江苏省姜堰中学2014年学年度寒假自我检测(附答案).doc

江苏省姜堰中学2014年学年度暑假自我检测（附答案）高一年级18班级（A班）姓名：_班级：_考号：_题号一、简答题二、计算题三、综合题总分得分评卷人得分一、简答题1、已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围评卷人得分二、计算题2、已知函数的最小值为（）求 （）是否存在实数m，n同时满足下列条件：mn3；当的定义域为n，m时，值域为n2，m2？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由.3、已知函数（1）判断函数的奇偶性；（2）求证：；（3）若，求的值。4、已知函数 （1）若函数上为增函数，求正实数a的取值范围； （2）当a=1时，求上的最大值和最小值； （3）当时，求证：对大于1的正整数n，5、已知函数f(x)（xR）满足下列条件：对任意的实数x1、x2都有f(x1)f(x2)和|f(x1) f(x2)|x1x2|，其中是大于0的常数，设实数a0，a，b满足f(a0)=0，b=af(a). （1）证明1，并且不存在b0a0，使得f(b0)=0 （2）证明（ba0）2(12)(aa0)2 （3）证明f(b)2(1) f(a)26、若且（1）求对所有实数成立的充要条件（用表示）（2）设为两实数，且若求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）7、已知函数在区间内各有一个极值点.（）求的最大值； （）当时，设函数在点处的切线为，若在点A处穿过的图象（即动点在点A附近沿曲线运动，经过点A时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式.8、已知函数(1)证明：存在，使；(2)设=0，其中=1，2，证明：；(3)证明：9、如果函数在区间D上有定义，且对任意，则称函数为区间D上的“凹函数”， （）已知是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由； （）对于（）中的函数有下列性质：“若使得”成立，利用这个性质证明唯一. （）设A、B、C是函数图象上三个不同的点，求证：ABC是钝角三角形.评卷人得分三、综合题（每空？ 分，共？ 分）10、已知函数 （1）若，且对任意的实数，都有成立，求的取值范围；（2）若时，的最大值为M，求证：；（3）若,求证：对于任意的，恒成立的充要条件是11、已知a为实数，函数f(x)=x2-2alnx.（）求f(x)在1，+上的最小值g(a);（）若a0,试证明“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条件是“a=”.12、已知函数与的图象相交于，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点（I）求的取值范围；（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）13、已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直(1) 求实数的值；(2) 求在 （为自然对数的底数）上的最大值；(3) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？14、定义：对函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”。（1）若函数为“1性质函数”，求；（2） 判断函数是否为“性质函数”？说明理由；（3）若函数为“2性质函数”，求实数的取值范围；15、设二次函数方程的两根和满足 （）求实数a的取值范围; （）试比较的大小，并说明理由.16、已知函数f(x)=mx3+nx2(m、nR ,m0)的图像在（2，f(2)）处的切线与x轴平行.（1）求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间；（2）证明：对任意实数0x1x21, 关于x的方程：在（x1,x2）恒有实数解（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)是在闭区间a,b上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x0，使得.如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明：当0an3， 上是减函数. 的定义域为n，m；值域为n2，m2， 得：mn3， m+n=6，但这与“mn3”矛盾. 满足题意的m，n不存在3、解：（1）由得。函数的定义域为（1，1），关于原点对称。函数可变为。又，是奇函数。 （2）证明，（3）是奇函数， 又 由可得，解得。4、解：（1）由已知：， 依题意得：恒成立， （2）当 则上的惟一的极小值点，也就是最小值点，故； 即函数 综上知函数最小值是0。 （3）当由（1）知，函数上为增函数， 当， 即5、证明：（1）任取则由和可知从而假设有式知矛盾不存在使（2）由可知 由式得 由式得将代入得（3）由式知（用式）（用式）6、解:（）恒成立（*）因为所以，故只需（*）恒成立综上所述，对所有实数成立的充要条件是：（）1如果，则的图象关于直线对称因为，所以区间关于直线 对称因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为2如果.（1）当时.，当，因为，所以，故=当，因为，所以故=因为，所以，所以即当时，令，则，所以，当时，所以=时，所以=在区间上的单调增区间的长度和=（2）当时.，当，因为，所以，故=当，因为，所以故=因为，所以，所以当时，令，则，所以，当时， ，所以=时，所以=在区间上的单调增区间的长度和=综上得在区间上的单调增区间的长度和为7、解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16（）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）当时，当时，；或当时，当时，设，则当时，当时，；或当时，当时，由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故8、解：(1)令g()=()一，则g(0)=(0)一0=，g()=()一= 又g()在0，上连续，所以存在0(0，)使g(0)=0，即(0)= 0(2)()=322+=3(一)2+0()是R上的单调增函数00，即10y1，又()是增函数(1) (0)(y1)，即200=1，y2=(y1)=()= =y1综上，110y2y1用数学归纳法证明如下：当=1时，上面已证明成立；假设当=k(k1)时，有kk+10yk+1yk 当=k+1时，由()是单调递增函数，有(k)(0)(yk+1)(yk)即k+1k+20yk+2yk+1由和知，对一切=1，2，都有nn+10yn+1yn(3)方法一：0nyn，0nyn，0n+yn1得一n+yn一 = = (+)2一(+)+ =(+)2+，即-(-)方法二：0，0+1 = = 0知mx(x-2)0.当m0时得x2，f(x)的减区间为（0，2）；当m0时得：0x0时，f(x)的减区间为（0，2）；当m0时,f(x)的减区间为（-，0），（2，+）；可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0,令h(x)= 3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2则h(x1)=(x1-x2)(2x1+x2-3),h(x2)=(x2-x1)(x1+2x2-3),即h(x1)h(x2)=-(x1-x2)2(2x1+x2-3)(x1+2x2-3) 又因为