高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程学案含解析.docx

22.1椭圆及其标准方程椭圆的定义提出问题取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段F1F2.问题2：若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？提示：不是线段，椭圆导入新知椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距化解疑难定义中的条件2a|F1F2|0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的否则：(1)当2a|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；(2)当2a|F1F2|时，其轨迹不存在.椭圆的标准方程提出问题在平面直角坐标系中，设A(4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，4)问题1：若|PA|PB|10，则点P的轨迹方程是什么？提示：轨迹方程为1.问题2：若|PC|PD|10，则点P的轨迹方程是什么？提示：1.导入新知若|F1F2|2c，|MF1|MF2|2a(ac)，则椭圆的标准方程、焦点坐标及a，b，c的关系见下表：焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系c2a2b2化解疑难1标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐标轴2标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等3a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆.椭圆标准方程的识别例1当3k9时，指出方程1表示的曲线解3k9，9k0，k30.(1)当9kk3，即3k6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)当9kk3，即k6时，方程表示圆x2y23；(3)当9kk3，即6k9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆类题通法根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上活学活用已知椭圆1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于_解析：由题意得m210m0，解得6m10.又a2m2，b210m，则c2a2b22m124，解得m8.答案：8求椭圆的标准方程例2求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)将点(5,0)代入上式解得a5，又c4，所以b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以故所求椭圆的标准方程为x21.类题通法确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解活学活用求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，)，；(2)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点解：(1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得即a24，b28，则a2b2，与题设中ab0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.椭圆的定义及其应用例3已知P为椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，F1PF260，求F1PF2的面积解在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即36|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|.由椭圆的定义得|PF1|PF2|4，即48|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|.由得|PF1|PF2|4.S|PF1|PF2|sin 60.类题通法(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2，称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解活学活用已知椭圆1(ab0)，F1，F2是它的焦点过F1的直线AB与椭圆交于A，B两点，求ABF2的周长解：|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，则ABF2的周长|AB|BF2|AF2|AF1|BF1|AF2|BF2|4a，ABF2的周长为4a.定义法是求轨迹方程的一种常用方法求解时，若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法下面利用椭圆的定义求轨迹方程1求三角形顶点的轨迹方程例已知B，C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程解以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示由|BC|8，可知点B(4,0)，C(4，0)，c4.由|AB|AC|BC|18，|BC|8，得|AB|AC|10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为1(ab0，且y0)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，但点A不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169.所以点A的轨迹方程为1(y0)类题通法利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验活学活用1若本题中“且ABC周长等于18”变为“且ABC周长等于24”，试求此时顶点A的轨迹方程解：由题可知，此时2a24816，则a8，c4，得b2a2c248，所以点A的轨迹方程为1(y0)2求动圆圆心的轨迹方程例已知动圆M过定点A(3,0)，并且内切于定圆B：(x3)2y264，求动圆圆心M的轨迹方程解设动圆M的半径为r，则|MA|r，|MB|8r，|MA|MB|8，且8|AB|6，动点M的轨迹是椭圆，设其方程为1(ab0)，且焦点分别是A(3,0)，B(3,0)，且2a8，a4，c3，b2a2c21697.所求动圆圆心M的轨迹方程是1.类题通法巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径之间的关系)，寻求到|MA|MB|8，而且8|AB|6，从而判断动点M的轨迹是椭圆活学活用2已知动圆M和定圆C1：x2(y3)264相内切，并且外切于定圆C2：x2(y3)24，求动圆圆心M的轨迹方程解：设动圆M的半径为r，圆心M(x，y)，两定圆圆心C1(0,3)，C2(0，3)，半径r18，r22.则|MC1|8r，|MC2|r2.故|MC1|MC2|(8r)(r2)10.又|C1C2|6，则动圆圆心M的轨迹是椭圆，设其方程为1(ab0)，且焦点为C1(0,3)，C2(0，3)，2a10，即a5，c3，则b2a2c225916.所以动圆圆心M的轨迹方程是1.随堂即时演练1已知椭圆1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是()A.1 B.1Cx21 D.1解析：选D由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c2，a2246，因此椭圆方程为1，故选D.2椭圆y21的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则PF1F2的面积等于()A. B. C. D4解析：选A如图所示，由定义可知，|PF1|PF2|2a4，c，又由PF1F1F2，可设点P的坐标为(，y0)，代入y21，得|y0|，即|PF1|，所以S|PF1|F1F2|.3椭圆9x216y2144的焦点坐标为_解析：椭圆的标准方程为1，a216，b29，c27，且焦点在x轴上，焦点坐标为(，0)，(，0)答案：(，0)，(，0)4已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)且a2b，则椭圆的标准方程为_解析：c2，a24b2，a2b23b2c212，b24，a216.又焦点在y轴上，标准方程为1.答案：15求适合下列条件的椭圆的方程(1)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)由题意知2c10,2a26，所以c5，a13，所以b2a2c213252144.因为焦点所在的坐标轴不确定，所以所求椭圆的标准方程为1或1.(2)椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)P(0，10)在椭圆上，a10.又P到它较近的一个焦点的距离等于2，c(10)2，故c8，b2a2c236，所求椭圆的标准方程是1.课时达标检测一、选择题1设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8 D10解析：选D根据椭圆的定义知，|PF1|PF2|2a2510，故选D.2已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6C4 D12解析：选C由于ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|BF|2，|CA|CF|2，便可求得ABC的周长为4.3命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|PB|2a(a0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分且必要条件 D既不充分又不必要条件解析：选B利用椭圆定义若P点轨迹是椭圆，则|PA|PB|2a(a0，常数)，甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2a(a0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的这是因为：仅当2a|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a|AB|时，P点无轨迹，甲不是乙的充分条件综上，甲是乙的必要不充分条件4如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A(3，)B(，2)C(，2)(3，)D(6，2)(3，)解析：选D由a2a60，得所以所以a3或6a2.5已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A.1B.1或1C.1D.1或1解析：选B由已知2c|F1F2|2，c.2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，a2.b2a2c29.故椭圆C的标准方程是1或1.二、填空题6椭圆1的焦距是2，则m的值是_解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1.m41，m5.当椭圆的焦点在y轴上时，a24，b2m，c24m1，m3.答案：3或57已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为_解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知左焦点为F(2,0)从而有解得又因为a2b2c2，所以b212，故椭圆C的标准方程为1.法二：依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，则解得b212或b23(舍去)，从而a216.所以椭圆C的标准方程为1.答案：18椭圆的两焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为_解析：如图，当点P在y轴上时PF1F2的面积最大，8b12，b3.又c4，a2b2c225.椭圆的标准方程为1.答案：1三、解答题9设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的