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文档简介

导数在研究函数中的应用极大值与极小值【教学目标】1、理解极大值与极小值的概念；2、掌握求可导函数的极值的方法和步骤oxy（1）【教学过程】一、问题情境问题1：方程在内有几个解？问题2：求函数的单调区间？问题3：你会画的草图吗？问题4：在和处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系？问题5：函数在极值点的导数值为多少？在极值点附近导数值符号有什么规律？二、知识建构1. 极值的概念：设函数在及其附近有意义，如图（1）所示，函数图象在点处从左侧到右侧由“上升”到“下降”（函数由单调增变为单调减），这时在点附近，点的位置最高，即比它附近的函数值都要大，我们称为函数的一个极大值；类似地，为函数的一个极小值.函数的极大值、极小值统称为函数的极值，使取到极值的点称为极值点. 说明：1、极值点是区间内部的点，不会是端点；2、极值是一个局部性的概念，一个函数在其定义域内，可以有多个极小值和极大值，且极小值和极大值没有必然的大小关系；3、若在内有极值，那么在内绝不是单调函数.反之，在 内单调的函数在内没有极值；4、一般地，函数在上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点、极小值点是交替出现的.2. 极值点与导数的关系：（如图1）极大值与导数的关系：左侧右侧极小值与导数的关系：左侧右侧说明：一般地，当函数在点处连续时，1、如果在附近的左侧，右侧，那么为极大值；2、如果在附近的左侧，右侧，那么为极小值；3、如果在的两侧的的符号相同，那么不是的极值点.3求可导函数极值的步骤：1、先求；（因式分解，便于求根及判断的符号）2、求的根，寻找“可疑点”；3、列表，判断符号，求出极值.三、例题分析：例1. 在下列各命题中，真命题的序号为_（1）单调递增函数存在着极大值； （2）单调递减函数存在着极小值；（3）由单调递增转化为单调递减的连续函数存在极大值；（4）由单调递减转化为单调递增的连续函数存在极小值.例2. 已知函数是定义在闭区间上的连续函数，在开区间内可导，且，则在上下列各结论中正确的是_（填序号）（1）是极小值，是极大值； （2）是极大值，是极小值；（3）有极值，但极值不是、；（4）既没有极小值，又没有极大值例3. 求下列函数的极值：（1）； （2）； （3）.例4. 已知在点处有极小值，求，并求出的单调区间.变题：已知函数在时有极值10，求的值.四、课堂练习：（一）课本P31 1，2，3（二）补充：1、下列函数有极值的是_（填序号） 2、函数的极小值为_3、函数在区间上取得极大值时的值为_4、下列说法中正确的是_（填序号） 函数的极大值一定大于函数的极小值； 函数在定义域上可以有无数个极大值与无数的极小值； 函数在定义域上有极大值时一定有极小值； 函数在定义域上不是单调函数时，一定有极值.5、若函数在上能取到极值，则的取值范围是_6、若函数在处有极值0，则_7、，在
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