【走向高考】2012届高三数学一轮复习 12-3二项定理课件（北师大版）

考纲解读1 能用计数原理证明二项式定理 2 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 考向预测1 本节内容的考查热点是通项公式 可以求指定项 或已知某项 求指数n等 2 本节内容的考查通常用选择题 填空题的方式进行 知识梳理1 二项式定理 a b n Cn0an Cn1an 1b1 Cn2an 2b2 Cnran rbr Cnnbn n N 这个公式所表示的定理叫做二项式定理 右边的多项式叫做 a b n的二项展开式 其中的系数Cnr r 0 1 2 n 叫做 式中的Cnran rbr叫做二项展开式的 用Tr 1表示 即展开式的第项 Tr 1 二项式系数 通项 r 1 Cnran rbr 2 二项展开式形式上的特点 1 项数为 2 各项的次数都等于二项式的幂指数n 即a与b的指数的和为 3 字母a按排列 从第一项开始 次数由n逐项减1直到零 字母b按排列 从第一项起 次数由零逐项增1直到n 4 二项式的系数从 Cn1 一直到Cnn 1 n 1 n 降幂 升幂 Cn0 Cnn 3 二项式系数的性质 1 在二项展开式中 与首末两端 等距离 的两项的相等 2 如果二项式的幂指数是偶数 的二项式系数最大 如果二项式的幂指数是奇数 的二项式系数相等并且最大 3 二项式系数的和等于 即 4 二项式展开式中 偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和 即 二项式系数 中间一项 中间两项 2n Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n 等于 Cn1 Cn3 Cn5 Cn0 Cn2 Cn4 2n 1 答案 A 答案 B 3 2009 江西文 若Cn1x Cn2x2 Cnnxn能被7整除 则x n的值可能为 A x 4 n 3B x 4 n 4C x 5 n 4D x 6 n 5 答案 C 解析 考查二项式定理 因为Cn1x Cn2x2 Cnnxn Cn0 x0 Cn1x Cn2x2 Cnnxn 1 1 x n 1能被7整除 代入选项检验易知选C 4 2010 全国卷 文 1 x 4 1 3的展开式中x2的系数是 A 6B 3C 0D 3 答案 A 解析 该题考查求展开式的特定项 用生成法 1 3的有理项为1和3x 故要出现x2 需从 1 x 4因式中找x2项和x项 即C42 x 2和 C41x x2项为C42 x 2 1 C41 x 3x 6x2 选A 答案 6 6 2010 全国卷 文 x 9的展开式中的x3的系数是 答案 84 7 若 1 2x 6展开式中第2项大于它的相邻两项 试求x的取值范围 点评 求二项展开式中某些特殊项 常数项 有理项 无理项或它们的系数等问题 利用通项公式写出其一般式 再令其中r取某些特定值是解决该类型问题常用方法 答案 B 答案 B 例2 若 3x 1 7 a7x7 a6x6 a1x a0 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 解析 所求结果与各项系数有关 可以考虑用 特殊值 法 整体解决 1 令x 0 则a0 1 令x 1 则a7 a6 a1 a0 27 128 a1 a2 a7 129 3 已知 x 1 2009 a0 a1x a2x2 a2009x2009 则a0 a1 a2 a1004 A 22009B 22008C 21005D 21004 答案 1 49 1 2 A 3 B 解析 1 在 1 3x 9展开式中奇数项为正 偶数项为负 故 a1 a2 a9 a1 a2 a3 a9 令x 1 得a0 a1 a2 a3 a9 49 令x 0 得a0 1 故 a1 a2 a9 49 1 例3 已知f x 3x2 n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992 1 求展开式中二项式系数的最大项 2 求展开式中系数最大的项 分析 展开式中二项式系数的最大项应是中间项 并要根据n的奇偶性来确定是两项还是一项 系数最大项的系数 应满足它不小于前一项的系数 也不小于后一项的系数 若设第r 1项为展开式的系数最大项 则应满足第r 1项的系数大于或等于第r项及第r 2项的系数 解析 1 令x 1 则二项式各项系数和为f 1 1 3 n 4n 展开式中各项的二项式系数之和为2n 由题意 知4n 2n 992 2n 2 2n 992 0 2n 31 2n 32 0 2n 31 舍 或2n 32 n 5 由于n 5为奇数 展开式中二项式系数最大项为中间两项 它们是 解析 根据二项式系数的性质 列方程求解n 系数的绝对值最大问题需要列不等式组求解 由题意知 22n 2n 992 即 2n 32 2n 31 0 2n 32 解得n 5 点评 在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负符号 当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异 二项式系数只与二项式的指数和项数有关 与二项式无关 而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关 还与二项式有关 值得注意的是 本例中是求 系数的绝对值最大的项 若改为 系数最大的项 又该如何处理 因为第4项的系数为负值 所以系数最大项必是第3项或第5项中的某一项 比较这两项的系数C10228与C10426大小即可 例4 1 求证 3n n 2 2n 1 n N 且n 2 2 求S C271 C272 C2727除以9的余数 分析 1 把3n化为 2 1 n展开后放缩证明 2 求出系数和构造二项展开式求解 解析 1 证明 n N 且n 2 3n 2 1 n展开后至少有四项 而 2 1 n 2n Cn1 2n 1 Cnn 1 2 1 2n n 2n 1 2n 1 2n n 2n 1 n 2 2n 1 故3n n 2 2n 1 2 S C271 C272 C2727 227 1 89 1 9 1 9 1 C9099 C91 98 C98 9 C99 1 9 C90 98 C91 97 C98 2 C90 98 C91 97 C98是正整数 S被9除的余数为7 点评 幂指数含n的不等式 n N 用二项式定理证明 有时比用数学归纳法证明要简捷得多 用二项式定理证明不等式时 要根据n的最小值确定展开后的最少项数 然后视具体情况确定应该保留多少项 这实际上是一个放缩适量的问题 利用二项式定理解决整除性问题时 关键是要巧妙地构造二项式 其基本思路是 要证明一个式子能被另一个式子整除 只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可 因此 一般要将被除式化为含有相关除式的二项式 然后再展开 此时常采用 配凑法 消去法 配合整除的有关知识来处理 1 22012除以9的余数是 A 1B 2C 5D 8 2 1 90C101 902C102 903C103 1 k90kC10k 9010C1010除以88的余数是 A 1B 1C 87D 87 答案 1 C 2 B 解析 1 22012 4 22010 4 9 1 670 4 9670 C67019669 C67029668 1 展开式中共671项 最后一项为4 1 4 故余数为9 4 5 答案选C 2 1 90C101 902C102 903C103 1 k90kC10k 9010C1010 1 90 10 8910 88 1 10 8810 C101889 C102888 C10988 1 前10项均可被88整除 故余数为1 答案选B 1 运用二项式定理一定要牢记通项Tr 1 Cnran rbr 注意 a b n与 b a n虽然相同 但具体到它们展开式的某一项时是不相同的 我们一定要注意顺序问题 另外二项展开式的二项式系数与该项的 字母 系数是两个不同概念 前者只指Cnr 而后者是指字母外的部分 2 求二项展开式中指定的项 通常是先根据已知条件求r 再求Tr 1 有时还需求n 再求r 才能求出Tr 1 3 有些三