跳水跳板的力学浅析

跳水跳板的力学浅析跳水跳板的力学浅析 一 一 问题背景问题背景 跳水作为一项传统体育项目 为众人所熟 知 然而跳水这一简单的体育运动的背后却 蕴含着复杂的力学原理 本组从跳水的基本 器件跳水跳板出发 以材料力学的基本原理 为指导 进行一些基本研究 二 二 解题思路及方法解题思路及方法 一 一 首先对跳板进行简化分析 首先对跳板进行简化分析 1 1 研究构件 研究构件 跳水跳板 起跳过程简化 简支梁 悬臂梁 说明 其中力 F 模拟运动员起跳时对跳板所施加的力 假设跳板 受力瞬间不变形 AB l la FFB l a FFA F la 图一 跳水跳板受力简化 2 2 分析其中的形变情况 分析其中的形变情况 1 1 弯曲内力分析 跳板的剪力图和弯矩图 弯曲内力分析 跳板的剪力图和弯矩图 AB l a FFA F l a F F T M la l la FFB FaM max 此处最危险 Fa 图二 跳板的剪力及弯矩 2 2 弯曲变形分析 跳板的挠度和转角弯曲变形分析 跳板的挠度和转角 备注 挠曲线近似微分方程 备注 挠曲线近似微分方程 EIW M x 3 弯曲应力的分析 弯曲应力的分析 AB FB s 98 90 FA F la W 运动员起跳后 跳板发生强烈的 形变 挠度和转 角变化巨大 跳板的强度条件 W M max max 图三 跳板的挠度及转角 根据最大弯曲根据最大弯曲 正应力公式正应力公式 6 2 max max bh W W M 二 二 构件受冲击荷载作用时的动荷载因数计算 构件受冲击荷载作用时的动荷载因数计算 构件如图四 研究 BC 段跳板 假设板最大位移时仍在线弹性范围 内 则达到最大位移时减少的势能 p E 将等于积蓄在板内的应变能 d V 即 1 pd EV 最大位移减小的势能为 2 dp hPE 应变能 而板最大位移与冲击力的关系为 ddd FV 2 1 EI aFd d 48 3 3 所以可以推出 4 2 3 48 2 1 dd a EI V 将 2 5 代入 1 可推出 A B C d P h l a 图四 构件受物体冲击作用 2 3 2 3 2 1 48 48 2 1 dddd h EI Pa a EI hP 将用替代 为将冲击物的重量 P 当作静荷载时 板在被冲 EI Pa 48 3 st st 击 C 处的静挠度 于是将上式改写为 022 2 h stdstd 由此解得两个根 并取其中大于的一个 即 d d st st d h 2 11 于是得到动荷载因数 st d h K 2 11 三 例题分析三 例题分析 1 跳水板的具体尺寸如图所示 其横截面为矩形 尺寸为 b 0 5m h 0 05m 跳板的弹性模量 E 70GPa 比重 25kN m3 a 3 2m l 1 6m 运动员从跳板上上跃至距地面最高点后落至跳板端点 C 再从跳板上弹起 至空中完成动作后落水 设运动员体重 G 700N 最大弹跳高度 H 0 6m 取 g 9 8m s2 为保证运动员落水安全 运动员从空中落入水中时 在跳板所在平面处 运动员质心距跳板 C 端的最小距离 s 应大于 0 5m 试确定运动员从跳板上跃时 所需最小水平速度 假设水平方向为匀速运动 不计跳板质量 将运动员视为 刚体时 运动员冲击跳板时 试计算跳板中的最大动应力 如考虑跳板质量 再次计算跳板中的最大动应力 并进行比较 如将运动员视为弹性体 则跳板 中的最大动应力有何不同 定性说明 解 1 最小水平速度的求解 最小水平速度的求解 35 0 2 2 1 2 s g H tHgt 714 0 2 5 0 5 02 00 sm t vtv 2 2 不计跳板质量 且视运动员为刚体时的最大动应力计算 不计跳板质量 且视运动员为刚体时的最大动应力计算 受力分析如图 A B FB x 2l FA w G 700N C 且且 GF GF A B 2 3 32 2 3 20 1 lxllxGGxxM lxGxxM 根据挠曲线近似微分方程可得 11 3 1 1 2 1 1 6 1 2 1 DxCGxEIW CGxEIW GxEIW 22 323 2 2 22 2 2 6 1 6 1 3 2 1 2 2 1 3 2 3 DxCGxlxxGEIW CGxxlxGEIW GxlxGEIW 且当 x 2l 时有 21 2 1 WWWW 则有 22 333 11 3 2 222 1 2 2 3 4 4 3 4 32 3 4 2 42 32 DlCGlllGDlCGl CGlllGCGl 2 3 1 2 2 1 4 6 DGlD CGlC 当 x 2l 时 x 3l 时 0 1 W0 2 W 则有 ODlCGlllG DlCGl 22 333 11 3 3 2 9 9 2 9 3 02 3 4 y l 代入 式 则 034 02 3 4 11 3 11 3 DlCGl DlCGl 3 1 2 1 4 3 8 GlD GlC 所以 且 03146 0 44 4 3 8 6 1 3 3 0 1 323 1 m EI Gl W EI Gl W GlxGlGxEIW stC x 12 3 bh I 所以 此时动荷载因数为 2565 7 2 11 stC d H K 又因为 22402maxMNGlM 所以最大动应力 02 78 max max Mpa W M Kd 3 考虑跳板质量时的最大动应力计算 考虑跳板质量时的最大动应力计算 本问利用叠加法计算挠度 把跳板的质量视作加入一个大小为 q 的均布荷载 受力分析如图 x q FA 由图可得 qlF qlF B A 2 9 2 3 32 2 2 9 2 1 20 2 1 2 2 lxllxqlqxxM lxqxxM 根据挠曲线近似微分方程可得 33 4 3 3 3 3 2 3 24 1 6 1 2 1 DxCqxEIW CqxEIW qxEIW 44 423 4 4 32 4 2 4 24 1 6 1 2 9 6 1 2 2 1 2 9 2 1 2 2 9 DxCqxlxxqlEIW CqxlxxqlEIW qxlxqlIEW 当 x 2l 时 43 4 3 WWWW 则有 4 4 3 4 3 3 6 9 DqlD CqlC 且当 x 2l 时 当 x 3l 时 0 3 W0 4 W A B FB y l 2l w 则有 03 8 189 02 3 2 44 4 33 4 DlCql DlCql 联立 可得 4 3 3 3 4 13 24 47 qlD qlC 所以 434 3 4 13 24 47 24 1 qlxqlqxEIW 且比重 124 13 34 0 3 bh I EI ql W x mNqmkN 625 25 3 所以 06797 0 ql 4 13 l4 4 3 31 m EIEI G WWW 总 此时动荷载因数为 3191 5 2 11 st d H K 且 424022 max mNqlGlM 所以 25 108 max max Mpa W M KE d 4 定性说明视运动员为弹性体时的最大动应力 定性说明视运动员为弹性体时的最大动应力 如果为弹性体 部分能量会转换成人体的形变能 所以跳板的 形变能减少 挠度变小 最大动应力减小