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北京理工大学2005年硕士研究生入学考试数学分析试题一、计算题（每小题6分，共计30分）1，。解： 。2。解：对任意的，由积分中值定理有所以，又，由的任意性得。3设，讨论在点的连续性，可微性，偏导数存在性，偏导数的连续性。解： 所以在点的连续性。又， 所以 ， 即的偏导数存在，但 不存在，因为不存在，即的偏导数在处不连续，同理可证偏导数在处不连续。又，所以在处可微。4、计算先计算，为实数。解：令，则，所以 ， 因此更有。5计算，其中，解：曲面方程为 ， ，=。二、证明题（每小题10分，共计50分）1设01，证明()。证明： 记，则，利用Stolz 定理得()。2、设在上可微，且，证明在之间最少存在一点，使得。证明：不妨设，且，；在上连续，则存在最小值点，由，有存在使得，则有，同理可证，是上极小值，由费马定理有。3设，证明，并证明当且仅当时等式成立。 证明：令，所以当时，单减，故，当时，单增，故，因此 ，即， ，且当且仅当时等式成立。4 ， 在上可积。证明:对任意的，由于，所以满足的仅有有限个，这样在上至多有个数，满足，取，满足，于是对上的任意分划，只要，此时所在的区间长度和为，故，即在上可积。5、是上正的连续函数，证明不等式。证明：对任意实数 有，即，两边积分得 ，由的二次三项式恒大于0，知它的判别式，即。三、（12分）设是上可微分两次，且，证明：在上可以找到两点使得。证明：不妨设则存在，使得 ，记1） 若，则取即可；2） 若，则，作函数，连续，则由介值定理，使得；3）若，则，作函数，连续，则由介值定理，使得。四、（12）1、判断的敛散性。2、证明当时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散。 证明：1、对充分大的有，而当时 收敛，由比较判别法得收敛； 因为，又， 当时， 下面用反证法证明当时 ，发散。若收敛，则也收敛，所以有收敛，矛盾；再由比较判别法得当时 ，发散；因此积分，当时收敛，当发散。2、，而，；所以是定积分，下面只要讨论。当时，对充分大的，有，由于积分收敛，可知积分绝对收敛。当时，利用等式。这时积分收敛；积分当时收敛，当发散。当时，由于，因为级数发散，所以积分发散。当时，因为有，由Cauchy收敛原理，可知积分发散。综上所述，当时绝对收敛，当时，积分条件收敛；当时，积分发散。五、（14分）1设在连续， ，证明在一致收敛0，证明：由在连续，所以在有界，即存在，使得，于是有当，；当，有，故，；显然连续。又， ，即为单调递减数列，且连续，由Dini定理有在一致收敛0，因此 在一致收敛0，2、设, 则不论在是否收敛，只要在收敛，就成立 = ，并由此证明：=。证明： 由于在收敛，可知的收敛半径至少为，所以的收敛半径也至少为。当， 利用逐项积分，得到。由于收敛, 可知在连续, 令，得到。对利用上述结果，就得到。六、（10分）设在上可积且绝对可积，证明 。证明：对上的任意划分：，记分别为函数在上的最小值、
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