原子物理学第三次作业答案 (7).doc

第一章 量子力学前的原子物理学11原子的外部和内部特性“原子”的原始慨念：组成物质的最基本单元 (最小，不可再分离：atom希腊文)提出者：古希腊哲学家德膜克利特（B.C. 400）古代中国人：金，木，水，火，土 (五行说)；古代云南彝族：铜，木，水，火，土。问题：不可再分离？原子电子、原子核；原子核质子，中子；质子，中子 基本粒子（中微子、光子、介子、超子，）；基本粒子夸克弦，说明：人们对“最基本单元”的认识是无止境的。意义：闪烁着人类认识世界的哲学光芒，但是，不具备科学的“实证”特征。“实证”（有实验证据）：多大？多重？内部结构特性？1.1.1原子的外部特性19世纪初：掌握了原子的外部特性：多大？多重？(i)摩尔（Mol）定义（1971年国际计量会议）：一个系统物质的数量，该系统中包含的基本单元数与0.012 kg 的原子数相同。说明：1，“基本单元”可以是原子、分子或带电粒子等；2，0.012 kg 的原子数=6.0221023，或NA（阿伏伽德罗常数）=6.0221023/Mol。(ii)原子的相对质量（原子量，A）定义（1971年国际计量会议）：1摩尔某种物质的质量M(A)和1摩尔的质量M()的1/12的比值，是这种物质的原子量（A）。(iii)原子的绝对质量（原子质量，mA）已知：NA，A 按定义：A=M(A)/M()/12, M(A)= A M()/12= A（g）则：mA =A（g）/ NAA1.6611024（g）A1.6611027（kg）例：，A12.0000,一个原子的重量：121.6611027(kg)=19.931027(kg)；， A1.0078,一个原子的重量：1.00781.6611027(kg)=1.6741027(kg)；（vi）原子的尺寸已知：NA ，A，r（g/cm3）；则：一个摩尔的原子所占的体积：VmolA(g)/r；另一方面，设rA为原子半径，一个原子的体积(球体)（4prA3/3）；一个摩尔的原子所占的体积：VmolNA（4prA3/3）所以，rA = (3A/4pr NA)1/3 108cm 1010 m=1 A例：H () , A1.0078, r =0.09（g/cm3）rH 1.6108 (cm) 1.6 A量子力学计算值：rH a =0.53 A1.1.2原子的内部特性19世纪末20世纪初：基本掌握了原子的内部特性：原子由带正电的原子核和带负电的电子组成，整体呈电中型；电子绕着原子核做圆周运动。做出如上认识的三个著名实验：（一） 汤姆逊（英国，Thomson，1897）的阴极射线实验装置原图：阴极射线管：轴线管壁发光（忽略“阴极射线”的重量）加偏转电场E后，射线向上偏转：说明带负电，受力qE加偏转磁场B后，射线向下偏转：说明带负电，受力qVB电场和磁场力平衡时，qE=qVBV=E/B；撤去电场，阴极射线受罗伦滋力作用，在磁场内做半径为R的圆周运动；在磁场外做直线运动并偏离轴线。由偏转角q 测量出R；由 mV2/R=qVB q/m=V/RB= E/RB2dDRqqR = d / sinq结果：1，阴极射线是一种带负电的粒子流；2，求出了阴极射线的荷质比，此值和发出阴极射线的材料无关；3，Thomson认为，阴极射线是一种比原子小的粒子（电子）流，阴极射线的荷质比就是电子的荷质比。意义：发现了电子，并由此发现获得1905年度的诺贝尔物理学奖。问题：物体带电量是否存在一个最小数值？qmin = e (electron) = ?,（二） 密里根（美国，Milikan, 1910）的油滴实验装置原图：装置原理图：MgQE基本思想： 带电油滴在电场力QE和重力Mg作用下处于静止状态，QMg/E；油滴带电量如果是某个最小电量qmin = e的倍数，即：QNe（N为整数），则平衡电场EMg/Ne 应该是一系列分离的数值，反之亦然；由这些分离的数值可求出油滴的最小带电量qmin，即电子电量e。实验结果： 1，油滴带电量确实是一系列分离数值，即，物体带电量是“量子化”的；2，物体带电量的最小值qmin = e1.61019 C； me=9.1*10-31 kg。意义：从实验上证实了油滴带电量的“量子化”，测量出了电子电量。密里根由此获得1915年度的诺贝尔物理学奖。（三） 卢瑟福（新西兰，Rutherford,1909）的a粒子散射实验背景：1，汤姆逊（剑桥大学卡文的许实验室主任）的“面包葡萄干”原子模型（西瓜子模型）：在原子尺度r01010M内，原子的正电部分均匀分布（面粉），电子就如葡萄干，崁嵌在正电核（面粉）中。r01010 M2,卢瑟福是汤姆逊的研究生，熟悉“面包葡萄干”原子模型。3,1908年，卢瑟福由于对铀元素放射性的研究，获得诺贝尔化学奖。发现铀放射性由三个部分组成：（1）a射线（He核：He+粒子流）；（2）b射线（e：电子流）；（3）g射线（电磁辐射：光子流）。其中，a粒子的速度达C/10000, 是高能粒子，可以作为“炮弹”轰击并研究其他粒子。卢瑟福设想1：如果“葡萄面包干”模型正确，a粒子被原子的散射只能是小角度的散射（q小）。（Why?）1,a粒子的动量大，电子对a粒子的动量无影响（e: 无斥力；me: Ma/ me4 Mp/ me=41836），只需考虑“面粉”的影响；2， a粒子受力： (库仑定律)； (高斯定律)。arFaqFoutFin小角度散射！r0装置原图：实验结果：发现大角度散射，甚至背向散射（q180o）的a粒子。结果说明：汤姆逊的“葡萄面包干”原子模型是错误的。卢瑟福设想2：如果原子的正电部分集中于一个非常小的空间区域rn中，rn=1的整数)；h (普朗克常数)6.631034（JS）(3) 定态跃迁：原子从一个定态跃迁到另一个定态时，以光子形式辐射或吸收能量。说明： A，光子是爱因斯坦于1905为解释光电效应提出。光子能量满足：Ehn，式中，n: 光波的频率；B，辐射过程：E2E1hn；吸收过程：E1+ hn=E2；C，定态非定态；非定态非定态的跃迁是不存在的。Ze-eE2：(定态能量)E1E2 E1hn= E2E1E1+hn= E2-e1.2.2由玻尔理论求定态能量和轨道半径En=?；rn=?(A) 电子绕核运动的向心力由核电荷（+e）和电子电荷（e）间的库仑力提供；（1） (电子动能);r =(1，)Ek (原子的动能) (氢核动能) (电子动能) （核不动！）Ep(原子的势能);E(原子的总能)EkEp=;（负值！）（2）(B)L(原子的角动量)Le+LN Le（核不动！） mer2wmerVe (Verw) n (定态条件)(n=1整数)（3）联立（1，），（2），（3）得：En（定态能量是分离值） (4)rn （定态轨道半径是分离值） (5)问题及作业：1，证明：在 (氢核动能)0（核在动！）的条件下，用m（折合质量，Mp: 质子质量）代替（4），（5）式中的me，可得氢原子的定态能量和轨道半径满足： (4，)rn (5，)提示：氢核不动的条件下，才有Ek (原子的动能)Ek (电子动能)。但是，氢核不动是不合理的(因为有反作用力！)。为计算Ek (原子的动能)Ek (氢核动能)Ek (电子动能)，以原子的不动点rc(质心)基点。L(原子角动量)IpwNIewe=Mprc2w+ me(r-rc)2wr2wm n (定态条件)；(wN = we = w: why?)（用质心公式：rc）Ek (原子的动能) m（rw）2（Vp= rcw; Ve= (r-rc)w）Ep(原子的势能)m（rw）2，（由关系得到）rrc-e e-FeFeMpme2， 对类氢粒子（核外只有一个电子的带电粒子），如：He（Z2）一次电离后He；Li（Z3）二次电离后 Li ；Be（Z4）三次电离后 Be 。证明：； (4，)rn (5，)3， H有两个同位素（Z相同，质量数不同的一类元素），D（氘: 比氢核多一个中子）和T（氚: 比氢核多两个中子）。中子：MNMP，不带电荷。求：En=?；rn=?。1.2.4由定态能量求跃迁过程产生的辐射能量（光子能量）、波长和频率（1） 氢原子定态轨道半径和能量的简约表示 (取Mp/me=1836)rnn2a1(n=1整数)(5)a1=0.53A（玻尔半径，原子尺度值）hc(6)constant1.09677107M-1e-eEn2En1（2） 定态跃迁过程的辐射能量、辐射波长和频率n2n1 : En2 En1i辐射能量hn En2En1hc）（7）ii辐射(电磁波)频率n (En2En1)/ hc（8）iii辐射波长（波数表示）=T(n1)- T(n2)（9）其中，T(n)constant/ n2 (光谱项)1.2.5玻尔氢原子理论和实验的比较1，发射光谱及其测量装置发射光谱：光源的发光强度随波长或频率的分布Il , nl (n)Il , nl (n)连续谱，如：白炽灯分离谱（线状谱），如：原子发光测量装置：17世纪，牛顿用棱镜分解太阳光的实验 最早的光谱测量装置n (l)：色散阳光狭缝棱镜屏20世纪中期的光谱测量装置：f1f2照相胶片现代光谱测量装置1（透射式光栅，衍射效率低）：f1透射式光栅照相底片f2现代光谱测量装置2（用反射式光栅代替衍射式光栅。在衍射光栅中，单缝衍射的0级集中了光能的70，而单缝衍射的0级和无色散能力的多缝干涉的0级重合，使得衍射光栅的光能利用率效率极低）。f2f2光电探测器反射式光栅凹面镜1凹面镜2光电探测器：PDPMTCCD（1D）CCD（2D）2，吸收光谱及其测量装置朗伯比尔定律：样品I0(l)I I-dI0 x x+dx ddI I, dx dI = a(l)Idx（10）I(l,x) = I0(l)exp-a(l)x（11）朗伯比尔定律的微分形式(10)，朗伯比尔定律的积分形式(11)，a(l)：吸收系数。由（11），当x = da(l)=Ln(cm-1)(12)l a（l）以a(l)为纵坐标，l为横坐标所得曲线就是吸收光谱曲线。图示为原子蒸汽的吸收谱。测量装置连续谱光源单色仪f样品池3，氢原子发射光谱的实验结果到1885年，研究者已发现了氢原子的14条谱线。巴尔末发现在可见光区（l: 370 nm 780 nm）的氢原子谱线波数满足公式： n = 3, 4, 5, ；（B364.56 nm）(13)（13）：巴尔末公式；满足（13）式的谱线成为巴尔末线系。1889年，里德伯也研究了这些氢原子谱线，并提出了谱线波长遵循的经验公式： n = m1, m2, m3, ；m =1,2,3, (14)RH = 1.09721107 M-1 (里德伯常数)；（14）：里德伯公式。1908年，帕邢在红外光区（l800 nm）证实了的氢原子谱线波数满足里德伯公式（14），而且 m =3; n = 4, 5, 6, 现将满足公式： n = 4, 5, 6, （15）的氢原子谱线为帕邢线系；1914年，赖曼在紫外光区（l370 nm）证实了的氢原子谱线波数满足里德伯公式（14），而且 m =1; n = 2,3, 4, 现将满足公式： n = 2,3,4, （16）的氢原子谱线为赖曼线系。氢原子谱线的三个线系（13），（15），（16）证实了里德伯（经验）公式的正确；玻尔用其理论推出的（9）式，比较了里德伯公式（14）式，发现二者不仅在形式上相同；常数constant =1.09677107M-1 也非常接近RH = 1.09721107 M-1 (里德伯常数)！玻尔理论取得巨大的成功！1922年获诺贝尔奖！这真是一个伟大的发现！爱因斯坦4 几个重要概念1） 里德伯常数以Mp/me=1836计算折合质量m，得氢原子的里德伯常数，记为：RHRH 1.09677107 M1；所以，（7），（8），（9）三式中的“constant”，用RH替代。M nuclear/me= mme时的里德伯常数，记为：R或RR R 1.09737107 M1任意元素A (核的质量为MA)的里德伯常数，记为：RARA2） 光谱学中常用能量单位及其转换AJ（焦耳）Bev（电子伏特）：电子经1V的电压加速后获得的能量1 ev1.610-19 JCHz (赫兹)： 在光子能量关系式（爱因斯坦公式）Ehn中，用频率表示能量。nE/h (赫兹)。E（J），h(J.S)Dcm-1 和M1，在光子能量关系式Ehnhc/l=hcs中，用波数表示能量。s1/lE/hc。E（J），h(J.S)，c (MS-1)。1 M1=10-2cm-1，1cm-1=100M-13) 能级图对氢原子，由hcconstant / n2hcRH/n2 13.6 / n2 ( ev)n =1,2,3,4,巴尔末线系n3 2赖曼线系n2 1帕型线系n4 3能级图的同心圆表示：能级图的常规表示：-13.6 -0.84 -1.51 -3.40 0 1432nEn (ev)5赖曼系n 2 1巴尔末系n 3 2帕邢系n 4 34） 线系极限波长：n（上能级）= n，（各个线系下能级）对应的波长。5） 基态，激发态，电离能，结合能基态：能量最低的态。对氢原子，n = 1对应的态，E1 13.6 ev 。激发态： 能量比基态高的态。有第一，第二，激发态。电离能： 从基态将一个电子电离(n = )所需的能量。见P212。结合能：从激发态（或基态）电离一个电子需要的能量。例题： P30，1.6（1） 第一激发电势和电离电势；（2） n = 2 n = 1谱线的波长。分析 ：“电子偶素”和氢原子的区别：“电子偶素”的核是正电子（me, e）, 氢原子的核是一个质子（Mp, e）。能级：En = hcRA/n2， RAR /2En hcRA/n2 hcR/2n2 6.8 /n2 (ev)第一激发电势：从基态第一激发态（即E1 E2 ）的电势。 E1 6.8 ev，E2 1.7 ev；E2E1 5.1 ev。U15.1 V电离电势（先求电离能量）：EE10（6.8 ev）6.8 evU电离 6.8 Vn = 2 n = 1谱线的波长：E2E1= hc/l5.1 ev； lhc/(5.1 ev)h=6.631034（JS）；c=3108（MS-1）5.1 ev =5.11.61019（J）l2.438107 M243 nm (紫外线)5 夫兰克赫兹（德国人，1913）实验玻尔理论预言：原子内部存在一系列分离的能级（定态能级）。对氢原子及类氢离子，由光谱结构得到证实。对其他原子，光谱结构非常复杂，但是，夫兰克赫兹用电子碰撞Hg原子的实验证实：Hg原子内部确实存在分离能级。夫兰克和赫兹由此实验获得1925年度的诺贝尔物理学奖。VAK：灯丝G：栅极A：阳极IVGK 加速电压反向电压（0.5V）加热变阻器Hg 蒸汽装置原理图：0 4.9 9.8 14.7VGK (V)I0.5Ip1Ip2Ip3实验结果：VGK n4.9 (V) 时， I IpeakE2E1不可吸收可吸收可吸收，但几率小Why ？类似桥的共振！结果的解释：Hg原子内部存在分离的能级。E2E1 4.9 evEK(-e) eV （电子动能）VGK(V)EK(-e)(eV)碰撞时Hg原子能否吸收EK(-e)？碰撞后剩余的EK(-e) (eV)电子可否到阳级？0.50.5 不能0.5 不能0.5 VGK 4.90.5 4.9 不能0.5 4.9 能4.94.9能EK(-e) = 0不能4.9 VGK9.84.9 不能4.9 能9.84.9 能EK(-e) = 0不能n4.9 (V)4.9 能EK(-e) = 0不能结果说明：原子内部存在分离的能级结构。思考题1：为什么峰值后不能回零？（部分电子未撞上原子！）思考题2：高激发态能级的测定装置？（A，加速区和碰撞区分开；B，降低汞压，问题？）1.3索末菲（A. Sommerfeld, 德国物理学家）对玻尔理论的推广“普朗克，您是我敬仰的大师。您开垦出了一片量子科学的花园，在这个花园中，我采拮到了许多美丽的花朵！”1.3.1椭圆轨道定态条件：玻尔氢原子：圆周轨道，一个自由度（j），一个量子化(定态)条件：L = n= Ln L(角动量)mr2= 常数（守恒量），量子化条件表示：nh （LLn =n(h/2p)= n）索末菲氢原子：椭圆轨道，两个自由度（j, r），两个量子化条件： njh （nj：角量子数）（17）nrh （nr：径向量子数）（18） pr：沿r方向的线动量。结果（推导见褚圣麟书）：1 能量（同玻尔理论）hcRH ，n (主量子数)nr + nj = 1, 2, 3,nj(角量子数)n, n-1, n-2,1 (一个n值，对应n个nj值)2 轨道（有别于玻尔理论）-eZebaa = rn (同玻尔理论)n2 a1（19）一个n值（a值），n个nj值（b值）（20）例如：nnj= n,n-1,1a=n2 a1b =nj na1b/a轨道形状11a1a11224a14a1112a11/2339a19a1126a12/313a11/3能量En由n 定，但一个n值（能量值）存在n种电子的运动状态。3 简并将能量相同，但运动状态不同的现象成为简并；不同的运动状态数目称为简并数（g）。4 空间量子化玻尔的圆周轨道运动：1D, j (nj)索末菲椭圆轨道运动：2D, j，r (n, nj)zxyrmVeL-eqj2D的氢原子在3D坐标系中，轨道角动量：数值：L = nj (nj = n, n-1, n-2,1)LrmVe方向：q （无外场时不变，大量氢原子无规分布）空间量子化：在外场B中（沿Z轴）：Lz = L cosq = nj cosq = m (m= nj, nj-1, nj-2,0, -1,- nj ：共2 nj1个) （21）cosq ，即：在外场中，原子的空间取向是量子化的。m：磁量子数n ：主量子数，确定原子的定态能量；量子数小结：nj ：角量子数，（nj，n）确定原子的定态轨道形状；m ：磁量子数，（m，nj）确定原子定态轨道的空间取向。1.3.2相对论能量修正(原因：电子绕核运动速度大) 玻尔：Ek（-e） 修正：Ek （-e） mc2 m0c2 = m0c2 ; b = v/c. 修正结果：En (n, nj) = hcRH(玻尔项)hcRHb 2 （22）(简并消除。 推导见杨福家书)1.4 光谱产生的爱因斯坦理论爱因斯坦前：偶极辐射理论（原子） 偶极子：(-q, m)(q, M)(-q, m)F(q, M)pE弹簧振子：-kx = m= ma 0 (k: 屈强系数，m：折合质量)x = x0sinwt;a = -w2x0sinwt(w=: 圆频率)P（辐射功率） a2 w4（23）问题：难解决同一原子的不同辐射频率问题。E2g2E1g1N2(t)N1(t)1.4.1 Einstein 理论的要点物质（原子）简化为一个二能级系统：（1）光为能量为nhn的光子流 (n：光子数)。I, 自发发射；（2）光和物质存在三种相互作用：II, 受激发射；III, 受激吸收。I, 自发发射：无外光场作用，处于上能级的原子自发地跃迁到下能级，并同时辐射出频率为n（E2E1）/h的光子的过程。N2(t)E2E1hnN1(t)特点1 ：产生自发辐射光子非相干光子（见II：相干光子）特点2 ：原子数变化（A系数）设： t t+dt内，有dN2个原子离开E2能级，E2能级上原子数的减少dN2 dN2 dt, N2或：dN2 AN2 dt（24） A(dN2/N2)/dt (自发发射几率) （25）对(22)式积分， N2（t）N2（0）（26）意义：t = 0 时刻，有N2（0）个原子处于E2能级; t = 后，通过自发辐射过程全部离开E2能级。特点3 ：光强变化（t值）E2能级上减少一个原子，就向外辐射一个光子hn；dt内减少dN2辐射出能量 dN2 hn自发辐射功率：PN2（0）Ahn P0 I（光强）II0（27）t0-I0II0e1t = t定义：t为自发发射的寿命 (实验可测量，怎样测？)。 由（27）式，At 1t 1/A（28）结合（26）式，下面证明：“t”是一个原子在E2能级上停留的平均时间。在t t+dt的时间内，有dN2个原子离开E2能级，此“dN2”个原子在E2能级上停留的时间之和tdN2 ;在 t=0 t= 的时间内，N2（0）个原子全部离开E2能级，设此“N2（0）”个原子在E2能级上停留的时间之和ttotal ;则： ttotal AN2(0)N2(0)/ A =t N2(0), 故：t = ttotal / N2(0) 。 1/A2 ： 稳态能级；所以，又定义t 为能级（E2）的平均寿命。据 t介于其中： 亚稳态能级； 109（s）= 1ns：激发态能级。E2E1E3A32A31例：三能级系统的t值（P31：1.12题）A3 A32 A31 （几率直接相加）A3 1/t3A31 1/t31A32 1/t321/t3 1/t31 1/t32 （寿命倒数和相加）II,受激发射：受频率为n（E2E1）/h的激励光子作用，原子从上能级E2跃迁到下能级E1，并同时辐射一个和激励光子相干的光子过程。4hn 8hn 。雪崩发大 激光 (Laser)Light amplification of stimulated emission radiationE2E12hnE2E1hnhn说明：（1）激励光子 激励原子，但不被原子吸收；（2）相干光子 和激励光子同频率，同偏振方向，同传播方向，同位相的光子(激励光子的克隆光子)。特点1：产生相干光子，相干光子的雪崩放大形成激光。特点2：原子数变化（受激发射系数：B21）设： （1）rn ：单色能量辐射密度 (普朗克公式) （29）（2）t t+dt内，有dN2个原子离开E2能级，E2能级上原子数的减少dN2则：dN2 dt, N2, rn（说明）或：dN2 B21 rn N2dt（30）B21：受激发射系数。记： B21 rnW21，（31）W21（dN2/ N2）/dt（32）对比 (25)式，W21：受激发射几率。受激辐射光放大（LASER）不易产生的原因（1917年，Einstein提出，1960年梅曼实现）：存在受激发射的逆过程 III,受激吸收（又称：共振吸收）：原子共振吸收频率为n（E2E1）/h的激励光子，并从原子下能级E1跃到上能级E2的过程。E2E1hn特点：原子数变化（受激吸收系数：B12）设： t t+dt内，有dN1个原子离开E1能级，E1能级上原子数的减少dN1则：dN1 dt, N1, rn（说明）或：dN1 B12 rn N1dt