高一数学暑期辅导材料与测试第一章集合与简易逻辑九新课标人教

高一数学暑期专题辅导材料 复习与测试(第一章 集合与简易逻辑)九http:/www.DearEDU.com本章的重点是：(1)有关集合的基本概念、术语和符号；(2) a与a(a0)型的不等式的解法，一元二次不等式的解法；(3)逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充分条件和必要条件.本章的难点是：(1)有关集合的各个概念的涵义、它们之间的区别与联系；(2)对绝对值意义的理解；(3)弄清一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系；(4)对一些数学命题真假的判断、关于充要条件的判断和反证法的运用.本章内容是高中数学的基础知识，其中集合论是由18世纪德国数学家康托尔创始的，是近、现代数学的一个重要基础；逻辑是研究思想形式及其规律的一门基础学科，它们今后学习的内容有着密切联系，学好本章内容必将为进一步学习其它知识奠定坚实的基础.【基本概念】1.集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.表示集合的方法有列举法、描述法和图示法，集合可分为有限集和无限集.2.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.3.子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB(或BA).这时我们也说集合A是集合B的子集.当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作（或）我们规定：空集是任何集合的子集.也就是说，对任何一个集合A，有A4.等集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作AB5.全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示.6.补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即AS)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)，记作CSA，即CSAxxS，且xA.7.交集，并集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB(读作“A交B”)，即ABxxA，且xB.而由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)，即ABxxA，或xB.对于交集“ABxxA，且xB”，不能简单地认为AB中的任一元素都是A与B的公共元素，或者简单认为A与B的公共元素都属于AB，这是因为并非任何两个集合总有公共元素.当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AB.对于并集“ABxxA，或xB”，不能简单地理解为AB是由A的所有元素与B的所有元素组成的集合，这是因为A与B可能有公共元素，故上述理解与集合的互异性不符.8.逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.不含逻辑联结词，是简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成，是复合命题.9.四种命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题.把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题.一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题.把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题.10.充要条件：一般地，如果已知pq,那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.【基本性质】1.基本符号xAx属于A；x是集合A的一个元素 yAy不属于A；y不是集合A的一个元素,.,a,b,c,.n诸元素a,b,c,.n构成的集合xp(x),xA使命题p(x)为真的A中诸元素之集合空集N非负整数集；自然数集N*或N+正整数集Z整数集Q有理数集R实数集C复数集BAB包含于A；B是A的子集BAB真包含于A；B是A的真子集BAB不包含于A；B不是A的子集ABA与B的交集ABA与B的并集CCABA中子集B的补集或余集 2.集合部分：A；A(A非空)；AA；(CUA)A；(CUA)AU；CU(CUA)A；ABCAC；ABCAC；ABA；BAB；CUU；CUU；ABABA；ABABB；CU(AB)(CUA)(CUB)；CU(AB)(CUA)(CUB)3. ax+bc(c0) -cax+bcax+bc(c0) ax+bc或ax+bc【基本规律】1.复合命题真假判断表非p形式复合命题的真假可以用下表表示.p非p真假假真p且q形式复合命题的真假可以用下表表示.pqP且q真真真真假假假真假假假假p或q形式复合命题的真假可以用下表表示.pqp或q真真真真假真假真真假假假2.四种命题之间的相互关系四种命题之间的相互关系，如图所示.我们已经知道，原命题为真，它的逆命题不一定为真.一般地一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系.(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真，它的否命题不一定为真.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.【基本方法与思想】1.绝对值不等式的解法：xa(a0)的解集是xaxa;xa(a0)的解集是xx-a，或xa.注：对于ax+bc(或c，其中c0)的解法可用换元法解.2.一元二次不等式的解法：一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集如下表.判别式b24ac000二次函数yax2+bx+c(a0)的图像yax2+bx+cyax2+bx+cyax2+bx+c一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2有两相等实根x1x2没有实根ax2+bx+c0(a0)的解集xxx1或xx2xxRax2+bx+c0(a0)的解集xx1xx2对于绝对值不等式ax+bc(或c,其中c0)可采用平方去绝对值法，即化为(ax+b)2c2(或c23.充要条件的判定方法：若pq但qp，则p只是q的充分不必要条件；若pq，但qp,则p只是q的必要不充分条件；若pq，且qp，则p只是q的充要条件；注：必须看两个方向，即pq，qp结果如何?才能下结论.4.反证法：反证法是“原命题与其逆否命题同真同假”这一理论的具体体现，用反证法证明命题的一般步骤如下：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.学习要求和需要注意的问题：1.学习要求(1)集合理解集合、子集、交集、并集、补集的概念了解空集和全集的意义了解属于、包含、相等关系的意义会用集合的有关术语和符号表示一些简单的集合.掌握简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法.(2)简易逻辑了解命题的概念和命题的构成.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.掌握四种命题及其相互关系.初步掌握充要条件. 2.需要注意的问题(1)集合与集合的元素是两个不定义的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似，但是，应该清楚集合中的元素具有确定性，互异性.确定性是指给定一个集合，一个对象属于不属于这个集合就是明确的，象很大的数，不能组成一个集合.互异性是指在一个集合中，任何两个元素是不同的对象，相同的对象只能算作这个集合的一个元素.此外，集合中的元素还具有无序性，例如， 1，2，44，2，1.(2)容易混淆的符号与的区别：符号是表示元素与集合之间关系的，例如，有1N，1N等；符号是表示集合与集合之间关系的，例如，有NR，R等.a与a的区别：一般地，a表示一个元素，而a表示只有一个元素的集合，例如，有11,3,4,00,11,3,4等，不能写成00,11,3,4,11,3,4.单元综合练习（集合与简易逻辑）一、 选择题1已知集合P=a，b，c，d，e，集合QP，且，则满足上述条件的集合Q的个数为（）A.7B.8 C.15 D.242已知全集I=R，集合，集合N=x|x|-20，那么等于（）A.（-，-1）B.（7，+） C.2，3D.（-，2）（3，+）3已知集合M有3个真子集，集合N有7个真子集，那么MN的元素个数为（）A.有5个元素B.至多有5个元素C.至少有5个元素D.元素个数不能确定4集合A=（x，y）|y=a|x|，B=（x，y）|y=x+a，C=AB，且集合C为单元素集合，则实数a的取值范围为（）A.|a|1 B.|a|1 C.a1D.a0或a0，y0，N=（x，y）|x+y0，xy0，则（）A.M=NB.MN C. MND. 6设全集I=1，2，3，4，5，则集合的个数为（）A.3B.4 C.7D.87设集合A=x|x=2k+1，kN，B=x|x=2k-1，kN，则A、B之间的关系是（）A.A=BB.AB=A C.AB=AD.8已知集合A1，2，3，且A中至少有一个奇数，则这样的集合共有（）个。A.11B.12 C.15D.169已知I为全集，集合M、NI若MN=N，则（）A. B. C. D.10若|x-2|a不等式成立，则函数a的取值范围为（）A. B.C.D.以上答案都不对二、 填空题1（1）设是命题A的否命题，如果B是的必要非充分条件，那么是A的_条件。（2）若甲、乙、丙是三个命题，且当甲和乙同时成立，丙才成立，则甲（或乙）是丙成立的_条件。2设I是全集，非空集合P、Q满足PQI。若含P、Q的一个运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_（只要求写出一个表达式）。3设非空集合A=x|2a+1x3a-5，B=x|3x22，则能使成立的a值的集合为_。4已知集合，B=x|20，q0，试用反证法证明p+q2.3已知A=x|xa，求AB及AB。4设，求AB。5若U=R，B=x|x|=y+1，yA，求，AB，AB，。6已知集合，B=x|-kxk，若AB，求实数k的取值范围。7解下列关于x的不等式：（1）；（2）。8已知集合，同时满足，其中p、q均为不等于零的实数，求p、q的值。9已知关于x的不等式，的解集依次为A、B，且。求实数a的取值范围。参考答案一、1B因为QP则PQ=Q，所以由a（PQ），得aQ。又由，得。即Q是a与c，d，e的子集的并集。故集合Q的个数等于集合c，d，e子集的个数。三个元素的子集个数为8。故选B。2D解M得-1x3，解N得x-2或x2，则MN=2，3，所以。故选D。3B集合M有3个真子集，那么集合M有2个元素，由集合N有7个真子集，得集合N有3个元素，若用|MN|表示MN元素个数，则有公式|MN|=|M|+|N|-|MN|（容原原理），于是|MN|=5-|AB|5即MN至多有5个元素。故选B。4A（1）当a=0时，A=（x，y）|y=0，B=（x，y）|y=x，则C=（0，0）（2）当a0时，y=a|x|与y=x+a只有一个交点。即： ax=x+a 只有一个解，x=有一个解，画出方程两边的函数图象，如图所示：只有当或才有一个交点，即0a1或-1a0，y0可得x+y0，xy0，所以。由xy0知x0，y0或x0，y0；若x0，y0则x+y0，所以。故M=N。故选A。6D，又因，且，即是3个元素3、4、5组成的集合的子集，共有个。故选D。7B任取xA，x=2k+1=2（k+1）-1，由kN知k+1N，则xB；又1B，但，于是AB，故AB=A。故选B。8A用列举法。含有一个元素的集合有1，3；含有两个元素的集合有0，1，0，3，2，1，1，3，2，3；含有三个元素的集合有0，1，2，0，3，2，1，3，0，1，3，2；共计11个。故选A。9C由及已知MN=N知，从而有。故选C。10B|x-2|a，-ax-2a2-ax2+a，或要满足题设条件必有或解得：。故选B。二、1（1）充分非必要条件（2）既非充分也非必要的条件（1）B是的必要条件，且，由互为逆否的两命题等价，得且，所以是A的充分非必要条件。（2）记甲、乙、丙三命题分别对应集合A、B、C，依题意有：，所以甲（或乙）是丙成立的既非充分也非必要的条件。2由图知下列运算为空集；。36a9由，且，得A=AB。其充要条件为，由得6a9。4-1-6A=x|（x-1）（x+2）0=x|-2x1，B=x|1x3，AB=x|-2x3。，（AB）C=R，I=R。，的解为x3，即，方程的两根分别为x=-2和x=3，由一元二次方程由根与系数的关系，得b=-（-2+3）=-1，c=（-2）3=-6。三、1解：，x=0或x=2或x= -1（舍）p：0，2，又q：2，-1，p是q的既不充分又不必要条件。2证明：设p+q2因为p0，q0，所以，因为，3pq（p+q）6，即pq(p+q)2又因为所以因此即，这不可能，故必有p+q2。3解：A=x|xa，B=x|（x+a）（x-3a）0（1）当a0时，B=x|-ax3aAB=x|ax-a（2）当a=0时，A=x|x0，AB=x|x0（3）当a0时，B=x|3ax-aAB=x|ax3a4解：设，则且，所以；，且，所以B=-5，2，所以AB=25解：A=x|-1x2yA，-1y2，0y+13|x|=y+1，B=x|-3x3，且x0AB=x|-1x2且x0，AB=x-3x3，6解：AB，且，由、可得。7解：（1）原不等式可化为：或或或x-1（2）原不等式可化为：（x-2a）（x