第8讲 矩阵的直积及其应用.doc

第8讲 矩阵的直积及其应用内容：1. 矩阵直积的定义与性质2. 矩阵直积在解矩阵方程中的应用矩阵直积（Kronecker积）在矩阵论及系统控制等工程研究领域有十分重要的应用运用矩阵直积运算，能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组1 矩阵直积的定义与性质1.1 矩阵直积定义1.1 设，称如下的分块矩阵为与的直积（Krionecker积，张量积），记为是一个个块的分块矩阵，简写为 显然与为同阶矩阵，但一般，即矩阵的直积不满足交换律. 对单位矩阵，有. 例1.1 设，则，.定义1.2 若，则 ，称为向量与的外积.1.2 矩阵直积的性质 定理1.1 矩阵的直积具有如下基本性质：（1）；（2）；（3），；（4）； （5）；（6）若则，若，则；（7）若，均可逆，则可逆，且；（8）若和都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、实对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则也分别是这种类型的矩阵.定义1.3二元复系数多项式为，若矩阵，则阶矩阵，其中，.定理1.2 设，的特征值为，的特征值为，则的全体特征值为，证明 由Schur定理知存在酉矩阵使得，其中，为上三角矩阵，由定理1.1知， 为酉矩阵，为上三角矩阵，则 也是上三角矩阵. 且与有相同的特征值. 则的对角元即为的全部特征值. 因为，因此，的对角元为，推论1.1 设的特征值为，的特征值为，则（1）的特征值为，；（2）的个特征值为，；（3）；（4）.定理1.3 设，则证明 记，有相应阶数的可逆矩阵使得，则 ，由，可逆，则 2 矩阵直积在解矩阵方程中的应用2.1 矩阵的拉直定义2.1 设， 令 ，称为矩阵的列拉直矩阵也可以按行拉直为行向量，记作，有, 定理2.1 设，则 证明 记，则 ，而 故 推论2.1 设，则（1）；（2）；（3）2.2 线性矩阵方程在系统控制等工程领域，经常遇到矩阵方程（Lyapunov型方程）的求解问题，其中，为已知常数矩阵，为未知矩阵. 利用矩阵的直积和拉直，可以给出线性矩阵方程的可解性及解法.一般的线性矩阵方程可表示为， 其中为已知常数矩阵，未知矩阵.定理2.2 线性矩阵方程有解的充分必要条件是，其中，为已知常数矩阵，未知矩阵.证明 有解，有解 有解，有解 定理2.3 设的特征值为，的特征值为，则矩阵方程有唯一解的充要条件是，其中，为已知常数矩阵，为未矩阵证明 有唯一解，有唯一解有唯一解的特征值不为零推论2.1 设的特征值为，的特征值为，则矩阵方程有非零解的充分必要条件是存在与，使，推论2.2 设，则矩阵方程有唯一解的充分必要条件是时必有，其中为的谱，为的共轭复数.定理2.4 设的特征值为，的特征值为，则矩阵方程有唯一解的充分必要条件是，其中为已知常数矩阵，为未知矩阵定理2.5 若矩阵方程中矩阵的所有特征值具有负实部（称这类矩阵为稳定矩阵），则该矩阵方程有唯一解 ，其中，为已知常数矩阵，为未知矩阵证明 设的特征值为，存在可逆矩阵，使，其中，取0或1 则 ，这里，为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为.设的特征值为，类似可得出，存在可逆矩阵，其中，为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为因 的右端乘积矩阵的元素都是因子的关于的多项式倍数的组合，且积分存在令，则 ，两边求积分，可得 ，即 也就是的解，因积分存在，且的所有特征值实部为负，则，唯一性可由定理2.3得出.推论2.3 设的特征值满足，则方程的唯一解为如果为Her