统计软件在方差分析中的程序实现毕业论文.doc

河南城建学院本科毕业设计 Abstract统计软件在方差分析中的程序实现毕业论文目录摘要IAbstractII引言1第一章 R语言与方差分析介绍21.1 R语言介绍21.1.1 R语言概述21.1.2 R语言的背景21.1.3 R语言的发展21.1.4 R语言的运用21.1.5 R软件的特点31.2 方差分析介绍41.2.1 方差分析的相关概念41.2.2 方差分析的基本思想和原理41.2.3 方差分析中的基本假定4第二章 单因素方差分析62.1 单因素方差分析概述62.1.1基本思想62.1.2数学模型62.1.3分析步骤62.2 运用R软件进行单因素方差分析92.2.1方差齐性检验92.2.3方差分析中的多重比较122.2.4 求均值之差的同时置信区间13第三章 双因素方差分析143.1 无交互作用的双因素方差分析143.1.1 数学模型143.1.2 统计分析143.1.3 运用R软件进行无交互作用的双因素方差分析173.2 有交互作用的双因素方差分析193.2.1 数学模型193.2.2 分析步骤19第四章 协方差分析254.1 协方差分析概述254.1.1 基本思想254.1.2 数学模型254.1.3 分析步骤25结论29参考文献32致谢33河南城建学院本科毕业设计 引言 引言一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存，方差分析通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用。方差分析在人类活动的各个领域有着广泛的应用，能够解决社会、经济、工农业生产、生物制药、航空航天、质量管理、环境资源等领域中的各种问题。由于所研究问题越来越复杂、变量之间关联性越来越强、数据的规模越来越大，使得原有的计算方法无法实现。面对一组数据，如果没有计算机知识，即使有丰富的统计学知识，进行分析认识也会有很大困难。近些年出版的统计学教材基本上都新增加了一部分内容，即如何应用计算机软件实现教材上讲授的统计学方法。大量的教学论文也在探讨计算机和相关软件对于统计分析的辅助作用。现在，随着计算机的不断发展与普及，特别是近20年来统计计算的突破性进展及统计软件的不断完善和成熟，使得解决这些问题不仅成为可能，而且越来越容易、快速。常见的统计软件有R、EXCEL、SPSS、MATLAB等，其中R高效的代码、简洁的输出和强大的帮助系统使统计软件辅助的统计分析成为可能。由于R具有其强大的数据、图形展示和统计分析功能，本次设计选用统计软件R来实现方差分析。但是目前在我国多数人对R还比较陌生，R在统计分析中的应用很少，关于R的公开出版物还很有限，因此完成本次设计将需要克服很多困难。怎样利用R软件完成方差分析？本次主要介绍了多组数据比较的单因素、双因素方差分析和协方差分析。将从R软件介绍、方差分析的概述、理论方法、R对实例的编程、结果分析等几方面出发，每一部分都通过具体例子重点讲述解决问题的思想、方法和在R中的实现过程。本次设计不仅可以快速学会R的基本原理与相关内容，而且根据提供的例子与之相应的R程序学会解决问题的统计计算方法与基本的编程技术，为解决更为复杂的统计分析问题奠定扎实的基础。26河南城建学院本科毕业设计 第一章 R语言与方差分析介绍 第一章 R语言与方差分析介绍1.1 R语言介绍1.1.1 R语言概述 R是一门用于统计计算和作图的语言，受S语言和Scheme语言影响发展而来。 R语言最初由新西兰奥克兰大学统计系的Robert Gentleman和Ross Ihaka合作编写。现在由R开发核心小组(R Development Core Team)维护，他们完全自愿、工作努力负责，并将全球优秀的统计应用软件打包提供给我们共享。R语言具有免费、开源及统计模块齐全的特征，已被国外大量学术和科研机构采用，其应用范围涵盖了数据挖掘、机器学习、计量经济学、实证金融学、统计遗传学、自然语言处理、心理计量学和空间统计学诸多领域。1.1.2 R语言的背景 S语言是一门用于数据分析和图示的高层语言。1998年美国计算机学（ACM）授予了S语言的设计者Jlhn M.Chambers“软件系统奖”，用以表彰S取得的成就。 Scheme语言是R的mother，是LISP语言的一个方言，与其他的Lisp不同的是Scheme是可以编译成机器代码的。它诞生于1975年的MIT，对于这个有近三十年历史的编程语言来说，在国外广泛运用，就像国内的C+、Java、C那样受到商业领域的青睐。Scheme的一个特征是可以像操作数据一样操作函数调用。Scheme其的主要目的是训练人的机器化思维。以其简洁的语言环境和大量的脑力思考而著称。主要的Scheme环境有：MIT、Scheme、DrScheme。1.1.3 R语言的发展 最早的时候，Ross ihaka 从一本书了解到了Scheme语言，Ross对Scheme非常感兴趣；大约与此同时，他获得了一版新S语言的源代码，此时他注意到Scheme和S语言二者之间的异同点。后来Ross开始准备用Scheme向别人演示词法作用域，但是由于手边没有Scheme的书，就用S演示却失败了，这让他萌生了改进S语言的想法。相当一段时间之后，Ross Ihaka和Robert Gentleman在奥克兰大学成了同事，他们对统计计算十分感兴趣，而且试图为他们的实验室寻找一个更好的软件。因为商业软件中找不到他们想要的，这使Ross想到当初改进S语言的想法，于是他们决定自己开发一种语言。1993年，Ross和Robert将R的部分二进制放到了卡耐基梅隆大学统计系的Statlib中，并在S语言的新闻列表上发布了一个公告。随后有些人开始下载使用并给他们反馈，其中以苏黎世理工学院的MartinM最为突出。Martin极力劝说两作者公布源代码，让R成为自由软件。于是1995年6月R的源代码正式发布到了自由软件协会的FTP上。1.1.4 R语言的运用R继承了S语言的关于享量化操作以及数据结构等诸多优势，加上它面向对象的特点，所以R语言在统计编程和统计图形方面显得非常灵活。传统商业软件的统计模型在R中都是以对象的形式存在，我们通常看到的大篇幅统计报告输出对R来说只是对象的某种特定表现形式。正因为R语言如此灵活，所以有诸多相关项目，比较有影响的有Bioconductor(生物信息学的应用) 、R Forge（程序开发者的场所）和R Graph Gallery（R图库）等。1.1.5 R软件的特点 现在越来越多的人开始接触、学习和使用R，因为它有其显著的优点，主要包括： 1）免费：尽管S-PLUS是非常优秀的统计分析软件，但你需要支付一笔费用，而R是一个免费的统计分析软件(环境)；2） 浮点运算功能强大：R可以作为一台高级科学计算器，因为R同Matlab一样不需要编译就可执行代码；3）不依赖于操作系统：R可以在运行于UNIX，Linux，Windows 和Macintosh的操作系统上，它们的安装文件以及安装说明都可以在CRAN(Comprehensive R Archive Network) 社区上下载； 4）帮助功能完善：R嵌入了一个非常实用的帮助系统随软件所附的pdf或html帮助文件可以随时通过主菜单打开浏览或打印。通过help命令可随时了解R所提供的各类函数的使用方法和例子； 5）作图功能强大：其内嵌的作图函数能将产生的图片展示在一个独立的窗口中，并能将之保存为各种形式的文件(例如jpg，png，bmp，ps，pdf，emf，pictex)；6）统计分析能力尤为突出：R内嵌了许多实用的统计分析函数，统计分析的结果也能被直接显示出来，一些中间结果(如p-值、回归系数、残差等)既可保存到专门的文件中，也可以直接用于进一步的分析。R的部分统计功能整合在R语言的底层，但是大多数功能则以包的形式提供。大约有25个包和R同时发布(被称为“标准”和“推荐”包)，它们都配有完整的pdf帮助文件，且其版本会随R新版本的发行得到更新，通过在线(或下载后)安装并加裁后就可融入原来的R中，实现有针对性的分析； 7）可移植性强：R程序容易移植到S-PLUS程序中；反之S-PLUS的许多过程直接或稍作修改可用于R；R与Matlab有许多相似的地方，如都可作为高级计算器，都可不经过编译直接运行源代码，但是R侧重于统计分析，而Matlab侧重于工程，例如信号处理，现在通过R.Matlab程序包可实现两者之间许多功能的共享，许多常用的统计分析软件(如SPSS，SAS，Stata及Excel)的数据文件都可读入R，这样其它软件的数据或分析的中间结果可用于R，并作出进一步的分析。8）较强大的拓展与开发能力：R是开发新的交互式数据分析方法一个非常好的工具。我们可以编制自己的函数来扩展现有的R语言，或制作相对独立的统计分析包。9）灵活而不死板：一般的软件往往会直接展示分析的结果，而R则将这些结果都存放在一个对象(object)里，所以常常在分析执行结束后并不显示任何结果。使用者(特别是初学者或非专业人员)可能会对此感到困惑，其实这样的特点是非常有用的，因为我们可以有选择地显示我们感兴趣的结果。而有的软件(如SAS和SPSS)会同时显示几个窗口，内容太多会使使用者无从选择和解释。1.2 方差分析介绍1.2.1 方差分析的相关概念方差分析就是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型因变量是否有显著影响。在方差分析中，所要检验的对象称为因素或因子（factor）。每个因子水平下得到的样本数据称为观察值。在只有一个因素的方差分析（称为单因素方差分析）中，涉及两个变量，一个是分类型自变量，一个是数值型因变量。当方差分析中涉及两个分类型自变量时称为双因素方差分析。方差分析又分为单因素方差分析、双因素方差分析和协方差分析等。1.2.2 方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想是通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。在可比较的数组中，把数据间的总的变差按各指定的变差来源进行分解的一种方法。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。经过方差分析若拒绝了检验假设，说明多个样本总体均数不相等或不全相等。在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平方和所占比例小，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。 1.2.3 方差分析中的基本假定每个总体都应服从正态分布。也就是说，对于因素的每一个水平，其观测值是来自正态分布总体的简单随机样本。各个总体的方差相同。也就是说，对于各组观测数据，是从具有相同方差的正态总体中抽取的。观测值是独立的。河南城建学院本科毕业设计 第二章 单因素方差分析 第二章 单因素方差分析2.1 单因素方差分析概述2.1.1基本思想 单因素方差分析是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响。单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为：观测变量值得变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分，用数学形式表述为。单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。方差分析是用组内平方和除以组间平方和的商与1进行相比较，若值接近1，则说明各组均数间没有显著性差异，若值远大于1，则说明各组均数间有显著性差异。 2.1.2数学模型设试验只有一个因子(又称为因素)A有个水平，在水平下进行次独立观测, 得到观测数据为，则单因素方差模型可表示为 （2.1） 其中，相互独立，为第个总体的均值。 2.1.3分析步骤为检验自变量对因变量是否有显著影响，首先需要提出“两个变量在总体中没有关系”的原假设，然后构造一个用于检验的统计量来检验这一假设是否成立。具体来说，方差分析包括提出假设、构造检验的统计量、统计决策等步骤。提出假设在方差分析中，原假设所描述的是在按照自变量的取值分成的类中，因变量的均值相等。因此，检验因素的个水平（总体）的均值是否相等，需要提出如下形式的假设： ：， 自变量对因变量没有显著影响 ：， 自变量对因变量有显著影响式中，为第个总体的均值。 如果拒绝原假设，则意味着自变量对因变量有显著影响，也就是自变量与因变量之间有显著关系；如果不拒绝原假设，则没有证据表明自变量对因变量有显著影响，也就是说，不能认为变量与因变量之间有显著关系。 构造检验的统计量 为检验是否成立，需要确定检验的统计量为：1） 计算各样本的均值 假设从第个总体中抽取一个容量为的简单随机样本，令为第个总体样本均值，则有， （2.2） 2）计算全部观测值的总均值 它是全部观测值的总和除以观测值的总个数，令总均值为，则有 （2.3） 3）计算各误差平方和为构造检验的统计量，在方差分析中，需要计算三个误差平方和，它们是总平方和、组间平方和（因素平方和）、组内平方和（误差平方和或残差平方和）。a.总平方和，记为。它是全部观测值与总平均值的误差平方和，其计算公式为： （2.4） b.组间平方和，记为。它是各组均值与总均值的误差平方和，反映各样本均值之间的差异程度，因此又称为因素平方和。其计算公式为： （2.5） c.组内平方和，记为。它是每个水平或组的各样本数据与其组均值的误差平方和，反映了每个样本各观测值得离散状况，因此称为组内平方和。该平方和反映了随机误差的大小，其计算公式为： （2.6） 4） 计算统计量由于各误差平方和的大小与观测值得多少有关，为了消除观测值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，也就是用各平方和除以它们所对应的自由度，这一结果称为均方，也称为方差。三个平方和所对应的自由度分别为：的自由度为，其中为全部观测值的个数。的自由度为，其中为全因素水平（总体）的个数。的自由度为。 由于要比较的是组间均方和组内均方之间的差异，所以通常只计算的均方和的均方。的均方也称为组间均方或组间方差，记为，其计算公式为： （2.7） 的均方也称为组内均方或组内方差，记为，其计算公式为: （2.8） 又 （2.9） 将上述和进行对比，即得到所需要的检验统计量。当为真时，与相互独立，且 （2.10） 因此与的比值服从分子自由度为，分母自由度为的分布，即 （2.11） 统计决策 如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间方差与组内方差的比值差异就不会太大；如果组间方差显著大于组内方差，说明水平（总体）之间的差异显然不仅仅有随机误差，还有系统误差。将统计量的值与给定的显著水平的临界值进行比较，从而作出对原假设的决策。 根据给定的显著性水平，在分布表中查找与分子自由度、分母自由度相应的临界值。1） 若，则拒绝原假设，表明之间的差异是显著的；也就是说，所检验的因素对观测值有显著影响。若，则不拒绝原假设，不能表明(=1，2，)之间有显著差异；也就是说，这时还不能认为所检验的因素对观测值有显著影响。 2）一般作如下规定：若在水平下拒绝，即，则称因素的影响高度显著，并记为“”；若在水平下拒绝，但在下不拒绝，即，则称因素的影响显著，并记为“”；若在水平时拒绝，但在下不拒绝，即，则称因素有一定影响，记作“”；若在水平时不拒绝，即，则称因素无显著影响。 3）统计量的分布图如下： 错误！未找到引用源。 图2.1 方差分析表 表2.1 单因素方差分析表的一般形式1 误差来源 误差平方和 自由度 均方 值 值临界值2组间（因素影响） 3 组内(误差) 4总和 2.2 运用R软件进行单因素方差分析2.2.1方差齐性检验 例2.1 为了调查1.5V3号干电池的寿命是否由于生产工厂的不同，在实验中选用5家不同的工厂，每个工厂各取4个产品，即重复4次，结果如表2.2所示。表2.2 不同工厂的电池寿命 生产工厂 电池寿命/h 125.622.228.029.8224.430.029.027.5325.027.723.032.2428.828.031.525.9520.621.222.021.2 前面已提到要进行方差分析，应具备以下三个条件： (1)可加性 (2)独立正态性(3)方差齐性。方差齐性检验就是检验数据在不同水平下方差是否相同。R软件中，函数Barlett.test( )提供Bartlett检验，用来检验方差齐性。其调用格式为：bartlett.test(x, g, .) bartlett.test(formula, data, subset, no.action, .)说明：是由数据构成的向量或列表；是由因子构成的向量，当是列表时，此项无效；formula是方差分析公式，data是数据框检验。 解 R命令为：XAmbartlett.test(XA, data=m) 运行结果为 Bartlett test of homogeneity of variancesdata: X by ABartletts K-squared = 7.0966, df = 4, p-value = 0.1309 说明：上述结果中df表示自由度；p-value表示检验的值。 从结果可知值(0.1309)0.05，接受原假设，认为各处理组的数据是等方差的。2.2.2 单因素方差分析的程序实现 R中函数aov( )提供了方差分析的计算与检验, 其调用格式为：aov(formula, data=NULL, projections=FALSE,qr=TRUE, contrasts=NULL, .)说明：formula是方差分析的公式，在单因素方差分析中它表示为，data是数据框。 继续对例2.1进行方差分析，R程序为： aov.gc summary(aov.gc) 运行结果为： Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F) A 4 132.0 32.99 4.306 0.0162 *Residuals 15 114.9 7.66 -Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1说明：上述结果中，Df表示自由度；sum Sq表示平方和；Mean Sq表示均方和；F value表示检验统计量的值，即比；Pr(F)表示检验的值；A就是因素A；Residuals为残差。可以看出，或者，说明有理由拒绝原假设，即认为五家生产工厂有显著差异。据上述结果可以填写下面的方差分析表： 表2.3 电池寿命的方差分析表误差来源 误差平方和 自由度 均方 值 值组间（因素影响） 132.04 32.99 4.306 0.0162组内(误差) 114.9157.66 总和 246.919 再通过函数plot( )绘图可直观描述5家工厂电池寿命之间的差异。R程序代码为：plot(XA) 得到图2.2 图2.2 不同工厂电池寿命的差异 从图形上也可以看出，5家工厂生产的电池寿命有显著差异，特别第5家与前面的4家，而工厂1与3，工厂2与4的差异不明显。2.2.3方差分析中的多重比较R软件中函数pairwise.t.test( )可以得到多重比较的值，其调用格式为： pairwise.t.test(x, g, p.adjust.method=p.adjust.methods,pool.sd=TRUE, .)说明：是响应变量构成的向量，是分组向量(因子)。p.adjust.method是上面提到的调整值的方法，“p.adjust.method=none”表示不作任何调整，默认值按Holm方法调整。 对上述例子作均值的多重比较，进一步检验 ： （） 解 R中程序为： pairwise.t.test(X, A, p.adjust.method=none) 运行结果为： Pairwise comparisons using t tests with pooled SD data: X and A 1 2 3 4 2 0.5087 - - - 3 0.7729 0.7069 - - 4 0.2893 0.6793 0.4335 - 5 0.0189 0.0048 0.0104 0.0020P value adjustment method: none 从上面结果可知0.0189 、0.0048 、0.0104 、0.0020均小于0.05，检验的结果与图2.2一致，即与其它4个差异明显，后者差异不明显。2.2.4 求均值之差的同时置信区间 函数TukeyHSD( )用于计算同时置信区间，其调用格式为：TukeyHSD(x, which, ordered=FALSE, conf.level=0.95.)说明：为方差分析的对象，which是给出需要计算比较区间的因子向量，ordered是逻辑值，如果为true，则因子的水平先递增排序，从而使得因子间差异均以正值出现，conf.level是置信水平。 对例2.1均值之间的同时置信区间的R命令为： TukeyHSD(aov(XA, m) ) 运行结果为：Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence levelFit: aov(formula = X A, data = m)$A diff lwr upr p adj2-1 1.325 -4.718582 7.3685818 0.95845663-1 0.575 -5.468582 6.6185818 0.99818154-1 2.150 -3.893582 8.1935818 0.80466445-1 -5.150 -11.193582 0.8935818 0.11405373-2 -0.750 -6.793582 5.2935818 0.99491814-2 0.825 -5.218582 6.8685818 0.99269055-2 -6.475 -12.518582 -0.4314182 0.03302404-3 1.575 -4.468582 7.6185818 0.92513375-3 -5.725 -11.768582 0.3185818 0.06751525-4 -7.300 -13.343582 -1.2564182 0.0146983 可以看出，共有10个两两比较的结果，只有在5 -2中p adj=0.03302400.05，5-4中p adj=0.0146983 m m.aov summary(m.aov) 运行结果： Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F) A 2 4.495 2.2476 96.879 0.000409 *B 2 0.074 0.0372 1.603 0.308052 Residuals 4 0.093 0.0232 -Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 查表得，。因，所以因素A对指标影响高度显著；而，所以因素B对指标没有显著影响。即不同比重的木材抗压强度明显不同，而不同加荷速度对抗压强度无显著影响。 用函数bartlett.test( )分别对例3.1中因素A和因素B作方差的齐性检验： bartlett.test(XA, data=m) #对因素A检验 运行结果：Bartlett test of homogeneity of variancesdata: X by ABartletts K-squared = 1.3964, df = 2, p-value = 0.4975 bartlett.test(XB, data=m) #对因素B检验 运行结果：Bartlett test of homogeneity of variancesdata: X by BBartletts K-squared = 0.0652, df = 2, p-value = 0.9679 可知对因素A，值(0.4975）远大于0.05，接受原假设，认为因素A的各水平下的数据是等方差的；对因素B，值(0.9679)远大于0.05，接受原假设，即认为因素B也满足方差齐性要求。3.2 有交互作用的双因素方差分析3.2.1 数学模型 设因素A有个不同水平，因素B 有个不同水平。在与的搭配下均作了次重复试验。在许多情况下，两因素A与B之间存在着一程度的交互作用。为了考察因素间的交互作用，要求在两个因素的每一水平组合下进行重复试验。记第次的观测值为。则有交互作用的双因素方差分析模型可表示为 （3.15）为因素A的第个水平的效应，为因素B的第个水平的效应，为因素A和因素B的交互作用，。3.2.2 分析步骤 对模型检验假设： ，(因素A对指标没有影响) ，(因素B对指标没有影响) ，(因素A和B没有联合作用) 构造检验的统计量 设：为对应于A因素的第个水平和B因素的第个水平的第次的观察值； 为A因素的第个水平的样本均值； 为B因素第个水平的样本均值； 为对应与A因素的第个水平和B因素的第个水平组合的样本均值； 为全部个观测值的总均值。 1）各平方和的计算公式如下： 总平方和： （3.16） A变量平方和： （3.17） B变量平方和： （3.18） 交互作用平方和： （3.19） 误差平方和： （3.20） 2）可以证明： a.当成立时， （3.21） b.当成立时， （3.22） c. 当成立时， （3.23） 统计决策： 当，则拒绝；当，则拒绝；当，则拒绝，否则接受。 有交互作用的双因素方差分析表 A变量中每一个水平的行数为，观察数据的总数为。其方差分析表的一般形式为： 表3.3 有交互作用的双因素方差分析表 1误差来源平方和自由度 均方值值临界值 2A因素 3B因素 4 交互 作用 5 误差 6 总和 3.2.3 R在有交互作用的双因素方差分析中的程序实现 R软件中仍用函数aov( )进行有交互作用的方差分析，但其中的方差模型格式为。下面用一个例子来全面展示有交互作用方差分析过程。 例3.2 某化工产品的生产过程中，为了提高收取率，选了三种浓度、四种温度做实验，在每种浓度与温度配合下各做两次实验，其收取率如表4所示： 表3.4 温度/浓度/%ABCDa4，01,13，-10,2b-1，-30，-2-3,1-4,0c-5,13,42,34,0 在显著性水平下，检验不同浓度、不同温度以及它们之间的交互作用对收取率有无显著影响。 解 首先以数据框形式输入数据，并用函数plot( )作图。图3.1显示两因素各水平均有较大差异存在。 mopplot(sqlnd+wd, data=m)Waiting to confirm page change. 运行结果为 图3.1 浓度和温度双因素各自效应图 下面再用函数interaction.plot( )作出交互效应图，以考查因素之间交互作用是否存在，R程序为 with(m,interaction.plot(nd, wd, sql, trace.label=wd) with(m,interaction.plot(wd, nd, sql, trace.label=nd) 运行结果为 (a)以温度跟踪变量 (b)以浓度为跟踪变量 图3.2 交互效应图两图中的曲线并没有明显的相交情况出现，因此我们初步认为两个因素没有交互作用。尽管如此，由于实验误差的存在，我们用方差分析函数aov( )对此进行确