第23章一元二次方程.doc

第23章一元二次方程223.1 一元二次方程323.2 一元二次方程的解法4阅读材料1323.3 实践与探索14小结16复习题17第23章一元二次方程绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？设宽为x米，可列出方程，整理得方程中未知数x的最高次数是2，它是一个一元二次方程23.1 一元二次方程问题1绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析我们已经知道可以运用方程解决实际问题设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x10）900，整理可得（1）问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到72万册求这两年的年平均增长率分析设这两年的年平均增长率为x已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1x）倍，即万册可列得方程，整理可得（2）思考这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）显然，这两个方程都不是一元一次方程那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？概括上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程（quadricequationwithoneunknown）通常可化成如下的一般形式：（a、b、c是已知数，a0），其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项练习将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）；（2）；（3）；（4）习题2311关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？2已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值3根据题意，列出方程（不必求解）：（1）学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径（2）根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好已知学校礼堂舞台前沿宽20米，问举行文娱会演时主持人应站在何处？23.2 一元二次方程的解法试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流（1）；（2）概括对于方程（1），有这样的解法：方程，意味着x是4的平方根，所以，即x2这种方法叫做直接开平方法对于方程（2），有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得（x1）（x1）0，必有x10或x10，分别解这两个一元一次方程，得这种方法叫做因式分解法思考（1）方程能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？（2）方程能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？做一做试用两种方法解方程例1解下列方程：（1）；（2）解（1）移项，得直接开平方，得即（2）移项，得方程两边都除以16，得直接开平方，得即例2解下列方程：（1）；（2）解（1）方程左边分解因式，得x（3x2）0所以x0或3x20得（2）移项，得方程左边分解因式，得x（x3）0所以x0或x30，得练习1解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）2小明在解方程时，将方程两边同除以x，得到原方程的解x3，这种做法对吗？为什么？例3解下列方程：（1）；（2）分析两个方程都可以转化为的形式，用直接开平方法求解解（1）原方程可以变形为，直接开平方，得x12所以（2）原方程可以变形为_，有_，得读一读小张和小林一起解方程x（3x2）6（3x2）0小张将方程左边分解因式，得（3x2）（x6）0，所以3x20或x60得小林的解法是这样的：移项，得x（3x2）6（3x2），方程两边都除以（3x2），得x6小林说：“我的方法多简便！”可另一个根哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？练习解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）例4解下列方程：（1）；（2）思考能否经过适当变形，将它们转化为的形式，用直接开平方法求解？解（1）原方程两边都加上1，得，_,_,_（2）原方程化为，_，_，_归 纳上面，我们把方程变形为，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而能直接开平方求解这种解一元二次方程的方法叫做配方法例5用配方法解下列方程：（1）；（2）解（1）移项，得方程左边配方，得，即所以x34得（2）移项，得方程左边配方，得，即所以得x练习1填空：（1）+6x+( )=(x+ )；（2）-8x+( )=(x- )；（3）+( )=(x+ )；（4）4-6x+( )=4(x- )=(2x- )2用配方法解下列方程：（1）8x20；（2）5x60试一试用配方法解方程pxq0（0）思考如何用配方法解下列方程？（1）412x10；（2）32x30讨论请你和同桌讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？探索我们来解一般形式的一元二次方程abxc0（a0）因为a0，方程两边都除以a，得移项，得配方，得，即因为a0，所以40，当4ac0时，直接开平方，得所以，即由以上研究的结果，得到了一元二次方程abxc0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的根这种解方程的方法叫做公式法例6解下列方程：（1）2x60；（2）4x2；（3）54x120；（4）44x1018x解（1）这里a2，b1，c6，4ac42（6）14849，所以，即（2）将方程化为一般式，得4x20因为4ac24，所以即（3）因为4ac256，所以得（4）整理，得412x90因为4ac0，所以，即练习用公式法解下列方程：（1）6x10；（2）2x6；（3）43x1x2；（4）3x（x3）2（x1）（x1）思考根据你学习的体会小结一下： 解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下应用现在我们来解决231的问题1：x（x10）900，10x9000，它们都是所列方程的根，但负数根x1不符合题意，应舍去取x254，x10354，符合题意，因此绿地的宽约为254米，长约为354米例7学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为540，小道的宽应是多少？分析问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图23.2.1，不难发现小道的占地面积与位置无关设道路宽为xm，则两条小道的面积分别为32x和20x，其中重叠部分小正方形的面积为，根据题意，得322032x20x540试一试如果设想把道路平移到两边，如图2322所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，列方程是否符合题目要求？是否方便些？在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答练习1学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求镶上彩纸条的宽（精确到01厘米）2竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式爆竹点燃后以初速度20米/秒上升，经过多少时间爆竹离地15米？（重力加速度g10米/秒）例8某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为315元已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率分析若一次降价百分率为x，则一次降价后零售价为原来的（1x）倍，即56（1x）元；第二次降价百分率仍为x，则第二次降价后的零售价为56（1x）的（1x）倍解设平均降价百分率为x，根据题意，得56（1x）315解这个方程，得因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意，符合本题要求的是x02525%答：每次降价百分率为25%练习1某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到01%）2据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖求这两年中获奖人次的平均年增长率习题2321解下列方程：（1）260；（2）274；（3）34x；（4）x（x1）3（x1）0；（5）2；（6）32（5x）2解下列方程：（1）10；（2）2；（3）2x80；（4）34x1；（5）x（3x2）60；（6）3求满足下列要求的x的所有值：（1）36的值等于21；（2）36的值与x2的值相等4用适当的方法解下列方程：（1）34x2x；（2）1；（3）（31）x0；（4）x（x6）2（x8）；（5）（x1）（x1）；（6）x（x8）16；（7）（x2）（x5）1；（8）2（2x1）5已知A27x1，B6x2，当x为何值时AB？6已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数7学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽（精确到01米）8某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到483万元问4、5两月营业额增长的百分率各是多少？9学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏请你设计，如何搭建较合适？阅读材料一元二次方程根的判别式我们在一元二次方程的配方过程中得到（1）发现当且仅当4ac0时，右式有平方根.直接开平方，得也就是说，一元二次方程abxc0（a0）当且仅当系数a、b、c满足条件4ac0时有实数根观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：当4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当4ac0时，方程有两个相等的实数根；当4ac0时，方程没有实数根这里的4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一个一元二次方程实数根的情况（是否有？如有，两实数根是相等还是不相等？），如对方程x10，可由4ac140直接判断它没有实数根；在用公式法解一元二次方程时，往往也是先求出判别式的值，直接代入求根公式如第27页例6；还可以应用判别式来确定方程中的待定系数，例如：m取什么值时，关于x的方程有两个相等的实数根？求出这时方程的根23.3 实践与探索试研究下列问题，并与你的同伴交流、讨论问题1小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如图2331（1）如果要求长方体的底面面积为81cm，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？折合成的长方体底面积（）81644936251694剪去的正方形边长（cm）折合成的长方体侧面积（）探索在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点看看与你的感觉是否一致问题2阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析翻一番，即为原净收入的2倍若设原值为1，那么两年后的值就是2探索若调整计划，两年后的财政净收入值为原净收入值的15倍、12倍、那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现两年后市财政净收入翻一番？练习1某花生种植基地原有花生品种的每公顷产量为3000千克，出油率为55%改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克已知新品种花生的公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是公顷产量增长率的一半，求两者的增长率（精确到1%）2某商店准备进一批季节性小家电，单价40元经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？3某市人均居住面积146平方米，计划在两年后达到18平方米在预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等请你把问题补充完整，再予解答问题3解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？（1）2x0；（2）3x40；（3）5x60方程探索一般地，对于关于x的一元二次方程pxq0（p、q为已知常数，4q0），试用求根公式求出它的两个根、，算一算、的值，你能发现什么结论？与上面观察的结果是否一致？习题2331一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到01米）2水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完经结算，这批水果共盈利500元若两次打折相同，每次打了几折？（精确到01折）3为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率（精确到1%）4某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元服装厂向24名家庭贫困学生免费提供经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润问这批演出服共生产了多少套？5如图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等请你给出设计方案（画图并标注尺寸）6解下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法：（1）已知关于x的方程pxq0的两个根是0和3，求p和q的值；（2）已知关于x的方程6x2p50的一个根是2，求方程的另一个根和p的值小结一、 知识结构二、概括1要联系已有的方程知识，在学习中进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”，在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性2掌握一元二次方程的各种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法与公式法着重体会相互之间的关系及其“转化”的思想，并能应用这一思想方法进行自主探索和合作交流3在应用一元二次方程解实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析；得到方程的解之后，必须检验是否符合题意复习题A组1解下列方程：（1）32x；（2）6400；（3）x（3x1）3x；（4）y（y2）4y；（5）4x（1x）1；（6）t（t2）302已知A27x1，B4x1，分别求出满足下列条件的x的值：（1）A与B的值互为相反数；（2）A的值比B的值大33已知关于x的方程（2xm）（mx1）（3x1）（mx1）有一个根是0，求另一个根和m的值4已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数5要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分的面积为100平方米求原正方形广场的边长（精确到01米）6村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为16平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，