九年级数学一元二次方程知识点及练习

1 知识点总结 一元二次方程知识点总结 一元二次方程 知识框架知识框架 知识点 概念总结知识点 概念总结 1 1 一元二次方程一元二次方程 方程两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未知数的 最高次数是 2 二次 的方程 叫做一元二次方程 2 2 一一元元二二次次方方程程有有四四个个特特点点 1 含有一个未知数 2 且未知数次数最高次数是 2 3 是整式方程 要判断一个方程 是否为一元二次方程 先看它是否为整式方程 若是 再对它进行整理 如果能整理为 ax2 bx c 0 a 0 的形式 则这个方 程就为一元二次方程 4 将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 时 应满足 a 0 3 3 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 一般地 任何一个关于 x 的一元二次方程 经过整 理 都能化成如下形式 ax2 bx c 0 a 0 一个一元二次方程经过整理化成 ax2 bx c 0 a 0 后 其中 ax2是二次项 a 是 二次项系数 bx 是一次项 b 是一次项系数 c 是常数项 4 4 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 1 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法 直接 开平方法适用于解形如bax 2 的一元二次方程 根据平方根的定义可知 ax 是 b 的平方根 当0 b时 bax bax 当 b 0 时 方程 没有实数根 2 配方法 配方法是一种重要的数学方法 它不仅在解一元二次方程上有所应用 而且在数学 的其他领域也有着广泛的应用 配方法的理论根据是完全平方公式 222 2bababa 把公式中的 a 看做未知数 x 并用 x 代替 则有 222 2bxbbxx 配方法解一元二次方程的一般步骤 现将已知方程化为一般形式 化二次项系数为 1 常数项移到右边 方程两边都加上一次项系数的一半的平方 使左边配成一个 完全平方式 变形为 x p 2 q 的形式 如果 q 0 方程的根是 x p q 如果 q 0 方程无实根 3 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法 它是解一元二次方程的一般方法 一元二次方程 0 0 2 acbxax的求根公式 04 2 4 2 2 acb a acbb x 4 因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段 求出方程的解的方法 这种方法简单易行 是解一元二次方程最常用的方法 5 5 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程 0 0 2 acbxax中 acb4 2 叫做一元二次方 程 0 0 2 acbxax的根的判别式 通常用 来表示 即acb4 2 知识点知识点 1 只含有一个未知数 并且含有未知数的最高次数是只含有一个未知数 并且含有未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二的整式方程叫一元二 次方程 次方程 例题 2 1 判别下列方程是不是一元二次方程 是的打 不是的打 并说明理由 1 2x x 3 0 2 y 0 3 t 0 2 4 y 22 4 x x 1 5 x 2y 1 0 6 3 0 322 2 1 x 7 2 8 x 2 x 2 x 1 xx3 2 2 9 3x 6 0 10 3x 3 2 x 4 2 4 x 1 若关于 x 的方程 a x 1 2 2x2 2 是一元二次方程 则 a 的值是 A 2 B 2 C 0 D 不等于 2 2 已知关于的方程 当 时 方程为一次方x 031 22 pxnxm 程 当 时 两根中有一个为零 a 3 已知关于的方程 x 2 2 20 m mxxm 1 m 为何值时方程为一元一次方程 2 m 为何值时方程为一元二次方程 知识点二知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 其中是二次项 叫二 2 00axbxca 2 axa 次项系数 是一次项 叫一次项系数 是常数项 bxbc 特别警示 1 是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分 2 0a 二次项系数 一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的 所以求一元二次 方程的各项系数时 必须先将方程化为一般形式 例题 1 指出下列一元二次方程的二次项系数 一次项系数和常数项 2 2 5102 20 xx 2 3 2150 x 5 2 4 30 xx 3 2 2 x 2 关于的方程中是 是 是 x0623 2 xxabc 知识点三知识点三 一元二次方程的解一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 叫方程的解 例题 1 已知方程的一个根是 1 则 m 的值是 2 390 xxm 2 设是一元二次方程的较大根 是较小根 a05 2 xxb023 2 xx 那么的值是 ba A 4 B 3 C 1 D 2 3 已知关于的一元二次方程 的一个解与方程的解相同 x 2 20 xkx 1 3 1 x x 1 求的值 k 2 求方程的另一个解 2 20 xkx 知识点四知识点四 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法 1 直接开平方法 如果 则 2 0 xk k xk 2 配方法 要先把二次项系数化为 1 然后方程两变同时加上一次项系数一半 3 的平方 配成左边是完全平方式 右边是非负常数的形式 然后用直接开 平方法求解 3 公式法 一元二次方程的求根公式是 2 00axbxca 2 4 2 bbac x a 2 40bac 4 因式分解法 如果则 0 xaxb 12 xa xb 温馨提示 一元二次方程四种解法都很重要 尤其是因式分解法 它使用的频率最 高 在具体应用时 要注意选择最恰当的方法解 例题 解方程 例题 解方程 1 方程的解是 2 20 xx A B C D 12 1xx 12 1 3xx 12 2 0 xx 12 2 0 xx 2 方程的较简便的解法应选用 2 5115xx 解为 3 解下列方程 1 2 3 2 331xx 2 230 xx 2 230 xx 4 5 yy3232 2 1 2 1 1 3 1 2 xx 6 7 2 2 52 3 xx 22 2 2263 yyy 知识点五知识点五 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程的根的判别式是 2 00axbxca 2 4bac 1 当时 方程有两个不相等的实数根 2 40bac 2 当时 方程有两个相等的实数根 2 40bac 3 当时 方程无实数根 2 40bac 温馨提示 若方程有实数根 则有 若方程有实数根 则有 2 40bac 例题 1 已知方程有两个不相等的实数根 则 k 2 30 xxk 2 当 m 满足何条件时 方程有两个不相等实根 有 01912 2 mxmmx 两个相等实根 有实根 3 关于的方程无实根 试解关于的方程x 0522 2 mxmmxx 0225 2 mxmxm 4 已知关于的一元二次方程 求证 不论 m 为任何x 2 41210 xmxm 实数 方程总有两个不相等的实数根 4 知识点六知识点六 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个实数根为 则 2 00axbxca 12 x x 1212 bc xxx x aa 温馨提示 利用根与系数的关系解题时 一元二次方程必须有实数根 利用根与系数的关系解题时 一元二次方程必须有实数根 例题 1 关于的一元二次方程的两个实数根分别是 且满足x 22 430 xkxk 12 x x 则 k 的值为 1212 xxx x A B C D 不存在 3 1 4 或1 3 4 2 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实 x 22 230 xmxm 数根 且满足 则 m 的值是 11 1 A 3 或 1 B 3 C 1 D 3 或 1 3 方程与方程的所有根的乘积是 2 360 xx 2 630 xx 4 两个不相等的实数 m n 满足 则 mn 的值为 22 64 64mmnn 5 设是关于的一元二次方程的两个根 是关 12 x xx 2 0 xpxq 12 1 1xx 于的一元二次方程的两个根 则的值分别等于多少 x 2 0 xqxp p q 知识点七知识点七 一元二次方程的实际应用一元二次方程的实际应用 列一元二方程解应用题的一般步骤 1 审题 2 设未知数 3 列方程 4 解 方程 5 检验 6 写出答案 在检验时 应从方程本身和实际问题两个方面进行检验 考题 1 2009 襄樊 为了改善居民住房条件 我市计划用未来两年的时间 将 城镇居民的住房面积由现在的人均约为 10 平方米提高到 12 1 平方米 若每年的 增长率相同 则年增长率为 A 9 B 10 C 11 D 12 考题 2 2009 海口 某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利 10 元 每天可售出 500 千克 经市场调查发现 在进货价不变的情况下 若每千克涨 价 1 元 日销售量将减少 20 千克 现该商场要保证每天盈利 6000 元 同时又 要使顾客得到实惠 那么每千克应涨价多少元 考题 3 如图 在 ABC 中 B 90 AB 5 BC 7 点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 点以 1cm s 的速度移动 点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm s 的速度移动 1 如果点 P Q 分别从 A B 两点同时出发 经过几秒钟 PBQ 的面积等于 4 2 如果点 P Q 分别从 A B 两点同时出发 经过几秒钟 PQ 的长度等于 5 5 一元二次方程综合复习一元二次方程综合复习 1 下列方程中 关于的一元二次方程是 x A B C D 2 3121xx 2 11 20 xx 2 0axbxc 22 21xxx 2 方程 m2 1 x2 mx 5 0 是关于 x 的一元二次方程 则 m 满足的条件 是 A m 1 B m 0 C m 1 D m 1 3 若是一元二次方程的一个根 则 1x 2 20axbx ab 4 实数是方程 的根 a acbb 2 4 2 A B 0 2 cbxax0 2 cbxax C D 0 2 cbxax0 2 cbxax 5 方程的解是 2 250 x A B C D 12 5xx 12 25xx 12 5 5xx 12 25 25xx 6 关于的一元二次方程两个不相等的实数根 则 k 的取值x 2 210kxx 范围是 A B C D 1k 1k 0k 10kk 且 7 在下列方程中 有实数根 的是 A B C D 2 310 xx 411x 2 230 xx 1 11 x xx 8 关于的一元二次方程有两个实数根 且x 2 22310 xxm 12 x x 则 m 的取值范围是 1212 4x xxx A B C D 5 3 m 1 2 m 5 3 m 51 32 m 9 若 x y 1 x y 6 0 则 x y 的值是 A 2 B 3 C 2 或 3 D 2 或 3 10 若 m 1 2 1m m x 2mx 1 0 是关于 x 的一元二次方程 则 m 的值是 11 填上适当的数 使等式成立 xx5 2 x 2 12 当 时 代数式比代数式的值大 2 x 2