高一数学向量数量积典型例题人教

高一数学向量数量积典型例题高一数学向量性质描述的判断例1已知、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ）；、反向；A1 B2 C3 D4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则中，由及、为非零向量可得，或，且以上各步均可逆，故命题是真命题中若、反向，则、的夹角为，且以上各步均可逆，故命题是真命题中当时，将向量、的起点确定在同一点，则以向量、为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有反过来，若，则以、为邻边的四边形为矩形，所以有，因此命题是真命题中当但与的夹角和与的夹角不等时，就有，反过来由也推不出故命题是假命题 答案：C小结：（1）两向量同向时，夹角为0（或）；而反向时，夹角为（或）；两向量垂直时，夹角为因此当两向量共线时，夹角为0或，反过来若两向量的夹角为0或，则两向量共线 （2）对于命题我们可以改进为：既不是的充分条件也不是必要条件利用定义求向量的数量积例1已知，当（l）（2），（3）与的夹角为时，分别求与的数量积。分析：已知与，求，只需确定其夹角，须注意到时，有和两种可能。解：（1），若与同向，则， ；若与反向，则， ，（2）当时， ，（3）当与的夹角为时，. 小结：（1）对于数量积，其中 的取值范围是； （2）非零向量和，；（3）非零向量和共线的充要条件是 向量数量积的运算例1、已知向量为相互垂直的单位向量，那么分析：应先求出，再计算解：由已知 得 得 故 小结：解决本题也可利用向量坐标运算，或求解向量的夹角例1、已知不共线向量，且向量与垂直求：与的夹角的余弦值分析：由向量数量积定义知，所以需求之值由已知得，从中可求得之值解：垂直，根据向量数量积的运算律得，即为所求小结：非零向量是应用向量解决有关垂直问题很重要的手段，特别是根据向量数量积的定义，把研究形的问题，转化为数量问题，如已知，与夹角为，问当取何值时，与垂直，由可求得向量垂直时的参数值例1已知 ，当时，求实数的值分析：求一个实数的值，运用方程的思想，建立一个方程，通过解方程使问题得解解：，即，把，代入式，得小结：通过向量垂直两向量的数量积为0，建立等式将向量问题转化为方程求解向量垂直的证明例1 已知非零向量和夹角为，且，求证： 分析：欲证两个向量垂直只需证明它们的数量积为零证明：因为和夹角为，所以；又因为，所以，即，即因为，把代入上式消去得所以小结：这也是垂直的证明问题，但不是从平面几何的角度，而是直接从数量积的角度给出条件，再运用数量积的有关知识解决问题向量垂直例1、已知向量为相互垂直的单位向量，设 ，则分析：本题考查向量运算，两向量垂直的充要条件解：由题设可知 ， 由，得，即 ，得小结：解决本题时，应注意另外，解本题时，也可利用向量的坐标表示求解，即 ，再运用向量垂直的充要条件求出m的值求向量夹角的余弦例1设，则与的夹角的余弦值为分析：要求夹角需先求出的值。解：，把代入得由 ，得于是小结：本题涉及了平面向量的数量积的概念，性质以及有关运算律，体现了较强的综合性判断四边形形状例1、 平面四边形中，且例2、 ，判断四边形的形状分析：在四边形中可知，故，两边平方后，根据题设可得四边形边长的关系，由此从四边形的边长及内角的情况来确定四边形的形状证明：由四边形可知，（首尾相接），即展开得，同理可得（1）（2）得，即，故四边形是平行四边形.由此，又，即即故四边形是矩形小结：利用向量数量积及有关知识，可以解决许多几何问题，特别是几何图形形状的判断，因为向量积与长度（模）和角有关如用向量证明等腰三角形底边上的中线垂直于底边如图所示，为等腰三角形，为底边的中点设，故，命题成立.利用向量垂直证明平面几何垂直问题例1 如图，已知中，是直角，是的中点，是上的一点，且. 求证：. 分析：借助向量垂直的充要条件解题，即证明. 证明：设此等腰直角三角形的直角边长为，则. 所以 . 小结：用向量方法证明几何问题时，一般应把已知和结论转化成向量的形式，再通过相应的向量运算完成证明，不难发现，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度关系等方面的几何问题，利用向量的数量积可解决长度关系、角度、垂直等几何问题。已知平行四边形对角线一半的数量积例1、 如图所示，已知平行四边形， ，求：. 分析：根据向量数量积定义，来求显然不行，因为，都无法确定怎么办呢？由于，而，由此，从而可求得.解：为平行四边形，根据向量的加、减法法则知：，点为平行四边形对角线、的交点，即为、的中点，.小结：（1）通过本题我们看到了与的夹角无关，只与、有关（2）直接应用向量数量积的定义，本题无法求，而把问题转移一下，用间接的方法来解决此问题，这是数学中常用的方法（3）与不共线时，与垂直的充分条件是.怎样用平面向量的数量积处理有关垂直的问题？例2如图568，已知AD、BE、CF是ABC的三条高图568求证：AD、BE、CF相交于一点证明：设BE、CF相交于H，并设b，c，h，则hb，hc，cb，（hb）c0，（hc）b0（hb）c（hc）b化简得：h（cb）0， AH与AD重合，AD、BE、CF相交于一点H怎样用平面向量的数量积处理有关长度及夹角的问题？例3若向量a3b与7a5b垂直，并且向量a4b与7a2b垂直，求非零向量a与b的夹角分析：本题考查向量的综合运算能力和逻辑思维能力解：由已知，得即158，得161a2161b20，故|a|b|设向量a与b的夹角为，由，得30|a|b|cos7|a|28|b|2 将式代入上式，得cos，故60，即a与b的夹角为60怎样用向量运算的几何性质证明几何问题？例4已知ABCD是平行四边形求证：|2|22（|2|2）证明：设a，b，则ab，ba，于是|2|2|ab|2|ba|2（ab）2（ba）22（a2b2）2（|2|2）评注：这是一个重要的平面几何结论，证法很多，都不如向量法来得简捷例5已知cmanb，ac，bc4，又b与c的夹角为120，|a|2，|c|4，求m，n的值及a与b的夹角分析：充分利用ac0的条件解：由已知cmanb（*）（*）的两边同乘以c，则|c|2macnbc即164n，n4（*）的两边同乘以a，则acma24ab即08m4ab，ab2m（*）的两边同乘以b，则bcmab4b2而由已知4bc|b|c|cos1202|b|b|24mab16，mab12又ab2m，m26，m于是ab2|a|b|coscos，30或150n4，m，a与b的夹角为30或150评注：“同乘”一个向量，运用已知条件得方程，是一种构造法思想【同步达纲训练】1设e1、e2是两个单位向量，那么下列命题中正确的是（）Ae1e2 Be1e21 Ce12e22 De1e22设a、b、c是非零向量，则（ab）c是（）A数量 B与a共线的向量 C与c共线的向量 D无意义3已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则等于（）AB CD14已知|a|2，|b|，a与b的夹角为45，且ba与a垂直，则_5已知非零向量a、b，则ab垂直于ab的充要条件是_6已知|a|13，|b|19，且|ab|24，求|ab|的值【同步达纲训练】一、1C e12|e1|21，e22|e2|21，e12e222C abR3A （3a2b）（ab）3|a|2