[关键词]角平分线和尺规作图教案.doc

文件 sxcbk0024.doc科目 数学关键词 初二几何/教学结构/尺规作图/角平分线标题 角平分线和尺规作图内容角平分线和尺规作图【教学结构】一 角平分线1.定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。这个定理说明了角平分线上的点的性质，是角平分线的性质定理。2.定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。这个定理是制定某一个点是否在角的平分线上，是角平分线的判定定理。它是定理1的逆定理。3.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。这里包含两层意思，在一个角内，到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上；反过来，角的平分线上的点到角的两边距离都相等。4.利用定理1和定理2可以证明两条线段相等或两个角相等。因此，在证题时，应注意直接应用这两个定理解决问题，避免绕远路，仍去找全等三角形，结果相当于重新证一次定理。5.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。6.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。7.定理作为一个命题一定有逆命题，由于逆命题不一定都是真命题，因此并不是所有的定理都有逆定理。例如：“对顶角相等”的逆命题是假命题，所以，“对顶角相等”这个定理没有逆定理。二 基本作图1.尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，叫做尺规作图。（直尺应设有刻度）2.基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图。3.五种常用的基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)平分已知角；(4)经过一点作已知直线的垂线；(5)作线段的垂直平分线。4.掌握以下几何作图语句：(1)过点、点作直线；或作直线，或作射线；(2)连接两点、；或连结；(3) 在上截取=； (4)以点为圆心，为半径作圆（或弧）； (5)以点为圆心，为半径作弧，交于点； (6)分别以点、点为圆心，以、为半径作弧，两弧相交于点； (7)延长到点，或延长到点，使=。 5.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述就可以了，如： (1)作线段=； (2)作=； (3)作（射线）平分； (4)过点作，垂足为； (5)作线段的垂直平分线。【解题点要】例1：判断题：1.三角形的角平分线是射线（ ）2.三角形的三条角平分线的交点和三个顶点的距离相等（ ）3.原命题是真命题，它的逆命题也是真命题（ ）4.因为每个命题都有逆命题，所以每个定理也都有逆定理（ ）5.命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题（ ）解：第1题：“”。因为三角形的角平分线是三角形一个角的平分线和这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。它是线段而不是射线。一个角的平分线才是射线。第2题：“”。因为三角形的三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等。第3题：“”。因为原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题，例如：“对顶角相等”的逆命题：“相等的角是对顶角”就是假命题。第4题：“”。因为每一个命题都有逆命题是对的。但是一个定理的逆命题经过证明是真命题，它才能叫做这个定理的逆定理。所以每个定理不一定有逆定理。第5题：“”。“全等三角形的对应角相等”的逆命题是：“三个角分别相等的两个三角形全等”显然是错误的。例2 已知：如图，ABC中，B，C的平分线相交于点O，ODAB，OEBC，OFAC，D、E、F分别是垂足。求证：点O在A的平分线上。分析：此题要注意区分何时用判定定理，何时用性质定理。证明：点O在B的平分线上（已知） 又ODAB，OEBC（已知） OD=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等） 同理：OD=OF OE=OF 点O在A的平分线上（到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）例3下列各语句为作图范句的画“”，不是作图范句的画“”。1.过P作直线PA（ ）2.过点P，点A，作直线PA（ ）3.连结两点（ ）4.延长到（ ）5.延长到（ ）6.延长到，使（ ）7.在上截取a（ ）8.以点P为圆心，以m为半径作圆（ ）解：1.过一点可以作无数条直线“”2.因为两点确定一条，“”3.连结两点MN，得到线段MN，“”4.应为延长AB到D点“”5.“”6.“”7.“”8.“”例4 已知：如图，在ABC中，C=90，CAB=60，AD为BAC的平分线，D到AB的距离为5.6cm求：BC的长分析：此题要充分利用角平分线的性质定理，避免绕远路，去证三角形全等。证明：在RtABC中，CAB=60B=30（直角三角形两锐角互余） AD是BAC的平分线（已知） 1 = CAB=30（角平分线定义） 1 = B AD = DB D到AB的距离为5.6cm即DE=5.6cm CD = DE =5.6cm RtDEB中 B=30，DE=5.6cm DB = 2DE=11.2（Rt中30角所对边等于斜边的一半） BD = 11.2 BC = CD + DB =5.6+11.2=16.8(cm)【同步练习】一、选择题 1.已知：如图1，B E，C F是ABC的角平分线，B E，CF相交于D，若A=50，则BDC=（ ） A. 70 B.120 C.115 D.1302.已知：如图2，ABC中，AB = AC，BD为ABC的平分线，BDC = 60，则A =（ ）A. 10 B. 20C. 30 D. 403.三角形中，到三边距离相等的点是（ ）A.三条高线交点B.三条中线交点C.三条角平分线的交点D.三边的垂直平分线的交点4.已知P点在AOB的平分线上，AOB = 60，OP = 10 cm，那么P点到边OA、OB的距离分别是（ ）A. 5cm、cm B. 4cm、5cmC. 5cm、5cm D. 5cm、10cm5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（ ）A.直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形的两个底角相等C.全等三角形的对应角相等D.相等的两个角是对顶角6.已知：如图3，ABC中，C = 90，点O为ABC的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（ ）cmA. 2、2、2 B.3、3、3C. 4、4、4 D. 2、3、5二、填空题1.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是 ，它是 命题。2.角平分线可以看作是 的点的集合。3.已知：ABC中，C = 90，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离是 cm。4.命题“如果a = b，那么| a | = | b |”的命题是 ，它是 命题。三、简答题1.已知：如图4，ABC的外角FAC的平分线为AE，1=2，AD = AC 求证：DCAE2.已知：如图5，ABC中，C= 90，点D是斜边AB的中点，AB = 2BC， DEAB交AC于E求证：BE平分ABC3.已知线段AB，求线段AB的四等分点。4.已知：如图6，ABC中，A= 90，AB = AC = BD EDBC 求证：AE = DE =DC5.已知：线段a和a 求作ABC，使AB = AC = a，A= a【参考答案】一1. C 2. B 3. C 4. C 5. C 6. A二1.同旁内角互补，两直线平行， 真 2.到一个角的两边距离相等的所有 3. 8 4.如果| a | = | b |，那么a = b，假三1.AD = AC，ADC=ACD，ABC中 FAC=ADC + ACD， 又1=2=FAC ADC=FAC=1，DCAE 2.D是AB中点 BD=AB，AB