二模振荡及模竞争.ppt

7 2 2二模振荡及模竞争 n 只能取1或2并满足 7 2 14 当n 1时 只有1111 1122 1221 n 2时 只有2222 2112 2211 于是 7 2 17 变为 上两式可简化成 7 2 20 7 2 21 7 2 22 再简化成 第一个模和第二个模的线性净增益系数 表7 1 自饱和系数 7 2 23 7 2 24 交叉饱和系数描写一个模的存在对另一个模饱和强弱的影响 在方程 7 2 23 和方程 7 2 24 中如去掉含有 nm的项 这两个方程就类似于在单模情况下得到的方程 由于交叉饱和项的存在 一个模强度的增加将导致另一个模强度的减小 这就是模竞争效应 7 2 25 n m 1 2 双模振荡时模间的竞争 将方程式 7 2 23 两边同乘以将方程 7 2 24 两边同乘以得到如下的无量纲光强方程 7 2 26 7 2 27 在稳态下 方程为 7 2 28 7 2 29 表示两个模均不能振荡 两个模的净增益系数均为负值 解是稳定的 但没有实际意义 因为该激光器没有工作 可以获得双模光强的四组稳态解1 i1 s i2 s 0 相当于一个单模激光器 因为模式1没振荡 所以不产生模式竞争 或者初始的 1 0 可是由于第二个模的振荡使 1 1 2 12 2减小 致使 1 0 这样两个模竞争的结果使模1振荡被抑制 2 i1 s 0 i2 s 2 2 同理 单模振荡 4 3 i2 s 0 i1 s 1 1 7 2 30 7 2 31 7 2 32 c称为耦合系数 它表示两个模之间耦合的强弱 若一个模其饱和主要由系数 决定 则称之为弱耦合 若其饱和主要由系数 决定 称之为强藕合 因此双模激光器中 若c 1 属于强耦合 若c 1 为弱耦合 当c 1时为中间耦合 弱耦合模的特性与强耦合模的特性完全不同 如果两个模只有弱耦合 它们之间虽有影响 但都能振荡 如果两模之间为强耦合情况就完全不同 这时一个模的振荡强度的增加 会使另一个模的振荡强度减弱 甚至不能振荡 这就是模间竞争效应 所谓稳定性是指在稳态情况下 光强有一点扰动后 是否还能恢复到原来的稳态 这相当于力学中的平衡态的稳定性问题 下面采用扰动分析法来讨论解的稳定性为此我们考虑在稳态解附近有强度的微小起伏 即令 如果i1 i2是稳定解 则当t 时 应有 1 0 2 0 否则就不是稳定的 略去数量级为 2的项 讨论第二组稳态解得稳定性 将i1 s 0 i2 s 2 2 代入上式得 b1 由上式可见 若 1 0时 当t 时 2 0恒能满足 所以在 1 0时 解i1 s 0 i2 s 2 2是稳定的 由上式可知 若 1 0 但 1 0 则模1可以抵制模2的竞争 并建立起振荡 此时 1将不随时间的推移而趋于零 在这种情况下 i1 s 0 i2 s 2 2就是不稳定解 讨论第四组稳态解的稳定性 将 7 2 30 31 代入 b1 写成矩阵形式 式中 为稳定矩阵 b2 做线性变换使矩阵h对角化 使 b2 变为 有 如果 1 0 2 0则当t 时 分别有 1 0 2 0 因为 1 2是 1 和 2 的线性组合 所以有 1 0 2 0 也即i1 s 和i2 s 是稳定的 特征值 式中 为使 1 2b 即a2 b2得 这就是稳定性的判据 7 2 33 2 c 1 1 0 2 0 不满足 即有稳态解 但不稳定 要产生强烈的竞争 结果必定出现模抑制 强耦合 用条件 来判断第四组稳态解的稳定性 7 2 30 i1 s 和i2 s 有正解只有两种可能 1 c0 2 0 因此两个模都可能建立稳定振荡 弱耦合 c 1时 12 21 1 2 方程 7 2 28 和 7 2 29 表示在以i1 i2为坐标轴的平面上是互相平行的两条直线 在这些线上任意点所表示的强度组合都是稳定的 中性耦合 稳态解为 表7 2双模方程稳定解的条件 中性耦合 弱耦合 c 1强耦合 c 0 无耦合 7 2 3三模振荡与模式锁定 在三个模式振荡时 振幅方程 7 2 17 和频率方程 7 2 18 为 符合条件式 7 2 14 的 当n 1时 只有6项 111 122 133 221 232 331 其中 除 1232 0外 其他组合位相的 1 均为零 当n 2时 有7项 其中 2123 2321 0 当n 3时 有6项 其中 3212 0 27项 7 2 34 7 2 35 从上式可见 这些非零的组合项并不是无关的 它们可以用一个变量 来表示 7 2 9 因此方程式 7 2 34 和式 7 2 35 的右边第二项可以分成组合位相等于零的项和组合位相不等于零的项 于是得到 7 2 36 7 2 43 式中 7 2 37 7 2 38 7 2 39 7 2 40 7 2 41 7 2 42 为频率自推斥 n m 和交叉牵引或推斥系数 由于 11 1 所以上式可以具体地写成 可见 右边第一项 1是频率为 1振荡模的线性净增益 第二项是自饱和项 12和 13为互饱和项 最后一项为 1 2 3三个模之间的相互作用引起的饱和效应 通常称它为组合调效应 7 2 36 式 7 2 39 每一项的物理含意是 右边第二项 1为频率牵引项第三项由三项组成 11 1为自推斥项 12和 13是由于互饱和效应引起的频率牵引或推斥效应 第四项为组合调效应引起的频率推斥 7 2 39 组合位相 可随时间缓慢地变化 按式 7 2 36 7 2 41 各个纵模的振幅和频率达到稳定的数值后还会以频率波动 7 2 43 即基本上以相邻纵模差频 2 1 和 3 2 的差拍频率波动这样运行的多纵模激光器各纵模间的频率和位相没有确定的关系 7 2 44 作为各个纵模的叠加 合成瞬时光强随时间作无规的波动 如图所示 在这种情况下 接收器测量到的光强 它是在接收器响应时间之内的平均值 为各纵模强度的简单求和 即非相干叠加 如果纵模数为n 且各纵模强度相等 即en e0 则总强度为 如果采取某种措施 使振荡着的n个纵模互相关联 就是说 设频率等间隔分布 并有固定的相邻纵模位相差 即对所有的n都有 各纵模的相干叠加 瞬时光强形成了周期性脉冲序列 如图 脉冲的峰值光强比自由振荡的总强度提高了n倍 即 并且脉冲宽度变窄 因此稳定振荡的多模激光器当各纵模频率成等间隔分布并有固定位相关系时 将形成时域中的等间隔的脉冲序列 输出这种现象称为锁模 发生锁模的条件可归纳为 7 2 45 实现锁模条件 将式 7 2 39 7 2 41 代入式 7 2 44 并考虑到 可得 7 2 46 式中 a b 7 2 50 于是锁模条件可表示为 可见实现锁模必须满足条件 7 2 51 7 2 52 三模自锁 当将模式e2调谐到谱线中心的频率时 e1和e3模对称分布在中心两侧 因而e1 e3 2 1 3 2由表7 1可以看出这时 2 0 2 0 1 3 1 3 由 7 2 19 和 7 2 42 知 21 23 可以得出 两种自锁状态 对于其中两个模 如e1和e2 的相位 1和 1 适当选择初始位相 使得 于是激光场随时间的变化可表示为 上式即表示锁模脉冲 其周期为 7 2 54 7 2 55 对于第一种自锁状态 有 这样三个模叠加也能得到周期性脉冲 如图的虚线曲线 对于第二种自锁状态 有 7 2 56 后者峰值较前者为低 原因是前者是三个模同位相叠加 而后者并不完全同位相 三模干涉叠加的脉冲波形 总的说来 若e2模愈是调谐在靠近谱线的中心频率 多纵模的强度愈大 非线性效应愈强 则愈容易锁模 利用激活介质自身的非线性达到自锁 最初在he ne