令y1，则x，z1.即n.易知m(1,0,0)是平面PAB的一个法向量则cosm，n.tanm，n.故选A.9已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A. B.C. D.答案C解析Q在OP上，可设Q(x，x,2x)，则(1x，2x,32x)，(2x,1x,22x)6x216x10，当x时，最小，这时Q.10已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()A. B. C. D.答案C解析以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)所以(1,0,1)，.设平面AEFD1的法向量为n(x，y，z)，则x2yz，取y1，则n(2,1,2)而平面ABCD的一个法向量为u(0,0,1)，cosn，u，sinn，u.故选C.11在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且a，i45，a，j60，则a，k()A30 B45 C60 D90答案C解析如图所示，设|a|m(m0)，a，PA平面xOy，AB，AC，PD分别为x轴、y轴、z轴的垂线，则在RtPBO中，|PB|sina，im.在RtPCO中，|OC|cosa，j，|AB|.在RtPAB中，|PA|，|OD|.在RtPDO中，cosa，k，又0a，k180，a，k60.12将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD所成的角为60；AB与CD所成的角为60.其中错误的结论是()A B C D答案C解析如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD的边长为，则D(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以(0，1,1)，(2,0,0)，0，故ACBD.正确又|，|，|，所以ACD为等边三角形正确对于，为面BCD的一个法向量，cos，.因为直线与平面所成的角，所以AB与平面BCD所成的角为45.故错误又cos，.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成的角为60.故正确第卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCDABCD中，AB1，AD2，AA3，BAD90，BAADAA60，则AC的长为_答案解析因为，所以2|2|2|2222149212cos90213cos60223cos6023，即|.故AC的长为.14正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是_答案解析如图，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0，1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量.(1，1,1)，(1,0,1)则cos，.所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为.15如图，在矩形ABCD中，AB3，BC1，EFBC且AE2EB，G为BC的中点，K为AF的中点沿EF将矩形折成120的二面角AEFB，此时KG的长为_答案解析如图，过K作KMEF，垂足M为EF的中点，连接MG，KG，则向量与的夹角为120，60.又，222211211cos603.|.16在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则A1到平面MBD的距离为_答案a解析建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，M，A1(a,0，a)，设平面MBD的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则z2，y1，n(1，1，2)A1到平面MBD的距离da.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知空间三点A(2,0,2)，B(1，1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若向量kab与ka2b互相垂直，求k的值解a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)(1)cos，a与b的夹角的余弦值为.(2)kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k，k,0)(2,0,4)(k2，k，4)，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，即2k2k100，k或k2.18(本小题满分12分)如图所示，已知几何体ABCDA1B1C1D1是平行六面体(1)化简，并在图上标出结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1NC1B，设，试求，的值解(1)如图所示，取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F2FC1，连接EF，则.(2)()()，所以，.19(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解(1)由题意易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin|cosn，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.20(本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA 的余弦值解(1)证明：设FC的中点为I，连接GI，HI，在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，OBBCB，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.(2)解法一：连接OO，则OO平面ABC.又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(0,2，0)，C(2，0,0)过点F作FM垂直OB于点M，所以FM3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量，由可得可得平面BCF的一个法向量m.因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，所以cosm，n.所以二面角FBCA的余弦值为.解法二： 连接OO.过点F作FM垂直OB于点M，则有FMOO. 又OO平面ABC，所以FM平面ABC.可得FM3.过点M作MN垂直BC于点N，连接FN.可得FNBC，从而FNM为二面角FBCA的平面角又ABBC，AC是圆O的直径，所以MNBMsin45，从而FN，可得cosFNM.所以二面角FBCA的余弦值为.21(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF？若存在，求出AF，若不存在，说明理由解假设存在F点，使CF平面B1DF.不妨设AFb，则F(a,0，b)又C(0，a,0)，B1(0,0,3a)，D，则(a，a，b)，(a,0，b3a)，.a2a200，恒成立由2a2b(b3a)b23ab2a20，得ba或b2a.当AFa或AF2a时，CF平面B1DF.22(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C