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第十四章 贝塞尔函数 柱函数(13)一、内容摘要1阶Bessel方程：（1） 由幂级数解法可解的其一个特解为： 另一个特解为： Bessel方程的通解可以表示为： 其中称为阶Bessel函数。易知，Bessel方程的级数解的收敛范围为（2） ，这时方程的第一个特解为：；第二个特解为： 1/2阶的Bessel方程的通解可以表示为：不为零时，方程的解为： （3）此时Bessel方程为,这时方程的第一个特解为： 可以证明方程的第二个特解可以选作Neumann函数：，因此，整数阶Bessel方程的通解为： 通常, Bessel函数又称作第一类柱函数，Neumann函数又称作第二类柱函数；并且定义第三类柱函数或Hankel函数如下：并称为第一种和第二种Hankel函数。2Bessel函数的母函数与积分表示母函数： 积分表示： 3递推公式用 表示一般 Bessel 函数，则有： 4Bessel 函数的正交关系与模用Bessel函数展开正交性： 用Bessel展开： 二、习题1填空题（1）设为阶Bessel函数，则_（2）2计算下列积分（1） （2）（3） （4）3证明（1）（2）（3）4已知，求5 将函数在区间上按正交函数系展成Fourier级数。6利用递推关系证明：（1）（2）三、参考答案1填空题（1）（2） 2解：（1）先分部积分： 由递推关系：，所以上式右端积分中的被积函数由此即得：（2）同样先部分积分： 又因为：所以，（3）根据递推公式：和得：（4）代入的积分表示式： 因为上述无穷积分绝对收敛，而且对是一致性收敛的，所以可以交换积分次序，故有： 3证明：（1）令，则，由可得，即：对比上式的实部，于是得：，证毕。 （2）由贝塞尔函数的生成函数： 两式相乘， 根据洛朗展开的唯一性，比较系数，即得：，证毕。（3） 证毕。4解： 根据递推公式,取,得再次利用递推公式, 取,得=5解： 由于在区间上连续且具有一阶连续导数，由定理得,其中.令，则有 .故所求展开式为.6证明：（1） 在中取得 ，由此可得 和两式相减可得 在上式中取，并将前面所得结果代入即得所要结果，证毕。（2
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