高等数学电子教案：第10章 重积分.doc

章节第十章 重积分1 二重积分的概念与性质课时2教学目的理解二重积分的定义，掌握二重积分性质。教学重点及突出方法二重积分的定义及性质。教学难点及突破方法二重积分的定义。通过计算曲顶柱体的体积及平面薄片的质量问题，利用与定即分的定义的概念的引入中相同的方法引入二重积分的定义。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P199-P204大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P536-P538教学过程教学思路、主要环节、主要内容10.1 二重积分的概念与性质一、二重积分的定义：二重积分通过计算曲顶柱体的体积及平面薄片的质量问题引入的。定义: 设f（x，y）是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域1 ，2，n，其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积。在每个i上任取一点(i，i），作乘积 f(i，i）i（i = 1, 2, , n,），并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y）在闭区域D上的二重积分，记作，即。（*）其中f(x，y)叫做被积函数，f(x，y)d 叫做被积表达式，d叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，叫做积分和。在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那末除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域i的边长为dxi和dyi，则i=dxidyi。因此在直角坐标系中，有时也把面积元素d 记作dxdy，而把二重积分记作其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素。这里我们要指出，当f（x，y）在闭区域D上连续时，（*）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数f（x，y）在D上的二重积分必定存在。二、二重积分的性质二重积分与定积分有类似的性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面。性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。性质3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。性质4 如果在D上，f（x，y）= 1，A 为D的面积，则性质5如果在D上，f（x，y） g（x，y），则有不等式性质6 设M，m分别是f（x，y）在闭区域D上的最大值和最小值，A是D的面积，则有性质7（二重积分的中值定理） 设函数f（x，y）在闭区域D上连续，A 是D的面积，则在D上至少存在一点(，)使得下式成立：=f(，)A 。章节第十章重积分2 二重积分的计算法 课时2教学目的熟练掌握二重积分的直角坐标计算方法及极坐标计算方法。教学重点及突出方法二重积分的直角坐标计算方法及极坐标计算方法。二重积分的定限，确定积分限，二重积分的直角坐标计算方法及极坐标计算方法。主要根据被积函数的表达式及积分区域的形式选取是利用直角坐标还是极坐标进行积分。画出积分区域图。教学难点及突破方法化二重积分为二次积分时应注意训练学生根据被积函数和积分区域的特点选择适当坐标系，确定积分次序，准确定出积分限，并根据二重积分的性质进行计算。计算二重积分时、应注意以下三点：1.关键是：（1）正确选择公式。正确区分X-型区域和Y-型区域、公式（1）、（2）分别只适用于X-型区域和Y-型区域；（2）正确确定积分限。要做到这两点、应画出积分区域的图形。2.若既是X-型区域又是Y-型区域、则可选择公式（1）或公式（2）进行计算。此时、选择公式的原则是根据被积函数中两个变量的难易而定。如果选择的公式不恰当、则改变二次积分的积分次序、再进行计算。3.若既不是X-型区域、又不是Y-型区域、则可将区域划分成一些小的X-型区域或Y-型区域、再利用二重积分的性质进行计算。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P205-P229大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P540-P550教学过程教学思路、主要环节、主要内容10.2 二重积分的计算法按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。一、利用直角坐标计算二重积分1、积分区域称为X-型积分区域,其中在a,b上连续,则 (1)2、若积分区域称为Y-型积分区域,其中在c,d上连续,则 （2）公式(1)右端的积分称为先对y,后对x的二次积分；公式(2)右端的积分称为先对x,后对y的二次积分。二、对称性与奇偶性法则f(x,y)分别在有界闭区域D1和D2上可积。如果下列条件之一成立：（1）若D1与D2关于y轴对称、且f(x,y)是关于x的奇（偶）函数；（2）若D1与D2关于x轴对称、且f(x,y)是关于y的奇（偶）函数；则（）三、利用极坐标计算二重积分有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r,表达比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算。将二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式为至于变量变换为极坐标后的二重积分，则可化为二次积分来进行计算。化为二次积分时，积分限是根据r,在积分区域D中的变化范围来确定的。(1)若积分区域,其中r1(), r2()在,上连续,则：(2) 若积分区域,其中r()在,上连续,则：(3) 若积分区域,其中r()在0,2上连续,则：章节第十章 重积分4重积分的应用 课时2教学目的掌握曲面的面积、平面薄片的重心及平面薄片的转动惯量的计算。教学重点及突出方法曲面的面积、平面薄片的重心的计算。教学难点及突破方法曲面的面积、平面薄片的重心的计算。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P248-P254大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P560-P573教学过程教学思路、主要环节、主要内容10.4 二重积分的应用在二重积分的应用中，由许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理。如果所要计算的某个量对于闭区域D具有可加性（就是说，当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时，相应的部分量可近似地表示为f（x，y）d的形式，其中（x，y）在d内。这个f（x，y）d称为所求量U的元素而记作dU，以它为被积表达式，在闭区域D上积分：U=一、 曲面的面积设曲面S由方程z = f（x，y）给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数f（x，y）在D上具有连续偏导数fx（x，y）和fy（x，y）。我们要计算曲面S的面积A。曲面面积的公式为：设曲面的方程为x=g（y，z）或y=h（z，x），可分别把曲面投影到yOz面上（投影区域记作Dyz）或zOx面上（投影区域记作Dzx），类似地可得二、平面薄片的重心设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度（x，y），假定（x，y）在D上连续。则该薄片的重心的坐标为： ，如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把提到积分记号外面并从分子、分母中约去，这样便得均匀薄片重心的坐标为:，其中A为闭区域D的面积。这时薄片的重心完全由闭区域D的形状所决定。我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。三、平面薄片的转动惯量设有一薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度（x，y），假定（x，y）在D上连续。现在要求该薄片对于x轴的转动惯量Ix以及对于y轴的转动惯量Iy。, 利用元素法可以计算平面薄片对质点的引力。章节第十章重积分3 三重积分课时2教学目的了解三重积分的定义和性质及三重积分的计算，了解三重积分在柱面坐标与球面坐标下的计算方法教学重点及突出方法三重积分的直角坐标的计算，用柱面、球面坐标计算三重积分，三重积分的定限教学难点及突破方法三重积分的计算，三重积分的定限，三重积分的柱面坐标与球面坐标计算方法与二重积分类似化三重积分为三次积分计算，并注意合理选择坐标系，确定积分次序，准确定出积分限。三重积分的柱面坐标与球面坐标计算所涉及到的方法。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P232-P245大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P551-P560教学过程教学思路、主要环节、主要内容10.3 三重积分的概念及计算方法一、三重积分的定义：二重积分的定义推广就可得到三重积分的定义。二、性质：与二重积分性质相同。三、三重积分的计算法1. 直角坐标系下计算三重积分（先一后二）设，则有利用直角坐标计算三重积分时，应注意以下两点：（1）应画出积分区域的图形。当积分区域为长方体、四面体等时，宜采用直角坐标计算。（2）应根据被积函数中三个变量的难易选择往某一个坐标面投影，从而正确确定积分限。2、截面法（先二后一）设，则有 ，其中Dz是过点(0,0,z)且平行xoy面的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域在xoy面上的投影。9.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分一、柱面坐标将三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式为： 至于变量变换为柱面坐标后的三重积分，则可化为三次积分来进行计算。化为三次积分时，积分限是根据r,z在积分区域中的变化范围来确定的。应用公式来计算三重积分时，应注意以下三点：（1）当积分区域的形状是柱体、锥体或由柱面、锥面、旋转抛物面与其它曲面所围成的形体时，又f(x, y, z)中含有x2+y2，可用柱面坐标法计算三重积分。（2）要将积分区域的表面曲面方程化为柱面坐标下的方程及将积分区域在xoy面上的投影区域用极坐标表示。（3）关键是正确确定积分限（画图）。二、球面坐标将三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式为至于变量变换为球面坐标后的三重积分，则可化为三次积分来进行计算。化为三次积分时，积分限是根据r,，在积分区域中的变化范围来确定的，一般先r后再的积分顺序。应用公式来计算三重积分时，应注意以下四点：（1） 当积分区域为球体或球面与锥面所围区域时，又f(x,y,z)中含有x2+y2+z2，可用球面坐标计算三重积分。（2） 要将积分区域的表面曲面方程化为球面坐标下的方程。（3） 关键是正确确定积分限（画图）。（4） 采用球面坐标计算不作投影。在三重积分的应用中与二重积分的应用类似也可采用元素法。设物体占有空间闭区域，在点（x，y，z）处的密度为（x，y，z），假定这函数在上连续，可求该物体的重心的坐标和转动惯量。三重积分的对称性与奇偶性法则设f(x,y,z)分别在空间有界闭区域1和2上可积。如果下列条件之一成立：（1）若1与2关于xoy面对称，且f(x,y,z)是关于z的奇（偶）函数；