错位相减法求和附答案

错位相减法求和专项错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于错位相减法求和适用于 an bn 型数列 其中型数列 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 在应用过分别是等差数列和等比数列 在应用过 程中要注意 程中要注意 项的对应需正确 项的对应需正确 相减后应用等比数列求和部分的项数为 相减后应用等比数列求和部分的项数为 n 1 项 项 若等比数列部分的公比为常数 要讨论是否为若等比数列部分的公比为常数 要讨论是否为 1 1 已知二次函数已知二次函数的图象经过坐标原点 其导函数的图象经过坐标原点 其导函数 数列 数列的前的前 项和为项和为 点 点均在函数均在函数的图象上 的图象上 求数列 求数列的通项公式 的通项公式 设 设 是数列是数列的前的前项和 求项和 求 解析解析 考察专题 考察专题 2 1 2 2 3 1 6 1 难度 一般 难度 一般 答案答案 由于二次函数 由于二次函数的图象经过坐标原点 的图象经过坐标原点 则设则设 又点又点均在函数均在函数的图象上 的图象上 当当时 时 又又 适合上式 适合上式 7 分 分 由 由 知 知 上面两式相减得 上面两式相减得 整理得整理得 14 分 分 2 已知数列已知数列的各项均为正数 的各项均为正数 是数列是数列的前的前 n 项和 且项和 且 1 求数列 求数列的通项公式 的通项公式 2 的值的值 答案答案 查看解析查看解析 解析解析 1 当 当 n 1 时 时 解出解出 a1 3 又又 4Sn an2 2an 3 当当时时 4sn 1 2an 1 3 即即 是以是以 3 为首项 为首项 2 为公差的等差数列 为公差的等差数列 6 分分 2 又又 12 分分 3 2013 年四川成都市高新区高三年四川成都市高新区高三 4 月月考 月月考 19 12 分 设函数分 设函数 数列 数列前前项和项和 数列 数列 满足 满足 求数列 求数列的通项公式的通项公式 设数列 设数列的前的前项和为项和为 数列 数列的前的前项和为项和为 证明 证明 答案答案 由由 得 得 是以是以为公比的等比数列 故为公比的等比数列 故 由 由 得 得 记记 用错位相减法可求得 用错位相减法可求得 注 此题用到了不等式 注 此题用到了不等式 进行放大进行放大 4 已知等差数列已知等差数列中 中 是是与与的等比中项 的等比中项 求数列 求数列的通项公式 的通项公式 若 若 求数列 求数列的前的前项和项和 解析解析 因为数列 因为数列是等差数列 是等差数列 是是与与的等比中项 所以的等比中项 所以 又因为又因为 设公差为 设公差为 则 则 所以所以 解得 解得或或 当当时时 当当时 时 所以所以或或 6 分分 因为 因为 所以 所以 所以 所以 所以所以 所以所以 两式相减得两式相减得 所以所以 13 分 分 5 已知数列已知数列的前的前项和项和 等差数列 等差数列中中 且公差 且公差 求数列 求数列 的通项公式 的通项公式 是否存在正整数 是否存在正整数 使得 使得 若存在 求出若存在 求出的最小值 的最小值 若不存在 说明理由若不存在 说明理由 解析解析 时 时 相减得 相减得 又 又 数列数列是以是以 1 为首项 为首项 3 为公比的等比数列 为公比的等比数列 又又 6 分 分 令令 得 得 即 即 当 当 当 当 的最小正整数为的最小正整数为 4 12 分 分 6 数列数列满足满足 等比数列 等比数列满足满足 求数列 求数列 的通项公式 的通项公式 设 设 求数列 求数列的前的前项和项和 解析解析 由 由 所以数列 所以数列是等差数列 又是等差数列 又 所以所以 由由 所以 所以 所以 所以 即 即 所以所以 6 分分 因为 因为 所以 所以 则则 所以所以 两式相减的两式相减的 所以所以 12 分 分 7 已知数列已知数列满足满足 其中 其中为数列为数列的前的前 项和 项和 求求的通项公式 的通项公式 若数列若数列满足 满足 求 求的前的前 项和公式项和公式 解析解析 得 得 又 又时 时 5 分 分 两式相减得两式相减得 13 分 分 8 设设 d 为非零实数为非零实数 an d 2d2 n 1 dn 1 ndn n N 写出写出 a1 a2 a3并判断并判断 an 是否为等比数列是否为等比数列 若是若是 给出证明给出证明 若不是若不是 说明理由说明理由 设设 bn ndan n N 求数列求数列 bn 的前的前 n 项和项和 Sn 答案答案 由已知可得由已知可得 a1 d a2 d 1 d a3 d 1 d 2 当当 n 2 k 1 时时 因此因此 an 由此可见由此可见 当当 d 1 时时 an 是以是以 d 为首项为首项 d 1 为公比的等比数列为公比的等比数列 当当 d 1 时时 a1 1 an 0 n 2 此时此时 an 不是等比数列不是等比数列 7 分分 由由 可知可知 an d d 1 n 1 从而从而 bn nd2 d 1 n 1 Sn d2 1 2 d 1 3 d 1 2 n 1 d 1 n 2 n d 1 n 1 当当 d 1 时时 Sn d2 1 当当 d 1 时时 式两边同乘式两边同乘 d 1 得得 d 1 Sn d2 d 1 2 d 1 2 n 1 d 1 n 1 n d 1 n 式相减可得式相减可得 dSn d2 1 d 1 d 1 2 d 1 n 1 n d 1 n d2 化简即得化简即得 Sn d 1 n nd 1 1 综上综上 Sn d 1 n nd 1 1 12 分分 9 已知数列已知数列 an 满足满足 a1 0 a2 2 且对任意且对任意 m n N 都有都有 a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 求求 a3 a5 设设 bn a2n 1 a2n 1 n N 证明证明 bn 是等差数列是等差数列 设设 cn an 1 an qn 1 q 0 n N 求数列求数列 cn 的前的前 n 项和项和 Sn 答案答案 由题意由题意 令令 m 2 n 1 可得可得 a3 2a2 a1 2 6 再令再令 m 3 n 1 可得可得 a5 2a3 a1 8 20 2 分分 证明证明 当当 n N 时时 由已知由已知 以以 n 2 代替代替 m 可得可得 a2n 3 a2n 1 2a2n 1 8 于是于是 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8 即即 bn 1 bn 8 所以所以 数列数列 bn 是公差为是公差为 8 的等差数列的等差数列 5 分分 由由 的解答可知的解答可知 bn 是首项是首项 b1 a3 a1 6 公差为公差为 8 的等差数列的等差数列 则则 bn 8n 2 即即 a2n 1 a2n 1 8n 2 另由已知另由已知 令令 m 1 可得可得 an n 1 2 那么那么 an 1 an 2n 1 2n 1 2n 于是于是 cn 2nqn 1 当当 q 1 时时 Sn 2 4 6 2n n n 1 当当 q 1 时时 Sn 2 q0 4 q1 6 q2 2n qn 1 两边同乘两边同乘 q 可得可得 qSn 2 q1 4 q2 6 q3 2 n 1 qn 1 2n qn 上述两式相减即得上述两式相减即得 1 q Sn 2 1 q1 q2 qn 1 2nqn 2 2nqn 2 所以所以 Sn 2 综上所述综上所述 Sn 12 分分 10 已知数列已知数列 an 是公差不为零的等差数列是公差不为零的等差数列 a1 2 且且 a2 a4 a8成等比数列成等比数列 1 求数列求数列 an 的通项公式的通项公式 2 求数列求数列 an 的前的前 n 项和项和 答案答案 1 设数列设数列 an 的公差为的公差为 d d 0 由条件可知由条件可知 2 3d 2 2 d 2 7d 解得解得 d 2 4 分分 故数列故数列 an 的通项公式为的通项公式为 an 2n n N 6 分分 2 由由 1 知知 an 2n 32n 设数列设数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn 则则 Sn 2 32 4 34 6 36 2n 32n 32Sn 2 34 4 36 2n 2 32n 2n 32n 2 故故 8Sn 2 32 34 36 32n 2n 32n 2 8 分分 所以数列所以数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn 12 分分 11 已知等差数列已知等差数列满足满足又数列又数列中中 且且 1 求数列求数列 的通项公式的通项公式 2 若数列若数列 的前的前项和分别是项和分别是 且且求数列求数列的前的前项和项和 3 若若对一切正整数对一切正整数恒成立 求实数恒成立 求实数的取值范围的取值范围 答案答案 1 设等差数列设等差数列的公差为的公差为 则有则有 解得解得 数列数列是以是以为首项为首项 公比为公比为的等比数列的等比数列 4 分分 2 由由 1 可得可得 得得 10 分分 3 当当时时 取最小值取最小值 即 即 当当时 时 恒成立 恒成立 当当时 由时 由 解得 解得 即实数即实数的取值范围是的取值范围是 14 分分 12 设设为数列为数列的前的前项和 对任意的项和 对任意的 都有 都有为常数 为常数 且且 1 求证 数列 求证 数列是等比数列 是等比数列 2 设数列 设数列的公比的公比 数列 数列满足满足 求数列 求数列 的通项公式 的通项公式 3 在满足 在满足 2 的条件下 求数列 的条件下 求数列的前的前项和项和 答案答案 188 1 当 当时 时 解得 解得 当当时 时 即即 又又为常数 且为常数 且 数列数列是首项为是首项为 1 公比为 公比为的等比数列 的等比数列 4 分分 2 由 由 1 得 得 是首项为是首项为 公差为 公差为 1 的等差数列 的等差数列 9 分分 3 由 由 2 知 知 则 则 得得 14 分分 13 设等差数列设等差数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn 且且 S4 4S2 a2n 2an 1 求数列求数列 an 的通项公式的通项公式 设数列设数列 bn 的前的前 n 项和为项和为 Tn 且且 Tn 为常数为常数 令令 cn b2n n N 求数列求数列 cn 的前的前 n 项和项和 Rn 答案答案 设等差数列设等差数列 an 的首项为的首项为 a1 公差为公差为 d 由由 S4 4S2 a2n 2an 1 得得 解得解得 a1 1 d 2 因此因此 an 2n 1 n N 由题意知由题意知 Tn 所以所以 n 2 时时 bn Tn Tn 1 故故 cn b2n n 1 n N 所以所以 Rn 0 1 2 3 n 1 则则 Rn 0 1 2 n 2 n 1 两式相减得两式相减得 Rn n 1 n 1 整理得整理得 Rn 所以数列所以数列 cn 的前的前 n 项和项和 Rn 遇到失意伤心事 多想有一个懂你的人来指点迷津 因他懂你 会以我心 换你心 站在你的位置上思虑 为你排优解难 一个人 来这世间 必须懂得一些人情事理 才能不断成长 就像躬耕于陇亩的农人 必须懂得土地与种子的情怀 才能有所收获 一个女子 一生所求 莫过于找到一个懂她的人 执手白头 相伴终老 即使芦花暖鞋 菊花枕头 也觉温暖 即使粗食布衣 陋室简静 也觉舒适 一句 懂你 叫人无怨无悔 愿以自己的一生来交付 懂得是彼此的欣赏 是灵魂的轻唤 是惺惺相惜 是爱