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解析几何复习建议 棠湖中学数学组 张勇一、近五年高考解析几何试题分析解析几何是高中数学的主干知识之一, 其特点是用代数的方法研究、解决几何问题, 重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题. 其命题一般紧扣课本, 全面考查、突出重点主干知识、注重知识交汇处 、强化思想方法、突出创新意识.，在高考中占有较大比重.我统计了2010-2012年全国高考解析几何试题( 以理科为例) 共57份试卷，考查的知识点及分值具体情况分布如下:省份课标全国卷山东广东江苏天津浙江辽宁福建安徽试卷题号12（双曲线）15（圆）20（椭圆）16（圆）21（双曲线，椭圆）12（圆）20（双曲线）6（双曲线）9（圆）18（椭圆）5 （双曲线）13 （圆）20（椭圆）8（双曲线）13（抛物线）21（椭圆）7（抛物线）9（双曲线）20（椭圆）2（抛物线）7（双曲线）17（椭圆）5（双曲线）7（圆）19（椭圆）考查分值211619262124222323北京湖南陕西大纲全国1大纲全国2重庆湖北江西四川上海5（极坐标）13（双曲线，椭圆）19（椭圆）3（极坐标，参数方程）14（抛物线）19（椭圆）8 （抛物线）20（椭圆）9（双曲线）11（圆）16（椭圆）21（抛物线）12（椭圆）15（抛物线）21（双曲线）8（圆）10（椭圆）14 （抛物线）202（椭圆）9（圆）19（抛物线）8（圆）15 （双曲线）21（椭圆）9（椭圆）14（圆）20（双曲线）3（抛物线）5（圆）13（双曲线）16（参数方程）23（椭圆）242318272227222121352010年：椭圆：选择、填空题6次，解答题13次 最低16分，最高35分双曲线：选择、填空题11次，解答题3次抛物线：选择、填空题7次，解答题2次圆：选择、填空题12次省份课标全国卷山东广东江苏天津浙江辽宁福建安徽试卷题号7（双曲线）14（椭圆）20（抛物线）8（双曲线）22（椭圆）14（参数方程）19（椭圆）14（圆）18（椭圆）11（抛物线）18（椭圆）8（椭圆，双曲线）17（椭圆21（抛物线）3（抛物线）13（双曲线）20（椭圆）7（圆锥曲线）17（圆，抛物线）5（极坐标）15（直线）21（抛物线）考查分值221919181722221823北京湖南陕西大纲全国1大纲全国2重庆湖北江西四川上海3（极坐标）14（双曲线）19（椭圆）5（双曲线）9（参数方程，极坐标）21（椭圆）2（抛物线）15（参数方程，极坐标）17（椭圆）10（抛物线）15（双曲线）21（椭圆）8（圆）15（抛物线）20（椭圆）4（抛物线）14（椭圆）20（椭圆）9（圆）14（椭圆）20（双曲线）10（圆，抛物线）14（双曲线）21（椭圆）3（双曲线）5（极坐标）232223222222222221262011年椭圆：选择、填空题5次，解答题12次 最低17分，最高26分双曲线：选择、填空题9次，解答题2次抛物线：选择、填空题7次，解答题4次圆：选择、填空题5次省份课标全国卷山东广东江苏天津浙江辽宁福建安徽试卷题号4（椭圆）8（双曲线）20（抛物线）10（椭圆）21（抛物线）14（参数方程）20（椭圆）8（双曲线）10（圆）19（椭圆）8（圆）12（抛物线）19（椭圆）8（双曲线）16（圆）21（椭圆）15（抛物线）20（椭圆）8（双曲线）19（椭圆）9（抛物线）13（圆）20（椭圆）考查分值211617262424171723北京湖南陕西大纲全国1大纲全国2重庆湖北江西四川上海12（抛物线）19（椭圆）5（双曲线）9（参数方程）21（椭圆）4（圆）13（抛物线）19（椭圆）3（椭圆）8（双曲线）21（抛物线）3（圆）10（圆）14（抛物线）20（椭圆）14（双曲线）16（参数方程）21（椭圆）13（椭圆）15（极坐标）20（抛物线）8（抛物线）15（椭圆）21（双曲线）10（极坐标）22（双曲线）1922222226232321202012年椭圆：选择、填空题5次，解答题12次 最低17分，最高26分双曲线：选择、填空题7次，解答题2次抛物线：选择、填空题5次，解答题4次圆：选择、填空题7次我们从表可见，虽然解析几何部分的平均分值仅占总分的15%，但涉及的知识点分布广，覆盖全面，具有这样一些特点：（1）题型与分值：解析几何部分所占分数稳定在22分27分，一般为2- 3 道客观题和一道解答题，解答题为各省区必考（2）难度：总体来说，新课标的解析几何考查的内容删减较多，但高考难度却变化不大。学生得分不高。属于难题（3）客观题特点： 主要考查内容为直线与圆的位置关系（这部分内容主要考查直线与圆的相关概念,如倾斜角与斜率、距离公式、直线方程、对称问题、直线与圆位置关系判定等, 其中直线与圆的位置关系是这部分高考的重点和热点, 涉及利用三种位置关系求参数的取值范围、轨迹、切线长、弦长, 弦的中点、夹角等）, 线性规划, 圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质, 极坐标与参数方程等, 注重考查基础知识、基本方法，多数题目为中档和简单题，文理区别不大，也有少数题目设置为选择或填空题的压轴位置，如（2010年全国卷12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（A）1 （B） （C） （D）2（2011年安徽15）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）.存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果与都是无理数，则直线不经过任何整点直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数存在恰经过一个整点的直线（2011年重庆15）设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则椭圆半径能取到的最大值为_( 4) 主观题特点： 解答题一般设置成2 -3问,第一问一般为求轨迹（如2010年广东卷，2012年四川卷）、圆锥曲线的离心率或标准方程; 第二问主要考查直线与圆锥曲线的位置关系这一热点内容, 通常设问的内容有：弦长公式（2010年辽宁理20）参数取值范围范围（如2010年浙江理21）最值问题（如2009年浙江文，2011年广东理19）定值定点问题（如2009年辽宁理20）存在性问题（2010年福建17）直线与圆锥曲线的位置关系（2011年全国21）等，综合性强，对计算能力要求特别高，同时对分析能力及平面几何知识有较高要求，并且易与向量（如2010年上海文）数列，（如2010年新课标全国卷）导数（如2012年浙江21）等形成交汇，整体难度大，也有少数省区作为压轴题出现（2011年山东理，2010年山东文，2010年浙江文），文理的难度有所区别（2011年山东22）已知直线l与椭圆C: 交于P.Q两不同点，且OPQ的面积,其中Q为坐标原点。（）证明和均为定值（）设线段PQ的中点为M，求的最大值；（）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得SODE=SODG=SOEG若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由。（2012年浙江21）如图，椭圆：的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分（）求椭圆的方程；（）求面积取最大值时直线的方程（2012年山东21）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为。（）求抛物线C的方程；（）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（）若点M的横坐标为，直线与抛物线C有两个不同的交点A，B，与圆Q有两个不同的交点D，E，求当k2时，的最小值。二、复习建议1、注重教材的地位和作用纵观近两年的全国各地高考解析几何试卷，基本上继承和发扬题型、内容、难度相对稳定，突出考查数学主干知识，注重通性、通法和适度创新的特点。命题日趋成熟，多数题目源于教材又高于教材。如：教材（人教A版版必修2第125页练习第2题）：判断直线与圆的位置关系根据该题改编的高考题有：（2006年安徽卷）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.（2006年湖北卷）若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是 .（2010江西理数8）直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是A. B. C. D. （2010重庆文数8）若直线与曲线（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为（A） （B）（C） （D）（2010重庆理数8）直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为A. B. C. D. （2010湖北文数9）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是A.,B.,3C.-1,D.,3（选修2-1第47页例7）已知椭圆，直线，椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？（广东理）点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线L:x=的距离的比是常数。且直线L为4x-5y+40=0，设点M的运动轨迹为C。求：（1）轨迹为C的方程；（2）轨迹为C上是否存在一点，它到直线L的距离最小？最小距离是多小？（选修2-1第41页）例3：设点的坐标分别为，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程（选修2-1第55页）探究：设点的坐标分别为，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程（2011年湖北理20）平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.（）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；（2012四川理21）如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为.（）求轨迹的方程；（成都2012届零诊数学理22）根据近几年的高考解析试题的命题趋势，根植教材，变式提高，灵活应用是高三复习的根本所在，以课本为主，按课本顺序，以基本知识、基本方法、基本技能为主，顺次复习，引导学生多层次、多角度、立体化地处理教材，促使学生以科学、严谨、变通的态度去认识教材、应用教材。2、注重对基本知识，基本技能的落实对基础知识、基本技能的考查，仍然是新课标高考的重点，基础题仍然是试题的主要构成，是学生得分的主要来源。复习过程中应让学生对解析几何三部分内容有一个清晰的架构，明确每一部分有哪些考点，高考怎样出题，积累常用模型，熟练通用方法，注意模型和方法中容易出错的细节。落实基本技能的训练，如考查直线与圆锥曲线的综合问题，一般都要经历联立方程、消元、求判别式确定参数范围、韦达定理写出两根之和、之积，代入直线或抛物线方程求另一坐标之和、之积等过程，我们可以在课堂、作业、考试、课外辅导中对学生进行落实.对学生常见错误进行总结，提高学生基本运算能力和得分能力。 3、注重对数学思想方法提炼数学思想方法的考查分为三个层面：“配方法、换元法、代入法、消元法、待定系数法”等具体方法的考查；“分析法、综合法、类比法、归纳法、演绎法、反证法”等一般逻辑方法的考查；“函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想”等数学思想的考查。新课标高考讲究能力立意，对数学思想方法的考查贯穿整套试卷，无论是基础题还是综合题。所以在复习备考过程中，应当将数学思想方法的渗透和提炼贯穿始终。4、注重对学生进行算法、算理的引导学生普遍对解析几何具有畏惧心理，感到解析几何难，一是难于没方法，二是难于选出好的方法，三是难于计算. 普遍的问题是“不择手段”盲目地做，方法选择得不合理，导致计算繁琐，再由于计算不合理导致算不出或算错。这一方面是因为学生基本运算训练没有落实；另一方面是学生对算法、算理的理解和储备不够。新课标虽然不提倡繁杂的计算，但运算能力、算法算理的考查也是考查目标之一，所以在复习备考过程中，我们应当对学生进行算法算理的引导.复习中，要提倡“多想一点，少算一点”，有了方法以后要能够“预想几步结果”，避免解题的盲目性和过分的模式化比如：（湖南师大附中2011届高三第四次月考）已知双曲线C的中心在原点，焦点在X轴上，焦距为，点到双曲线C的一条渐近线的距离为(1)求双曲线的方程（2）设过点P的直线L与双曲线交于A,B两点，若（O为坐标原点），求面积的最小值 本题第（2）问求面积的最小值是函数思想在解析几何中的体现，学生在用表示的面积时，往往先用弦长公式求出AB，再用点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，使计算量加大，增大了难度，实际上，若将的面积表示成，计算量就会小很多又比如（2010四川卷20）已知定点，定直线，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的2倍.设点的轨迹为，过点的直线交于两点，直线分别交于点（）求的方程；（）试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由.为了线段为直径的圆是否过点，不少同学去求该圆的方程，再将点F的坐标代入验证，显然就加大了计算的难度.而这些，并不是单纯的由于计算能力差，更多的是不明确该怎么算。5、加强对解题的研究，注重对通性通法的提炼高考试题是备考的重要资源，通过研究高考命题的考点分布、试题结构、命题背景等，能加强备考的针对性，和模拟训练的有效性。每年全国各地也有很多优秀的诊断，模拟试题，对这些试题的研究也有助于提高针对性，如四川2012年第21题与2012届成都零诊第22题几乎完全相同。三、近年高考热点及命题趋势1、选择、填空题多考察直线方程，圆的标准方程，直线与圆的位置关系，弦长，圆锥曲线标准方程，渐近线，离心率等基本量的计算，如：(山东省济南市2012年2月高三定时练习文科)已知圆的圆心是双曲线的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为( B )ABCD(山东省济南市2012年2月高三定时练习理科)已知点、分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ D ）A B C（1，2）D(山东省实验中学2012年3月高三第四次诊断文科)已知抛物线的准线与圆相切，则的值为( C )A. B.1 C.2 D.42、解析几何与函数、导数、向量等(尤其是向量)有机结合向量具有几何和代数的“双重身份”，平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，使向量的有关运算与解析几何的坐标运算联系起来，可以用向量及有关的运算工具研究解决几何问题，为解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇点处设计试题提供了良好的素材，此类试题已成为近几年数学高考的热点，如：（2010全国卷2文数12）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =（A）1 （B） （C） （D）2（2010福建文数11）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为A2 B3 C6 D8（2010福建理数7）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )A B C D（2012年江西20）已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足.（1） 求曲线C的方程；（2）动点Q（x0，y0）（-2x02）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为L，问：是否存在定点P（0，t）（t0），使得L与PA，PB都相交，交点分别为D,E，且QAB与PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。平面向量与解析几何知识的综合，是比较自然的。对于向量内容的考查，仍然侧重于向量的基本运算和基本定理的应用。因此，在指导学生复习时，要求学生在熟练掌握基础知识及基本运算的基础上，做到“点到为止”，不适宜于在向量内容方面进行过度加深。3、探究性问题在新、旧课标高考解几综合题中都备受命题者青睐探究性问题是高考根据测试能力的要求，常常出现的一类高考综合试题题型。因为存在性问题体现理性思维的特征，所以在解析几何综合题中更多的是以探索存在与否的问题体现出来。存在性问题的表现形式一般有：肯定型、否定型和讨论型。解决存在性的探索型问题，较少存在现成的思路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合运用，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括各方面的能力有较高的要求。（2012年山东理21）“是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由”（2012年福建19）“试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过定点M？”（2012年江西理20）“是否存在定点，使得与PA,PB都相交，交点分别为D,E,且与的面积之比是常数？若存在，求的值，若不存在，说明理由（2012湖北理21）“是否存在，使得对任意的，都有若存在，求的值，若不存在，说明理由“ (山东省烟台市2012年高三诊断性检测理) 直线与椭圆交于，两点，已知，若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；（3）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.（山东省济南一中2012届高三上学期期末文科）已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是（1）求椭圆E的方程；（2）过点C（1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。由于探究性问题能够全面考查学生对数学知识的掌握程度，能够深入考查学生各种数学能力，所以2013年高考试题命题时仍然会被命题者较普通地采用。建议在复习这部分内容时，结合平面解析几何内容的特点（如圆锥曲线的定义、方程、简单而重要的性质，圆的方程及直线与圆、圆与圆位置关系的讨论等），注重对学生综合分析和解决问题的能力的培养，同时也不可忽视解题的规范性要求。4、最值