第四节函数的奇偶性

第四节函数的奇偶性【热点聚焦】函数的奇偶性也是函数的一个重要的性质，在高考试题中有关函数奇偶性的试题屡见不鲜。【基础知识】1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x）或f（x）+ f（x）=0，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x）或f（x）f（x）=0，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（，+）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.4方法与技巧1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x在整个定义域内任意取值.2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.【课前训练】1（2006年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A. B. C. D. 2（2006年全国卷II）函数yf(x)的图像与函数g(x)log2x(x0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为 ( )(A)f(x)(x0) (B)f(x)log2(x)(x0)(C)f(x)log2x(x0) (D)f(x)log2(x)(x0)3（1997全国）定义在区间（，）的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间0，）的图象与f（x）的图象重合，设ab0，给出下列不等式，其中成立的是（ ）f（b）f（a）g（a）g（b） f（b）f（a）g（a）g（b） f（a）f（b）g（b）g（a） f（a）f（b）g（b）g（a）A.与 B.与 C.与 D.与4（2002上海春，4）设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x0时，f（x）=log3（1+x），则f（2）=_.5（2006年上海春卷）已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则当时， . 【试题精析】【例1】（2002京、皖春，18）已知f（x）是偶函数，而且在（0，+）上是减函数，判断f（x）在（，0）上是增函数还是减函数，并加以证明【例2】（2002全国文，20）设函数f（x）=x2+|x2|1，xR.（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值.【评述】因为奇偶函数问题要紧紧抓住“任取”“都有”这两个关键词.f（x）与f（x）要同时有意义，f（x）与f（x）要么相等，要么互为相反数，而要讨论非奇非偶只要说明不满足上述两点之一即可.另外，也可以借助分段函数的草图，帮助分析，然后用代数方法来回答.【例3】（2007年山东济南模拟题）函数f（x）的定义域为D=x|x0，且满足对于任意x1、x2D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x6）3，且f（x）在（0，+）上是增函数，求x的取值范围.【评述】解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.【例4】（2006年滨州模拟题）已知函数f（x）=x+m（p0）是奇函数.（1）求m的值.（2）当x1，2时，求f（x）的最大值和最小值.【例5】设a0，f（x）是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）证明f（x）在（0，）上是增函数【评述】本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识【例6】设f（x）为定义在R上的偶函数，当x1时，yf（x）的图象是经过点（2，0），斜率为1的射线，又在yf（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（1，1）的一段抛物线.试写出函数f（x）的表达式，并作出其图象.【针对练习】1定义在区间（，+）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间0，+）上的图象与f（x）的图象重合，设ab0，给出下列不等式，其中成立的是f（b）f（a）g（a）g（b）f（b）f（a）g（a）g（b）f（a）f（b）g（b）g（a）f（a）f（b）g（b）g（a）A. B. C. D.2函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在1，0上是减函数，那么f（x）在2，3上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数3已知函数f（x）=ax2bxc（a0）是偶函数，那么g（x）=ax3bx2cx是A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数4定义在（，）上的任意函数f（x）都可以表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和，如果f（x）=lg（10x1），x（，），那么（ ）A.g（x）=x，h（x）=lg（10x10x2）B.g（x）=lg（10x1）x，h（x）lg（10x1）xC.g（x），h（x）lg（10x1）D.g（x），h（x）lg（10x1）5（2006年辽宁卷）设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是（）(A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数6给定函数:y=（x0）；y=x2+1；y=2x；y=log2x；y=log2（x+）.在这五个函数中，奇函数是_，偶函数是_，非奇非偶函数是_.7已知f（x）是奇函数，当x（0，1）时，f（x）=lg，那么当x（1，0）时，f（x）的表达式是_.8若f（x）=为奇函数，则实数a的值为.9设f（x）=log（）为奇函数，a为常数，（1）求a的值；（2）证明f（x）在（1，+）内单调递增；（3）若对于3，4上的每一个x的值，不等式f（x）（）x+m恒成立，求实数m的取值范围.10已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、xR均有f（x+x）=f（x）+f（x），且对任意x0，都有f（x）0，f（3）=3.（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；（3）试求函数y=f（x）在m，n（m、nZ，且mn0）上的值域.第四节参考答案【课前训练】1答案B解析：在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.2D3答案：C解法一：取适合条件的特殊函数f（x）=x，g（x）=|x|并令a=2，b=1，则给出的4个不等式分别是31；31；31；31.由不成立，排除B、D，又不成立，排除A，得C.解法二：由题设知，4个不等式分别等价于f（b）0；f（b）0；f（a）0；f（a）0.由于f（x）是奇函数，且定义在（，）上，所以f（0）=0；于是，由f（x）是增函数与ab0得不等式与成立，故答案为C.解法三：如图，显然f（b）f（a）g（a）g（b），f（a）f（b）g（b）g（a），所以选C.评述：本题综合考查函数性质（奇偶性、单调性），试题比较长，兼考阅读、理解能力；题设上给出的两个函数都没有具体的解析式，借以加强概念的考查，要求对奇偶性、单调性有透彻的理解.会简化问题，对综合灵活地应用数学知识解决问题的能力要求较高.4答案：1解析：因为x0时，f（x）=log3（1+x），又f（x）为奇函数，所以f（x）=f（x），设x0，所以f（x）=f（x）=f（1x），所以f（2）=log33=1.5【试题精析】【例1】解：f（x）在（，0）上是增函数，证明如下：设x1x20，因为f（x）为偶函数所以f（x1）=f（x1），f（x2）=f（x2）由设可知x1x20，又f（x）在（0，+）上是减函数于是有f（x1）f（x2）把代入得f（x1）f（x2）由此可得f（x）在（，0）上是增函数【例2】解：（1）f（2）=3，f（2）=7由于f（2）f（2），f（2）f（2）故f（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）f（x）=由于f（x）在2，+）上的最小值为f（2）=3，在（，2）内的最小值为.故函数f（x）在（，+）内的最小值为.【例3】（1）解：令x1=x2=1，有f（11）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）证明：令x1=x2=1，有f（1）（1）=f（1）+f（1）.解得f（1）=0.令x1=1，x2=x，有f（x）=f（1）+f（x），f（x）=f（x）.f（x）为偶函数.（3）解：f（44）=f（4）+f（4）=2，f（164）=f（16）+f（4）=3.f（3x+1）+f（2x6）3即f（3x+1）（2x6）f（64）.（*）f（x）在（0，+）上是增函数，（*）等价于不等式组或或或3x5或x或x3.x的取值范围为x|x或x3或3x5.【例4】解：（1）f（x）是奇函数，f（x）=f（x）.x+m=xm.2m=0.m=0.（2）（）当p0时，据定义可证明f（x）在1，2上为增函数.f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.（）当p0时，据定义可证明f（x）在（0，上是减函数，在，+）上是增函数.当1，即0p1时，f（x）在1，2上为增函数，f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.当1，2时，f（x）在1，p上是减函数.在p，2上是增函数.f（x）min=f（）=2.f（x）max=maxf（1），f（2）=max1+p，2+.当1p2时，1+p2+，f（x）max=f（2）；当2p4时，1+p2+，f（x）max=f（1）.当2，即p4时，f（x）在1，2上为减函数，f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+.【例5】.解：（1）f（x）=是R上的偶函数，f（x）f（x）=0exe-x不可能恒为“0”，当a0时等式恒成立，a1（2）在（0，）上任取x1x2，f（x1）f（x2）e1，01，10，f（x1）f（x2）0，f（x）是在0，）上的增函数【例6】解：当x1时，设f（x）xb，则由02b，即b2，得f（x）x2；当1x1时，设f（x）ax22，则由1a（1）22，即a1，得f（x）x22；当x1时，f（x）x2故f（x）【针对练习】1解析：不妨取符合题意的函数f（x）=x及g（x）=|x|进行比较，或一般地g（x）= f（0）=0，f（a）f（b）0.答案：D2解析：偶函数f（x）在1，0上是减函数，f（x）在0，1上是增函数.由周期为2知该函数在2，3上为增函数.答案：A3解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3cx（a0）为奇函数.答案：A4解法一：注意观察四个选项中的每两个函数，容易发现C中g（x）为奇函数，且h（x）=lg（10-x1）lglg（10x1）h（x）为偶函数，又g（x）+h（x）=lg（10x1）f（x），故应选C.解法二：由已知有f（x）=g（x）+h（x），则f（x）=g（x）+h（x）=g（x）+h（x），所以g（x）=f（x）f（x）lglg10x，应选C.5【解析】A中则，即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，C中，即函数为奇函数，D中，即函数为偶函数，故选择答案D。【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。6答案： 7解析：当x（1，0）时，x（0，1），f（x）=f（x）=lg=lg（1x）.答案：lg（1x）8解析：xR，要使f（x）为奇函数，必须且只需f（x）+f（x）=0，即a+a=0，得a=1.9（1）解：f（x）是奇函数，f（x）=f（x）.log=log=01a2x2=1x2a=1.检验a=1（舍），a=1.（2）证明：任取x1x21，x11x210.001+1+0loglog，即f（x1）f（x2）.f（x）在（1，+）内单调递增.（3）解：f（x）（）xm恒成立.令g（x）=f（x）（）x.只需g（x）minm，用定义可以证g（x）在3，4上是增函数，g（x）min=g（3）=.m时原式恒成立.10分析：（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件.（2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f（0）=0后，再利用条件f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中x1、x2的任意性，可使结论得证.（3）由（1）的结论可知f（m）、f（n）分别是函数y=f（x）在m、n上的最大值与最小值，故求出f（m）与f（n）就可得所求值域.（1）证明：任取x1、x2R，且x1x2，f（x2）=fx1+（x2x1），于是由题设条件f（x+x）=f（x）+f（x）可知f（x2）=f（x1）+f（x2x1）.x2x1，x2x10.f（x2x1）0.f（x2）=f（x1）+f（x2x1）f（x1）.故函数y=f（x）是单调减函数.（2）证明：对任意x、xR均有f（x+x）=f（x）+f（x），若令x=x=0，则f（0）=f（0）+f（0）.f（0）=0.再令x=x，则可得f（0）=f（x）+f（x）.f（0）=0，f（x）=f（x）.故y=f（x）是奇函数.（3）解：由函数y=f（x）是R上的单调减函数，y=f（x）在m，n上也为单调减函数.y=f（x）在m，n上的