高一数学暑期辅导材料第一章集合与简易逻辑六新课标人教

高一数学暑期专题辅导材料 第一章集合与简易逻辑六http:/www.DearEDU.com一、教学进度 第一章 集合与简易逻辑1.6 逻辑联结词 1.7 四种命题 1.8 充分条件与必要条件 二、教学内容 （1）能用逻辑联结词和简单命题构成不同形式的复合命题；（2）能识别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题；（3）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；（4）通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力；（5）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； （6）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件； 三、重点、难点选讲 1、命题与逻辑联结词 （1）所谓命题，是指能够判断其真假的语句，因此疑问句、祈使句都不是命题. （2）若一个命题是正确的，该命题叫真命题；若一个命题不正确，该命题叫假命题.由命题的概念，一个命题不是真命题就是假命题。 （3）由简单命题用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结起来组成的命题叫复合命题.若用小写字母p、q表示命题，则复合命题的基本形式是“p或q”，“ p且q”以及“ 非p”. （4）逻辑联结词“或”可以与集合中的“并”相联系，A.逻辑联结词“且”可以与集合中的“交”相联系，A。逻辑联结词“非”，可以与集合中的“补”相联系， u. 例1：判断下列语句是否是命题？若是命题，请判断其真假. （1）台湾是中国领土不可分割的一部分； （2）； （3）证明：平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和； （4）三角形两边之和等于第三边. 解：（1）它是作出判断的语句，所以是命题，且是真命题. （2）因语句中字母x的值不确定，所以这个不等式不能判断是否成立，该语句不是命题. （3）它是祈使句，没有作出判断，不是命题. （4）它是作出判断的语句，是命题，且是假命题. 评析：第（2）题的语句中含有变量x,当x不确定时无法判断这个命题的真假，这种语句也叫“开语句”，如：“”也是开语句. 例2：指出下列复合命题的形式以及构成它们的简单命题是什么.（1）6是18和24的公因数；（2）x(A; (3) 矩形的对角线相等且互相平分； （4）方程 解（1）该命题是“p且q”的形式，p：6是18的因数，q：6是24的因数. （2）该命题是“非p”的形式，p： （3）该命题是是“p且q”的形式，p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分. （4）该命题是“p或q”的形式，p：xq: 2、真值表（1）一个简单命题的真假易于判断，但一个复合命题的真假不一定容易判断，真值表是判断复合命题真假的有力工具。 （2）对一个复合命题，如果能把它分解成一个或几个简单命题及逻辑联结词，只要逐一判断简单命题的真假，就可以很容易用真值表判断这个复合命题的真假. （3）真值表中，“非p”形式的复合命题的真假与p相反；“p且q”形式的复合命题，当且仅当p、q都为真时为真，其余情况均为假；“p或q”形式的复合命题，当且仅当p、q都为假时为假，其余情况都为真. 例3：对于简单命题p、q的下列几种情况列出“非p”，“非q”，“p且q”，“p或q”的真值表：（1）p真，q真； （2）p真，q假；（3）p假，q真； （4）p假，q假. 解：列表如下：题号pq非p非qP且qP或q（1）真真假假真真（2）真假假真假真（3）假真真假假真（4）假假真真假假 例4 若用“1”表示“真”，用“0”表示“假”，对于命题p和q的下列几种情况列出命题“p或q”，“非（p或q）”，“（非p）且（非q）”，“非（非p）”的真值表：（1）p真，q真； （2）p真，q假；（3）p假，q真； （4）p假，q假.题号pqp或q非（p或q）非p非q（非P）且(非q)非（非p）（1）11100001（2）10100101（3）01101000（4）00011110 评析：由表中可以看出，“非（p或q）”与“（非p）且（非q）”的真值相同，“非（非p）”与“p”的真值相同. 例5 （1）如果命题“p且q”是真命题，判断命题“（非p）或(非q)”的真假； （2）如果命题“p且q”是假命题，判断命题“（非p）或（非q）”的真假. 解 （1）若命题“p且q”是真命题，由真值表知，命题p和q都是真命题，因此“非p”、“非q”都是假命题，所以命题“（非p）或（非q）”是假命题. （2）若命题“p且q”是假命题，由真值表知有三种情况可能出现： p真，q假，这时“非p”为假，“非q”为真，因此“（非p）或（非q）”为真. p假，q真，这时“非p”为真，“非q”为假，因此“（非p）或（非q）”为真. p假，q假，这时“非p”为真，“非q”为真，因此“（非p）或（非q）”为真. 综上可知，“（非p）或（非q）”为真评析：由本题可见，命题“非（p且q）”与“（非p）或（非q）”的真值相同. 3四种命题 （1）在初中学习原命题和逆命题的基础上，引进了否命题和逆命题的概念。 （2）将一个命题采用交换命题的条件和结论，同时否定命题的条件和结论；同时否定和交换命题的条件和结论，分别产生了原命题的逆命题，否命题和逆否命题。如果原命题为“若p则q”，则逆命题为“若q则p”，否命题为“若 p 则 q”，逆否命题为“若 q 则 p”.（3）在四种命题之间关系的图示中，要理解其中互逆，互否，互为逆否的含意.原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价. 例6 分别写出下列命题的否定形式及命题的否命题，并判断它们的真假. （1）如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； （2）数字和能被3整除的整数能被3整除； （3）自然数的平方不都是正数. 解 （1）否定形式：如果两个三角形全等，那么它们的面积不相等，是假命题. 否命题：如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等，是假命题. （2）否定形式，数字和能被3整除的整数不能被3整除，是假命题. 否命题：数字和不能被3整除的整数不能被3整除，是真命题. （3）否定形式：所有自然数的平方都是正数，假命题. 否命题：有些自然数的平方是正数，真命题. 评析：（1）命题的否定形式与否命题是两个不同的概念，若原命题为“pq”则命题的否定形式是“pq”，而否命题是“pq”. （2）要熟悉一些常用语言的否定形式：语言是都是相等大于（）所有至少有n个能一定否定形式不是不都是不相等不大于（）有些至多有n-1个不能不一定例7 写出命题“直角均相等”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假.解 原命题可改写为“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”，是真命题.逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角，是假命题.否命题：如果两个角不都是直角，那么这两个角不相等，是假命题.逆否命题：如果两个角不相等，那么这两个角不都是直角，是真命题.评析：有些命题不是很明显的pq的形式，在写它的逆命题，否命题，逆否命题之前，应先将它改写为条件，结论的形式.例8 已知原命题如下，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.（1） 若则 （2）若则或或.解 （1）逆命题：若则且是假命题. 否命题：若或是假命题. 逆否命题：若是真命题. （2）逆命题：若是真命题. 否命题：若是真命题. 逆否命题；若是真命题.评析：（1）原命题的条件“”的命题结构是“p且q”的形式，它的否定是“p或q”，而不是“p且q”. （2）原命题的结论是“p或q或r”的形式，它的否定是“p且q且r”，而不是“p或q或r”.4充分条件和必要条件充分条件和必要条件是十分重要的数学概念，必须准确理解“充分”、“必要”的涵义.与之间的因果关系有四种情况：，且，称是的充分不必要条件；，且，称是的必要不充分条件；，且，称是的充分必要条件；，且，称是的既不充分又不必要条件.是的充分条件即，可以从字面上理解为“若真则充分保证也为真”， 是的必要条件即，可以从字面上理解为“若要真，必须要真”.当时，既可以称是的充分条件，也可说成“的充分条件是”. 当时，既可以称是的必要条件，也可说成“的必要条件是”. 例9 指出下列各题中是的什么条件（指“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，或“既不充分又不必要条件”）： （1）：抛物线经过点A（1，0）， ：； （2）：为偶数，且为偶数， ：为偶数； （3）：， ： ； （4）：， ：; (5) :, 或 ， ：. 解：（1）若真，即，故. 若真，即，则，抛物线 经过点A（1,0），故. 是的充要条件. （2）若真，即为偶，且为偶数，则为偶数，故. 若真, 即为偶数，则、可能都是奇数，因此. 是的充分不必要条件. （3）若真，即，则，为或，故， . 是的既非充分又非必要条件. （4）显然，（当，时，），又若真，即 ，则，且，故真，. 是的必要不充分条件. （5）解方程 是增根，： . 若真，即“或”不一定有，. 若真, 即，则“或”必真，. 是的必要不充分条件. 评析：判断是的什么条件，应从和能否成立两个方面进行考虑. 例10 指出下列各题中，是的什么条件（指“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”或“既不充分又不必要条件”）： （1）：，且， ：；（2）、， ：， ：. 解：（1）考虑“”的等价命题“”. ：， ： ，或. 显然有，知. 同样，由，知.是的既不充分又不必要条件.（2）：， ：.， .， .是的必要不充分条件.评析： （1）在不易确定与的关系时，也可以分别用“”的等价命题“”和“”的等价命题“”来判断.（2）在判断时，也可以用举反例的方法，如第（2）题可以用，但，知. 例11 已知是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的充要条件，是的必要不充分条件.（1）是的什么条件？（2）是的什么条件？（3）是的什么条件？ 解 由已知，可以将、之间的关系表示为： . 由此可知，是的充分不必要条件，是的既不充分也不必要条件，是的必要不充分条件. 评析： 只要用符号“”、“”或“”分别表示已知条件中各个命题之间的关系，就可以判断其中两个命题之间的关系. 例12 求证：若、,则是关于的一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 证 充分性：若，则，且， ， ，故方程有两个相异实根，设两根为、. ， 两根、异号 . 必要性：若关于的方程有两个异号实根，设两根为，则， . 是关于的一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 例13 求证：关于的不等式对一切实数成立的充分条件是，这个条件是必要条件吗？请证明之. 解 设：关于的不等式对一切实数成立， ：. 要证的充分条件是，即证是的充分条件，即证. 当真，即时， ， , . . .是的充分条件，即的充分条件是.当时，对一切实数都成立，而，不是的必要条件，即的必要条件不是.评析 在证明“的充分条件是”时，一般把问题改成证明“是的充分条件”，即证明 .在证明“的必要条件是”时，一般把问题改成证明“是的必要条件”， 即证明.巩固练习一、选择题 1如果命题p为真，命题q为假，则下列结论中错误的是 （ ）A命题“p且q”为假 B命题“p或q”为真C命题“非p”为假 D命题“非q”为假 2命题p与命题“非p” （ ）A可能都是真命题 B可能都是假命题C有且只有一个是真命题 D以上情况都有可能3已知命题p：若、是实数，且，则，命题q：若，则 ，且，下列说法中正确的是（ ） Ap真，q假，p且q假BP真，q假，p或q假CP假，q假，p或q假DP真，q真，p且q真4命题“若，则”的否命题是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则5已知p:、，且，命题若p则、全为；若p则、不 全为；若p则、全不为；若p则、至多有一个为；若p则、 至少有一个为.其中真命题有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个6与命题“能被5整除的整数的末位数是5”等价的命题是（ ） A能被5整除的整数的末位数不一定是5B不能被5整除的整数的末位数不是5C末位数不是5的整数不能被5整除D末位数是5的整数能被5整除7用反证法证明“方程”最多有两个实根，应假设 （ ） A方程至少有一个实根 B方程至少有2个实根 C方程至少有3个实根 D方程有一个实根8“”是“”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件9若、，则“”的一个必要非充分条件是 （ ） A，且 B，且 C D10用反证法证明“不是有理数”，应假设 （ ） A B （、为整数） C （、为互质整数） D （、为正整数）11已知、，则“”是“”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要 D既不充分又不必要条件12下列几个说法：“”是“”的必要条件；“”是“”的充分条件；“”是“”的充分条件；“”是“”的充分条件，其中正确的命题是 （ ） A、 B、 C、 D、二、填空题1若复合命题“p或q”是假命题，则命题p与命题q的真、假情况是 。2已知命题p:0是自然数，命题q:是无理数，则命题“非p”，“非q”，“p或q”，“p且q”中，假命题是 。3命题“若”的否定命题是 ；否命题是 。4命题“未位数字是偶数的整数能被2整除”的逆否命题是 。5用反证法证明命题“若关于的整系数一元二次方程有有理根，那么、 中至少有一个是偶数，”应假设 .6若、，则“”是“”的 条件.7若、，则“”是“”的 条件.8是关于的方程有两个实数根的 条件.三、解答题1 已知命题p：4是2的倍数；命题q:6是2的倍数，写出命题“p或q”，“p且q”，以及“非p”。2已知命题p:是无理数，命题q:是有理数，写出命题“非p”,“非q”，“p或q”，“p且q”并判断它们的真假。2 写出命题“若=，则tan=tan”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假。4写出命题“若或则”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假。5用反证法证明：是无理数.6已知A是D的充分条件，D是B的必要条件又是C的充分条件，B是C的必要条件.问： （1）A是C的什么条件？A是B的什么条件？ （2）A、B、C、D、中有几对互为充要条件？ 7求关于的二