（试题 试卷 真题）专题四 分类讨论思想方法

专题四 分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a0、a0、a2时分a0、a0和a0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。例题例1已知集合A和集合B各含有12个元素，AB含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： . CAB且C中含有3个元素； . CA 。【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：属于A 元素；不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】 CCCCCC1084另一种解题思路是直接使用“排除法”，即CC1084。例2. 设0x0且a1，比较|log(1x)|与|log(1x)|的大小。【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。【解】 0x1 01x1 当0a0，log(1x)0; 当a1时，log(1x)0，所以|log(1x)|log(1x)|log(1x) log(1x)log(1x)0；由、可知，|log(1x)|log(1x)|。例3. 设a是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 . 证明： 0，使得lg（Sc）成立？并证明结论。【解】 设a的公比q，则a0，q0 当q1时，Sna，从而SSSna(n2)a(n1)aa0； 当q1时，S，从而SSSaq0；由上可得SSS，所以lg(SS)lg(S)，即lgS。. 要使lg（Sc）成立，则必有(Sc)(Sc)(Sc),分两种情况讨论如下：当q1时，Sna，则(Sc)(Sc)(Sc)(nac)(n2)ac(n1)aca0当q1时，S，则(Sc)(Sc)(Sc)c ccaqac(1q) aq0 ac(1q)0即c而ScS0, 使得lg（Sc）成立。例4. 设函数f(x)ax2x2，对于满足1x0，求实数a的取值范围。 1 4 x 1 4 x【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。【解】当a0时，f(x)a（x）2 或或 a1或a；当a 。例5. 解不等式0 (a为常数，a)【解】 2a10时，a； 4a0 。 所以分以下四种情况讨论：当a0时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；当a0时，x0，解得：x0；当a0，解得: x4a；当a时，(x4a)(x6a)0，解得： 6ax0时，x6a；当a0时，x0；当a0时，x4a；当a时，6ax4a 。巩固练习1集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR，若AB，那么a的范围是( )。A. 0a1 B. a1 C. a1 D. 0a0且a1，plog(aa1)，qlog(aa1)，则p、q的大小关系是( )。A. pq B. pq D.当a1时，pq；当0a1时，p0、a0、a1、0a0、x0两种