勾股定理的逆定理（1）

1 探索构建新课程理念下的课堂教学有效模式探索构建新课程理念下的课堂教学有效模式 小组合作学习研究小组合作学习研究 之教案设计之教案设计 学科 数学学科 数学 教学内容 勾股定理的逆定理教学内容 勾股定理的逆定理 1 教师姓名 丁剑英教师姓名 丁剑英 教学目标 教学目标 1 1 掌握直角三角形的判别条件 掌握直角三角形的判别条件 2 2 熟记一些勾股数 熟记一些勾股数 3 3 掌握勾股定理的 掌握勾股定理的 逆定理的探究方法 逆定理的探究方法 教学重难点 教学重难点 重点 如何用三角形三边之间的关系判断一个三角形是否为直角三角形 重点 如何用三角形三边之间的关系判断一个三角形是否为直角三角形 难点 会应用直角三角形判别方法解决实际问题 教学时要给学生充分交流的难点 会应用直角三角形判别方法解决实际问题 教学时要给学生充分交流的 时间和空间 时间和空间 让学生学会自主学习 让学生学会自主学习 课前准备 课件课前准备 课件 课时安排 一课时课时安排 一课时 教学过程教学过程 一 一 情情 景景 导导 入入 活动活动 1 1 1 1 总结直角三角形有哪些性质 总结直角三角形有哪些性质 2 2 一个三角形 满足什么条件是直角三角一个三角形 满足什么条件是直角三角 形形 设计意图 通过对前面所学知识的归纳总结 联想到用三边的关系是否可以判断一个设计意图 通过对前面所学知识的归纳总结 联想到用三边的关系是否可以判断一个 三角形为直角三角形 提高学生发现反思问题的能力 三角形为直角三角形 提高学生发现反思问题的能力 师生行为师生行为 学生分组讨论 交流总结 教师引导学生回忆 学生分组讨论 交流总结 教师引导学生回忆 本活动 教师应重点关注学生 本活动 教师应重点关注学生 能否积极主动地回忆 总结前面学过的旧知识 能否积极主动地回忆 总结前面学过的旧知识 能否能否 温故知新温故知新 生 直角三角形有如下性质 生 直角三角形有如下性质 1 1 有一个角是直角 有一个角是直角 2 2 两个锐角互余 两个锐角互余 3 3 两直角两直角 边的平方和等于斜边的平方 边的平方和等于斜边的平方 4 4 在含在含 30 30 角的直角三角形中 角的直角三角形中 30 30 的角所对的直角的角所对的直角 边是斜边的一半 边是斜边的一半 师 那么 一个三角形满足什么条件 才能是直角三角形呢师 那么 一个三角形满足什么条件 才能是直角三角形呢 生 有一个内角是生 有一个内角是 90 90 那么这个三角形就为直角三角形 那么这个三角形就为直角三角形 生 如果一个三角形 有两个角的和是生 如果一个三角形 有两个角的和是 90 90 那么这个三角形也是直角三角形 那么这个三角形也是直角三角形 师 前面我们刚学习了勾股定理 知道一个直角三角形的两直角边师 前面我们刚学习了勾股定理 知道一个直角三角形的两直角边 a a b b 斜边斜边 c c 具有一定的数量关系即具有一定的数量关系即 a a2 2 b b2 2 c c2 2 我们是否可以不用角 而用三角形三边的关系来 我们是否可以不用角 而用三角形三边的关系来 判定它是否为直角三角形呢判定它是否为直角三角形呢 我们来看一下古埃及人如何做我们来看一下古埃及人如何做 二 二 自自 主主 学学 习习 活动活动 2 2 问题 据说古埃及人用下图的方法画直角 把一根长蝇打上等距离的问题 据说古埃及人用下图的方法画直角 把一根长蝇打上等距离的 1313 个个 结 然后以结 然后以 3 3 个结 个结 4 4 个结 个结 5 5 个结的长度为边长 用木桩钉成一个三角形 其中一个个结的长度为边长 用木桩钉成一个三角形 其中一个 角便是直角 角便是直角 这个问题意味着 如果围成的三角形的三边分别为这个问题意味着 如果围成的三角形的三边分别为 3 3 4 4 5 5 有下面的关系 有下面的关系 2 3 32 2 4 42 2 5 52 2 那么围成的三角形是直角三角形 那么围成的三角形是直角三角形 三 三 合合 作作 探探 究究 画画看 如果三角形的三边分别为画画看 如果三角形的三边分别为 2 5cm2 5cm 6cm6cm 6 5cm6 5cm 有下面的关系 有下面的关系 2 5 2 52 2 6 62 2 6 56 52 2 画出的三角形是直角三角形吗 画出的三角形是直角三角形吗 换成三边分别为换成三边分别为 4cm4cm 7 5cm7 5cm 8 5cm8 5cm 再试一试 再试一试 设计意图 由特殊到一般 归纳猜想出设计意图 由特殊到一般 归纳猜想出 如果三角形三边如果三角形三边 a a b b c c 满足满足 a a2 2 b b2 2 c c2 2 那么这个三角形就为直免三角形的结论 培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题那么这个三角形就为直免三角形的结论 培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题 的一般方法 的一般方法 师生行为师生行为 让学生在小组内共同合作 协让学生在小组内共同合作 协手完成此活动 教师参与此活动 并给学生手完成此活动 教师参与此活动 并给学生 以提示 启发 在本活动中 教师应重点关注学生 以提示 启发 在本活动中 教师应重点关注学生 能否积极动手参与 能否积极动手参与 能否从能否从 操作活动中 用数学语言归纳 猜想出结论 操作活动中 用数学语言归纳 猜想出结论 学生是否有克服困难的勇气 学生是否有克服困难的勇气 生 我们不难发现上图中 第生 我们不难发现上图中 第 1 1 个结到第个结到第 4 4 个结是个结是 3 3 个单位长度即个单位长度即 ACAC 3 3 同 同 理理 BCBC 4 4 ABAB 5 5 因为 因为 3 32 2 4 42 2 5 52 2 我们围成的三角形是直角三角形 我们围成的三角形是直角三角形 生 如果三角形的三边分别是生 如果三角形的三边分别是 2 5cm2 5cm 6cm6cm 6 5cm6 5cm 我们用尺规作图的方法作此 我们用尺规作图的方法作此 三角形 经过测量后 发现三角形 经过测量后 发现 6 5cm6 5cm 的边所对的角是直角 并且的边所对的角是直角 并且 2 52 52 2 6 62 2 6 56 52 2 再换成三边分别为再换成三边分别为 4cm4cm 7 5cm7 5cm 8 5cm8 5cm 的三角形 目标可以发现的三角形 目标可以发现 8 5cm8 5cm 的边所对的边所对 的角是直角 且也有的角是直角 且也有 4 42 2 7 57 52 2 8 58 52 2 是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方 就能得到一个直角是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方 就能得到一个直角 三角形呢三角形呢 活动活动 3 3 下面的三组数分别是一个三角形的三边长下面的三组数分别是一个三角形的三边长 a a b b c c 5 5 1212 1313 7 7 2424 2525 8 8 1515 1717 1 1 这三组效都满足这三组效都满足 a a2 2 b b2 2 c c2 2吗吗 2 2 分分别以每组数为三边长作出三角形 用量角器量一量 它们都是直角三角形吗别以每组数为三边长作出三角形 用量角器量一量 它们都是直角三角形吗 设计意图 本活动通过让学生按已知数据作出三角形 并测量三角形三个内角的度数设计意图 本活动通过让学生按已知数据作出三角形 并测量三角形三个内角的度数 来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件 来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件 师生行为 学生进一步以小组为单位 按给出的三组数作出三角形 从而更加坚信前师生行为 学生进一步以小组为单位 按给出的三组数作出三角形 从而更加坚信前 面猜想出的结论 面猜想出的结论 教师对学生归纳出的结论应给予解释 我们将在下一节给出证明 本活动教师应教师对学生归纳出的结论应给予解释 我们将在下一节给出证明 本活动教师应 重点关注学生 重点关注学生 对猜想出的结论是否还有疑虑 对猜想出的结论是否还有疑虑 能否积极主动的操作 并且很有能否积极主动的操作 并且很有 耐心 耐心 生 生 1 1 这三组数都满足这三组数都满足 a a2 2 b b2 2 c c2 2 2 2 以每组数为边作出的三角形都是直角三以每组数为边作出的三角形都是直角三 角形 角形 师 很好 我们进一步通过实际操作 猜想结论 师 很好 我们进一步通过实际操作 猜想结论 命题命题 2 2 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a a b b c c 满足满足 a a2 2 b b2 2 c c2 2那么这个三角形是直角三角那么这个三角形是直角三角 形 形 同时 我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理 实际上 古代中国人也曾利同时 我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理 实际上 古代中国人也曾利 用相似的方法得到直角 直至科技发达的今天用相似的方法得到直角 直至科技发达的今天 人类已跨人人类已跨人 2121 世纪 建筑工地上的世纪 建筑工地上的 工人师傅们仍然离不开工人师傅们仍然离不开 三四五放线法三四五放线法 三四五放线法三四五放线法 是一种古老的归方操作 所谓是一种古老的归方操作 所谓 归方归方 就是就是 做成直角做成直角 譬如 譬如 建造房屋 房角一般总是成建造房屋 房角一般总是成 90 90 怎样确定房角的纵横两线呢 怎样确定房角的纵横两线呢 3 四 四 交交 流流 反反 馈馈 如下图 欲过基线如下图 欲过基线 MNMN 上的一点上的一点 C C 作它的垂线 可由三名工人操作 一人手拿布尺作它的垂线 可由三名工人操作 一人手拿布尺 或测绳的或测绳的 0 0 和和 1212 尺处 固定在尺处 固定在 C C 点 另一人拿点 另一人拿 4 4 尺处 把尺拉直 在尺处 把尺拉直 在 MNMN 上定出上定出 A A 点 点 再由一人拿再由一人拿 9 9 尺处 把尺拉直 定出尺处 把尺拉直 定出 B B 点 于是连结点 于是连结 BCBC 就是 就是 MNMN 的垂线 的垂线 建筑工人用了建筑工人用了 3 3 4 4 5 5 作出了一个直角 能不能用其他的整数组作出直角呢作出了一个直角 能不能用其他的整数组作出直角呢 生 可以 例如生 可以 例如 7 7 2424 2525 8 8 1515 1717 等 等 据说 我国古代大禹治水测量工程时 也用类似的方法确定直角 据说 我国古代大禹治水测量工程时 也用类似的方法确定直角 活动活动 4 4 问题 命题问题 命题 1 1 如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为 a a b b 斜边长为 斜边长为 c c 那 那 么么 a a2 2 b b2 2 c c2 2 命题 命题 2 2 如果三角形的三边长分别为如果三角形的三边长分别为 a a b b c c 满足 满足 a a2 2 b b2 2 c c2 2那么这那么这 个三角形是直角三角形 它们的题设和结论各有何关系个三角形是直角三角形 它们的题设和结论各有何关系 设计意图 认识什么样的两个命题是互逆命题 明白什么是原命题 什么是逆命题设计意图 认识什么样的两个命题是互逆命题 明白什么是原命题 什么是逆命题 你你 前面遇到过有互逆命题吗前面遇到过有互逆命题吗 师生行为 学生阅读课本 并回忆前面学过的一些命题 教师认真倾听学生的分析 师生行为 学生阅读课本 并回忆前面学过的一些命题 教师认真倾听学生的分析 教师在本活动中应重点关注学生 教师在本活动中应重点关注学生 能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系 能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系 能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题 能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题 生 我们可以看到命题生 我们可以看到命题 2 2 与命题与命题 1 1 的题设 结论正好相反 我们把像这样的两个的题设 结论正好相反 我们把像这样的两个 命题叫做互逆命题 如命题叫做互逆命题 如果把其中的一个叫做原命题 那么另一个叫做它的逆命题 例果把其中的一个叫做原命题 那么另一个叫做它的逆命题 例 如把命题如把命题 1 1 当成原命题 那么命题当成原命题 那么命题 2 2 是命题是命题 1 1 的逆命题 的逆命题 生 我们前面学过平行线的性质和判定 其中生 我们前面学过平行线的性质和判定 其中 两直线平行 同位角相等两直线平行 同位角相等 和和 同位角相等 两直线平行同位角相等 两直线平行 是互逆命题 是互逆命题 两直线平行 内错角相等两直线平行 内错角相等 和和 内错角相内错角相 等 两直线平行等 两直线平行 也是互逆命题 也是互逆命题 生 生 两直线平行 同旁内角互补两直线平行 同旁内角互补 和和 同旁内角互补 两直线平行同旁内角互补 两直线平行 也是互也是互 逆命题 逆命题 六 六 巩巩 固固 新新 知知 活动活动 5 5 问题 你对本节内容有哪些认识问题 你对本节内容有哪些认识 设计意图 这种形式的小结 激发了学生的主动参与意识 调动了学生的学习兴趣 设计意图 这种形式的小结 激发了学生的主动参与意识 调动了学生的学习兴趣 为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会 并为程度不同的学生为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会 并为程度不同的学生 提供了充分展示自己的机会 尊重学生的个体差异 满足学生多极化学习的