二轮考点透析7数列

2009年二轮考点透析7数列考点: 1.等差数列与等比数列的通项公式与求和公式灵活运用; (考查形式小题或第一问)2.等差数列与等比数列的定义特征判定及性质考查;(考查形式小题或第一问) 3.数列求和思想与求和方法的灵活考查;(压轴题形式展现) 4.数列与不等式,等综合问题.一.知三求二(等差数列与等比数列数列性质与公式是必考内容.考一道小题属送分题,如果考大题也属中档题,考基础)1.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为A.5 B.4 C. 3 D. 22已知数列的前项和，第项满足，则 A B C. D3.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）A、2 B、3 C、6 D、7【解析】,选B.4记等差数列的前项和为，若，则（ D ）A16B24C36D48【解析】，故5.（海南宁夏卷理4文8）设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）A. 2 B. 4 C. D. 解：6.（北京卷文7）已知等差数列中，若，则数列的前5项和等于（ ） A30 B45 C90 D186【解析】由, 所以【答案】 C7.（全国卷理5）已知等差数列满足，则它的前10项的和（ ）A138 B135 C95 D23【解析】C. 由；8.（北京卷理6）已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）A B C D【标准答案】: C【试题分析】: 由已知+ -12，+24,=+= -30【高考考点】: 数列【易错提醒】: 特殊性的运用【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。9.（全国卷文7）已知等比数列满足，则（ ）A64B81C128D243 10.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )（）（）（） （）【解1】：等比数列中 当公比为1时， ； 当公比为时， 从而淘汰（）（）（）故选D；【解2】：等比数列中 当公比时，； 当公比时， 故选D；【考点】：此题重点考察等比数列前项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；【突破】：特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；11.（浙江卷理6）已知是等比数列，则=（A）16（） （B）16（ （C）（） （D）（）解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由，解得 数列仍是等比数列:其首项是公比为所以, 12.在数列中， ，则 A B C D解析：. ，13.（安徽卷文15）在数列在中，,其中为常数，则 解：从而。a=2，则14.（湖北卷理14）已知函数,等差数列的公差为.若,则 .解：依题意，所以15.（上海春卷5）已知数列是公差不为零的等差数列，. 若成等比数列，则 .解析：原设等差数列的公差为d，由a22=a1a5得(1+d)2=1(1+4d)即d2-2d=0解得d=0（舍）或d=2，于是an=1+(n-1)2=2n-1.16设平面内有n条直线（n3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用表示这n条直线交点的个数，则= ；当n4时， = .（用n表示）17.（江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第n 行（n 3）从左向右的第3 个数为 18.（四川卷16）设数列中，则通项 _。二.数列的特征判定与通项公式的求法:(是必考内容,而考也是数列基础知识,凡数列考题必有数列的特征的确认,才有求数列的项与和,无法认定数列的特征,即对数列问题无法动笔,数列特征的确认是数列解题的开始)例1. 已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。【注2】本题立意与2007年高考题文科20题结构相似.解:(1) ,由此可得是等比数列且首项(2)可知是首项的等差数列,当n2时，S=4+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用例2.等差数列的前项和为（）求数列的通项与前项和；（）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列。解：（）由已知得，故（）由（）得假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则即，与矛盾所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列例3（07辽宁文）已知数列，满足，且（）（I）令，求数列的通项公式；（II）求数列的通项公式及前项和公式22本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力满分12分（）解：由题设得，即（）易知是首项为，公差为的等差数列，通项公式为（II）解：由题设得，令，则易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为由解得，求和得例4.(2006年山东文)已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3.()令()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。22解：（I）由已知得 又是以为首项，以为公比的等比数列.（II）由（I）知，将以上各式相加得： （III）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列.解法二：存在，使数列是等差数列.由（I）、（II）知，,又当且仅当时，数列是等差数列.【例1】已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点令，求证：数列是等比数列并求数列的前项和为解：（1）因为、在抛物线上，故，又因为直线的斜率为，即，代入可得， 故是以为公比的等比数列；【例2】(2007四川文)已知函数f（x）=x24，设曲线yf（x）在点（xn，f（xn）处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N +），其中为正实数.（）用xx表示xn+1；（）若x1=4，记an=lg，证明数列an成等比数列，并求数列xn的通项公式；（）若x14，bnxn2，Tn是数列bn的前n项和，证明Tn3.解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力（）由题可得所以曲线在点处的切线方程是：即令，得即显然，（）由，知，同理故从而，即所以，数列成等比数列故即从而所以（）由（）知，当时，显然当时，综上， 【例3】（天津卷20）在数列中，且（）（）设（），证明是等比数列；（）求数列的通项公式；（）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分12分（）证明：由题设（），得，即，又，所以是首项为1，公比为的等比数列（）解法：由（），（）将以上各式相加，得（）所以当时，上式对显然成立（）解：由（），当时，显然不是与的等差中项，故由可得，由得，整理得，解得或（舍去）于是另一方面，由可得，所以对任意的，是与的等差中项三.数列求和思想与求和方法的灵活考查;(压轴题形式展现)例5.(2007年山东理)设数列满足(I)求数列的通项; (II)设求数列的前项和.解：: (I) 验证时也满足上式，(II) ，, , ， (求和思想与求和法是高考的常考内容2009也应会在这一面有所体现)例6（2006湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻 四.数列与不等式【例4】（06天津）已知数列满足，并且（为非零参数，）。（1）若成等比数列，求参数的值；（2）当时，证明；（3）当时，证明。解：（I）由已知，且若、成等比数列，则，即。 而， 解得。（II）由已知及，可得由不等式的性质，有另一方面，因此，故（III）当时，由（II）可知又由（II）则从而因此 【例3】.（湖北卷21）.已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn又b1x-(+18),所以当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列.()由（）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得Sn=-要使aSnb对任意正整数n成立，即a-(+18)1（）nb(nN+) 当n为正奇数时，1f(n)f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由式得a-(+18),当a3a存在实数，使得对任意正整数n,都有aSnb,且的取值范围是（b-18,-3a-18）.五.数列重组问题例7（本小题满分12分）等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和解：设数列的公差为，则， 由成等比数列得，即，整理得， 解得或当时，当时，于是例8.（山东卷19)。(本小题满分12分)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10.记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和，且满足.()证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k3)行所有项和的和.()证明：由已知， （）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q0. 因为所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故 a82在表中第13行第三列，因此又所以 q=2. 记表中第k(k3)行所有项的和为S，则（k3）.例9.（本小题满分14分）设数列满足， 。数列满足。（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和。【解析】（1）由得 又 ， 数列是首项为1公比为的等比数列， ，当n为奇数时当n为偶数时 由 得 ，由 得 ， 同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；因此当n为奇数时当n为偶数时 （2） 当n为奇数时， 当n为偶数时令 得: -得: 当n为奇数时当n为偶数时因此例10. （2004年福建高考数学）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？本小题主要考查建立函数关系式、数