《勾股定理》顶尖教育初二下册18章VIP

顶尖教育博学济天下 学习热线：2760090第十八章 勾股定理18.1勾股定理知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释：（1）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 （2）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（2）中，所以。 方法三：如将两个直角三角形拼成如图（3）所示的直角梯形。图（3）中 ，所以。 知识点三：在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的： 3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；10、24、26；9、40、41如果(a,b,c)是勾股数，当t0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。勾股定理(一)学习要求掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长一、填空题1如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么_c2；这一定理在我国被称为_2ABC中，C90，a、b、c分别是A、B、C的对边(1)若a5，b12，则c_；(2)若c41，a40，则b_；(3)若A30，a1，则c_，b_；(4)若A45，a1，则b_，c_3如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从ABC所走的路程为_4等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为_，斜边上的高为_5在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为_6如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是_7在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1S2S3S4_二、选择题8RtABC中，斜边BC2，则AB2AC2BC2的值为( )(A)8(B)4(C)6(D)无法计算9如图，ABC中，ABAC10，BD是AC边上的高线，DC2，则BD等于( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)10若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个11.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A7，24，25 B3，4，5 C3，4，5 D4，7，8三、解答题11在RtABC中，C90，A、B、C的对边分别为a、b、c(1)若ab34，c75cm，求a、b；(2) 若A30，c24，求c边上的高hc；(3)若ca4，b16，求a、c；(4) 若a、b、c为连续整数，求abc12如图，RtABC中，C90，A30，BD是ABC的平分线，AD20，求BC的长 13如图，ABC中，C90(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图)，探究S1S2与S3的关系； 图(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图)，探究S1S2与S3的关系； 图(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图)，探究S1S2与S3的关系 图 勾股定理(二)学习要求掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题一、填空题1若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为_2甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距_km3如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了_m路，却踩伤了花草4如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞_m5如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60时，其影长AC为_米 6如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为_(p取3)二、选择题7如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( ) (A)5m (B)7m (C)8m (D)10m6如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( ) (A) (B) (C) (D)三、解答题7长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_m8在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?9如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元? 解：10.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ADEBC11.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离12如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC1千米，BD3千米，CD3千米现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W 勾股定理(三)学习要求熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题一、填空题1在ABC中，若AB90，AC5，BC3，则AB_，AB边上的高CE_2在ABC中，若ABAC20，BC24，则BC边上的高AD_，AC边上的高BE_3在ABC中，若ACBC，ACB90，AB10，则AC_，AB边上的高CD_4在ABC中，若ABBCCAa，则ABC的面积为_5在ABC中，若ACB120，ACBC，AB边上的高CD3，则AC_，AB_，BC边上的高AE_二、选择题6已知直角三角形的周长为，斜边为2，则该三角形的面积是( )(A)(B)(C)(D)17若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )(A) (B)或 (C) (D)或三、解答题8在数轴上画出表示及的点9如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB3，AD9，求BE的长 10如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB8cm，BC10cm，求EC的长 11在ABC中，三条边的长分别为a，b，c，an21，b2n，cn2+1(n1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？12如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，Sn(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8_，第n个正方形的面积Sn_ 18.2勾股定理的逆定理一勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形定理与逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.想一想：互逆命题与互逆定理有何关系?学习要求掌握勾股定理的逆定理及其应用理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系一、填空题1如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是_三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_2在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做_；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的_3分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有_(填序号)4. 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1) a15 , b 8 , c17(2) a13 , b 15 , c145. 说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗?(1)两条直线平行，内错角相等(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等(4)全等三角形的对应角相等6在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，若a2b2c2，则c为_；若a2b2c2，则c为_；若a2b2c2，则c为_7若ABC中，(ba)(ba)c2，则B_；8如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC是_三角形9若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a2、a、a2为边的三角形的面积为_10ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且abc是3的倍数，则c应为_，此三角形为_二、选择题11ABC中A、B、C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）A如果CB=A，则ABC是直角三角形。B如果c2= b2a2，则ABC是直角三角形，且C=90。C如果（ca）（ca）=b2，则ABC是直角三角形。D如果A：B：C=5：2：3，则ABC是直角三角形。12下列线段不能组成直角三角形的是( )(A)a6，b8，c10(B)(C)(D)13下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )(A)112(B)134(C)92526(D)2514416914已知三角形的三边长为n、n1、m(其中m22n1)，则此三角形( )(A)一定是等边三角形(B)一定是等腰三角形(C)一定是直角三角形(D)形状无法确定三、解答题15如图，在ABC中，D为BC边上的一点，已知AB13，AD12，AC15，BD5，求CD的长 16已知：如图，四边形ABCD中，ABBC，AB1，BC2，CD2，AD3，求四边形ABCD的面积 17已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE，求证：AF