第四章习题与复习题详解(线性空间)----高等代数.docx

习题5. 11 判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间答 是因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，数乘n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2全体正实数R+, 其加法与数乘定义为判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.答 是. 设.因为,所以对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律(1) ; (2);(3) 中存在零元素1, , 有;(4) 对中任一元素，存在负元素, 使;(5); (6);(7) ;所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.答 否. .故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（）, 全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.4在中，答 否. , 也就是说集合对加法不封闭.习题5.21讨论中的线性相关性.解 设, 即 . 由系数行列式知, 2在中，求向量其中解 设 由得. 故向量为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).解 设则有.由得.故向量为（-7，11，-21，30）.4已知的两组基（）： （）：（1） 求由基（）到基（）的过渡矩阵；（2） 已知向量；（3） 已知向量;（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量.解（1）设C是由基（）到基（）的过渡矩阵, 由 C即,知基（）到基（）的过渡矩阵为.（2）首先计算得, 于是 在基 下的坐标为.（3） 在基 下的坐标为. (4) 设在基 下的坐标为, 据题意有, 解此方程组可得=. .5已知Px4的两组基（）：（）：（1） 求由基（）到基（）的过渡矩阵；（2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f(x).解 ( 1 ) 设C是由基（）到基（）的过渡矩阵, 由 C有.（2）设多项式f(x)在基（）下的坐标为. 据题意有0 （*）因为所以方程组（*）只有零解，则f(x)在基（）下的坐标为 ，所以f(x) = 0 习题5.3证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间同构.证明 设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.实系数多项式空间的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间同构.习题5.41 求向量 的长度.解 .2 求向量之间的距离.解 .3求下列向量之间的夹角（1） （2） （3）解（1）.（2）, .（3）, , ,.3 设为n维欧氏空间中的向量，证明: . 证明 因为 所以, 从而.习题5.51 在中，求一个单位向量使它与向量组 正交.解 设向量, 则有 （*）.齐次线性方程组(*)的一个解为 .取.2 将 的一组基化为标准正交基.解 (1 )正交化, 取 , (2 ) 将单位化则,为R3的一组基标准正交基.3求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基.分析 因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解 对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵可得齐次线性方程组的一个基础解系.由施密特正交化方法, 取,将单位化得单位正交向量组 因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以,是解空间的一组标准正交基.3 设, , , 是n维实列向量空间 中的一组标准正交基, A是n阶正交矩阵,证明: , , , 也是 中的一组标准正交基证明因为是n维实列向量空间中的一组标准正交基, 所以 .又因为A是n阶正交矩阵, 所以.则 故也是中的一组标准正交基.5设是3维欧氏空间V的一组标准正交基, 证明也是V的一组标准正交基.证明 由题知 , 构成V的一组标准正交基.习题五(A)一、填空题1当k满足 时，.解 三个三维向量为的一组基的充要条件是, 即.2由向量所生成的子空间的维数为 .解 向量所生成的子空间的维数为向量组的秩, 故答案为1.3 .解 根据定义, 求解方程组就可得答案. 设所求坐标为, 据题意有.为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算，所以= (33,-82,154).4. .解 因为, 所以过渡矩阵为.5. 正交矩阵A的行列式为 .解 .6已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 .解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 3 =2 个向量, 故解空间的维数为2.满足 .解 四个四维向量不是的一组基的充要条件是, 则或1. 故答案为.二、单项选择题1下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ).（A） （B） （C） (D) 解 (C ) 选项的集合对向量的加法不封闭, 故选（C）.2.生成的子空间的维数为（ ）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解 向量组A=生成的子空间的维数是向量组A的秩, 故选（A）.解 因 ( B )选项, 又因 所以线性无关.故选（B）.解 因, 所以( C )选项中向量组线性相关, 故选（C）.5n元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r, 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).(A) s=r (B) s=n-r (C) sr (D) sr选（B）6. 已知A, B为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵.(A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k为数）解 A, B为同阶正交矩阵 故选（C）.7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（ ）.(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵选（B） (B)1已知的两组基（）： （）：( 1 )求由基（）到（）的过渡矩阵；( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.解 （）设C是由基（）到基（）的过渡矩阵, 已知, 所以由基（）到基（）的过渡矩阵为.（2）设在两组基下有相同坐标的向量为, 又设在基（）和基（）下的坐标均为, 由坐标变换公式可得 , 即 0 （*）齐次线性方程（*）的一个基础解系为, 通解为故在基（）和基（）下有相同坐标的全体向量为.解 ( 1 ) 由题有 因 ，所以.故是3个线性无关向量，构成.(2 ) 因为所以从为(3) 所以解 (1) 因为C = , 所以 所以 . (2 ) , .证明 设,则有 即所以方程组（*）只有零解. 故线性无关, 构成.设 则有所以为（1, 2, 3）.5当a 、b 、c 为何值时，矩阵A =