【素材】《证明》三角形外角性质及应用（苏科）.docx

三角形外角的性质及应用角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。一.三角形外角的概念及特征如图1，像ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。图1外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如ACD的顶点C是ABC的一个顶点；（2）一条边是三角形的一边，如ACD的一条边AC正好是ABC的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线如ACD的边CD是ABC的BC边的延长线。二.性质1.三角形的外角与它相邻的内角互补。2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4.三角形的外角和等于360。三.应用1.求角的度数例1.一个三角形的两个内角分别是55和65，这个三角形的外角不可能是（）A. 115B. 120C. 125D. 130解析：如图2，A的外角为：180=125。B的外角为：18065=115ACB的外角为：55+65=120所以选D。图2例2.如图3，AB/CD，B=23，D=42，则E=（）A. 23B. 42C. 65D. 19图3解析：延长BE交CD于F因为AB/CD所以1=B=23BED是EDF的外角则BED=1+D=23+42=65故选C。例3.如图4，AB=AC，BAD=，且AE=AD，则EDC=（）A.B.C.D.图4解析：设EDC=x因为ADC是ABD的外角所以ADC=ABC+BAD即ADE+x=ABC+（1）因为AB=AC，AD=AE所以B=C，ADE=AED而AED是DEC的外角所以AED=EDC+C即AED=x+C（2）将（2）代入（1）得：所以所以选A。2.判定三角形的形状例4.已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上三种情况都有可能解析：如图5，在三角形ABC中，BAC的外角CADBAC而CAD+BAC=180即：CAD=180BAC所以180BAC90故选C图53.证明两角相等例5.如图6，在ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且ADE=B，AD=DE。求证：ADBDEC。图6分析：因为ADC是ADB的外角所以ADC=B+BAD而ADE=B，ADC=ADE+CDE所以ADE+CDE=ADE+BAD因此BAD=CDE又AB=AC，可得B=C而AD=DE所以ADBDEC例6.在等边三角形中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD=60，BP=1，则ABC的边长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6图7分析：因为ABC为等边三角形，所以B=C=60又因为APC是ABP的外角所以APC=B+BAP而B=APD=60所以BAP=CPD又B=C，所以ABPPCD所以。设ABC边长为x，则解得x=3故选A4.证明角度不等关系例7.已知，如图8，在ABC中，D是三角形内一点，求证：BDCBAC。图8证明：延长BD交AC于E在ABE中，BECA在CDE中，BDCBEC所以BDCA例8.已知：如图9，在ABC中，BAC=90，ADBC于D，E是AD上一点，求证：DECABC。图9证明：因为BAC=90所以BAD+DAC=90又因为ADBC所以ADB=90所以ABC+BAD=90所以ABC=DAC又因为DEC是AEC外角所以DECDAC所以DECABC5.证明角度的和差关系例9.如图10，已知：在ABC中，ABAC，AEF=AFE，延长EF与BC的延长线交于G，求证：。图10证明：因为AEF=B+G又因为AEF=AFE，AFE=GFC所以AEF=GFC所以GFC=B+G又因为ACB=GFC+G+得：ACB=B+2G所以例10.如图11，求证：A+B+C+D+E=180。图11证明：如图11，1=C+D，2=A+E而1+2+B=180所以A+B+C+D+E=180练习：1.如图12，、分别是ABC的外角，且，则ACB等于（）A. 20B. 30C. 40D. 80图122.如图13，在锐角三角形中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P。若A=50，则BPC的度数