数学：56三角形的中位线

5 6三角形的中位线 C B B C两点被池塘隔开如何测量B C两点距离 想一想 A B C D E 为了测量一个池塘的宽BC 在池塘一侧的平地上选一点A 再分别找出线段AB AC的中点D E 若测出DE的长 就能求出池塘BC的长 你知道为什么吗 想一想 A B C D E 合作学习 剪一刀 将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片 1 要保证剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片 剪痕的位置有什么要求 2 若要使 ADE与梯形DBCE能拼成平行四边形 剪痕的位置有什么要求 3 要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形 可将其中的三角形作怎样的图形变换 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 三角形有三条中位线 D E分别为AB AC的中点 DE为 ABC的中位线 三角形的中位线和三角形的中线不同 同理DF EF也为 ABC的中位线 E D F 定义 三角形的中位线与第三边有什么关系 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 已知 如图 DE是 ABC的中位线 求证 证明 如图 以点E为旋转中心 把 ADE绕点E 按顺时针方向旋转180 得到 CFE A B C D E F 得到 CFE ADE CFE ADE F AD CF DE EF AB CF 又 BD AD CF 四边形BCFD是平行四边形 证明命题 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 证明二 如图 延长DE到F 使EF DE 连接CF ADE F AD CF AB CF 又 BD AD CF 四边形BCFD是平行四边形 A B C D E F DE EF AE EC AED CEF ADE CFE 已知 如图 DE是 ABC的中位线 求证 A B C E D F 证法三 延长DE到点F 使EF DE 连结AF CF CD AE EC DE EF 四边形ADCF是平行四边形 AD FC又D为AB中点 DB FC所以 四边形BCFD是平行四边形 已知 如图 DE是 ABC的中位线 求证 证法四 如图 过E作AB的平行线交BC于F 自A作BC的平行线交FE于G AG BC EAG ECF AEG CEF AG FC GE EF又 AB GF AG BF 四边形ABFG是平行四边形 BF AG FC AB GF又 D为AB中点 E为GF中点 DB EF 四边形DBFE是平行四边形 DE BF 即DE BC DE BF FC即DE 1 2BC A B C E D F G 三角形中位线定理 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 几何语言表述 DE是 ABC的中位线 或AD BD AE CE 证明平行问题 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半 适用范围 1 如图1 在 ABC中 DE是中位线 1 若 ADE 60 则 B 度 为什么 2 若BC 8cm 则DE cm 为什么 2 如图2 在 ABC中 D E F分别是各边中点AB 6cm AC 8cm BC 10cm 则 DEF的周长 cm 60 4 12 练一练 三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长的关系 面积呢 A B C D E 3 为了测量一个池塘的宽BC 在池塘一侧的平地上选一点A 再分别找出线段AB AC的中点D E 若测出DE 15m 就能求出池塘BC的长吗 练一练 例1 已知 如图 在四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 证明 如图 连接AC EF是 ABC的中位线 同理得 四边形EFGH是平行四边形 有中点连线而无三角形 要作辅助线产生三角形 有三角形而无中位线 要连结两边中点得中位线 温馨提示 顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形 平行四边形 菱形 矩形 想一想 正方形 平行四边形 菱形 想一想 菱形 矩形 正方形 想一想 不相等且不互相垂直的四边形各边中点组成 对角线 平行四边形 互相垂直的四边形各边中点组成 矩形 相等的四边形各边中点组成 菱形 相等且互相垂直的四边形各边中点组成 正方形 共同归纳 1 已知 如图 DE EF是 ABC的两条中位线 求证 四边形BFED是平行四边形 2 如图 DE是 ABC的中位线 AF是BC边上的中线 DE和AF交于点O 求证 DE与AF互相平分 练一练 练一练 3 已知 如图 ABC是锐角三角形 分别以AB AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN D E F分别是MB BC CN的中点 连结DE FE 求证 DE FE 方法点拨 在处理问题时 要求同时出现三角形及中位线 有中点