二次函数知识点总结及典型例题

1 浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题 知识点一 二次函数的概念和图像知识点一 二次函数的概念和图像 1 二次函数的概念 一般地 如果 特别注意特别注意 a a 不为零不为零 那么 y 叫做 x 的二次函数 0 2 acbacbxaxy是常数 叫做二次函数的一般式 0 2 acbacbxaxy是常数 2 二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于对称的曲线 这条曲线叫抛物线 a b x 2 抛物线的主要特征 有开口方向 有对称轴 有顶点 3 二次函数图像的画法 五点作图法五点作图法 1 先根据函数解析式 求出顶点坐标 在平面直角坐标系中描出顶点 M 并用虚线画出对称轴 2 求抛物线与坐标轴的交点 cbxaxy 2 当抛物线与 x 轴有两个交点时 描出这两个交点 A B 及抛物线与 y 轴的交点 C 再找到点 C 的对称点 D 将这五 个点按从左到右的顺序连接起来 并向上或向下延伸 就得到二次函数的图像 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时 描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D 由 C M D 三点可粗略三点可粗略地 画出二次函数的草图 如果需要画出比较精确的图像 可再描出一对对称点 A B 然后顺次连接五点 画出二次函 数的图像 例例 1 1 已知函数 y x2 2x 3 1 写出函数图象的顶点 图象与坐标轴的交点 以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点 然后画出函数 图象的草图 2 求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积 3 根据第 1 题的图象草图 说 出 x 取哪些值时 y 0 y0 知识点二 二次函数的解析式知识点二 二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式 口诀 一般一般 两根两根 三顶点三顶点 1 一般一般 一般式 0 2 acbacbxaxy是常数 2 两根两根 当抛物线与 x 轴有交点时 即对应的一元二次方程有实根cbxaxy 2 0 2 cbxax 和存在时 根据二次三项式的分解因式 二次函数可转化为 1 x 2 x 21 2 xxxxacbxax cbxaxy 2 两根式 如果没有交点 则不能这样表示 21 xxxxay a a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 的绝对值越大 抛物线的开口越小 3 三顶点三顶点 顶点式 当题目中告诉我们抛物线的顶点时 我 0 2 akhakhxay是常数 们最好设顶点式 这样最简洁 2 例例 1 1 抛物线与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 且过 1 16 求抛物线的解析式 cbxaxy 2 例例 2 2 如图 抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点 2 0 和 1 0 之间 包括这两点 顶点cbxaxy 2 C 是矩形 DEFG 上 包括边界和内部 的一个动点 则 1 abc 0 或 或 2 a 的取值范围是 例例 3 3 下列二次函数中 图象以直线x 2 为对称轴 且经过点 0 1 的是 A y x 2 2 1 B y x 2 2 1 C y x 2 2 3 D y x 2 2 3 知识点三 二次函数的最值知识点三 二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数 那么函数在顶点处取得最大值 或最小值 即当时 a b x 2 a bac y 4 4 2 最值 如果自变量的取值范围是 那么 首先要看是否在自变量取值范围内 若在此范围内 21 xxx a b 2 21 xxx 则当 x 时 若不在此范围内 则需要考虑函数在范围内的增减性 如果在此范 a b 2 a bac y 4 4 2 最值21 xxx 围内 y 随 x 的增大而增大 则当时 当时 如果在此 2 xx cbxaxy 2 2 2最大1 xx cbxaxy 1 2 1最小 范围内 y 随 x 的增大而减小 则当时 当时 1 xx cbxaxy 1 2 1最大2 xx cbxaxy 2 2 2最小 例例 1 已知二次函数的图像 0 x 3 如图所示 关于该函数在所给自变量取值范围内 下列说法正确的是 A 有最小值 0 有最大值 3B 有最小值 1 有最大值 0 C 有最小值 1 有最大值 3D 有最小值 1 无最大值 例例 2 某宾馆有 50 个房间供游客住宿 当每个房间的房价为每天 l80 元时 房间会全部住满 当每个房间每天的房价每增加 10 元时 就会有一个房间空闲 宾馆需对游客居住的每个房间每 天支出 20 元的各种费用 根据规定 每个房间每天的房价不得高于 340 元 设每个房间的房价每天增加 x 元 x 为 10 的正整数倍 1 设一天订住的房间数为 y 直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围 2 设宾馆一天的利润为 w 元 求 w 与 x 的函数关系式 3 一天订住多少个房间时 宾馆的利润最大 最大利润是多少元 O O 1 O xO y 1 3 23 3 知识点四 二次函数的性质知识点四 二次函数的性质 1 二次函数的性质 函数 二次函数 0 2 acbacbxaxy是常数 a 0a0 时 抛物线开口向上aa 0 时 图像与 x 轴有两个交点 4 当 0 时 图像与 x 轴有一个交点 当0 时y值随x值增大而减小的是 A y x2 B y x C y xD y 3 4 1 x 例例 6 若二次函数 2 1yxm 当x l 时 y随x的增大而减小 则m的取值范围是 A m l B m l C m l D m l 知识点五 二次函数图象的平移知识点五 二次函数图象的平移 对于抛物线对于抛物线 y ax2 bx c 的平移的平移 通常先将一般式转化成顶点式 再遵循左加右减左加右减 上加下减上加下减的的原则 2 ya xhk 化为顶点式有两种方法 配方法 顶点坐标公式法 在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后 在写顶点式时 要减 去顶点的横坐标 加上顶点的纵坐标 沿轴平移 向上 下 平移 m 0 个单位 变成cbxaxy 2 ymcbxaxy 2 或 mcbxaxy 2 mcbxaxy 2 当然 对于抛物线的一般式平移时 也可以不把它化为顶点式 向左 右 平移 m 0 个单位 变成cbxaxy 2 mcbxaxy 2 或 cmxbmxay 2 cmxbmxay 2 例例 1 将抛物线 2 yx 向左平移 2 个单位后 得到的抛物线的解析式是 A 2 2 yx B 2 2yx C 2 2 yx D 2 2yx 例例 2 将抛物线 y x2 2x 向上平移 3 个单位 再向右平移 4 个单位等到的抛物线是 例例 3 抛物线 2 yx 可以由抛物线 2 23yx 平移得到 则下列平移过程正确的是 A 先向左平移 2 个单位 再向上平移 3 个单位 B 先向左平移 2 个单位 再向下平移 3 个单位 C 先向右平移 2 个单位 再向下平移 3 个单位 D 先向右平移 2 个单位 再向上平移 3 个单位 5 补 抛物线 y 2x2 3x 7 在 x 轴上截得的线段的长度为 公式 抛物线 y ax2 bx c 在 x 轴上截得的线段的长度为 知识点六 抛物线知识点六 抛物线中 中 a b c 的作用的作用cbxaxy 2 1 决定开口方向及开口大小 这与中的完全一样 a 2 axy a 2 和共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线的对称轴是直线 故 时 bacbxaxy 2 a b x 2 0 b 对称轴为轴 即 同号 时 对称轴在轴左侧 即 异号 时 对称轴在轴y0 a b aby0 a b aby 右侧 口诀口诀 左同 右异左同 右异 a a b b 同号 对称轴在同号 对称轴在 y y 轴左侧 轴左侧 3 的大小决定抛物线与轴交点的位置 ccbxaxy 2 y 当时 抛物线与轴有且只有一个交点 0 0 xcy cbxaxy 2 yc 抛物线经过原点 与轴交于正半轴 与轴交于负半轴 0 c0 cy0 cy 以上三点中 当结论和条件互换时 仍成立 如抛物线的对称轴在轴右侧 则 y0 a b 例例 1 1 如图为抛物线 2 yaxbxc 的图像 A B C 为抛物线与坐标轴的交点 且OA OC 1 则下列关系中正 确的是 A a b 1 B a b 1 C b 2a D ac0 B b 0 C c 0 D a b c 0 例例 3 3 如图所示的二次函数 2 yaxbxc 的图象中 刘星同学观察得出了下面四条信息 1 2 40bac 2 c 1 3 2a b 0 4 a b c 0 你认为其中错误的有 A 2 个B 3 个C 4 个 D 1 个 例例 4 4 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象与 y 轴正半轴相交 其顶点坐标为 1 1 2 下列结论 ac 0 a b 0 4ac b2 4a a b c 0 其中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 例例 5 5 如图 是二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象的一部分 给出下列命题 a b c 0 b 2a ax2 bx c 0 的两根分别为 3 和 1 a 2b c 0 其中正确的命题是 只 要求填写正确命题的序号 6 例例 6 6 如图 平面直角坐标系中 两条抛物线有相同的 对称轴 则下列关系正确的是 A m n k h B m n k h C m n k h D m n k h 知识点七 中考二次函数压轴题中常用到的公式 浙教版教材上没讲过 但是非常有用 一定要理解性地记忆 知识点七 中考二次函数压轴题中常用到的公式 浙教版教材上没讲过 但是非常有用 一定要理解性地记忆 1 两点间距离公式 如图 点 A 坐标为 x1 y1 点 B 坐标为 x2 y2 则 AB 间的距离 即线段 AB 的长度为 这实际上是根据勾股定理勾股定理得出来的 2 21 2 21 yyxx 2 中点坐标公式 如图 在平面直角坐标系中 A B两点的坐标分别为 11 A xy 22 B xy AB 中点P的坐标为 pp xy 由 12pp xxxx 得 12 2 p xx x 同理 12 2 p yy y 所以 AB 的中点坐标为 1212 22 xxyy 3 两平行直线的解析式分别为 y k1x b1 y k2x b2 那么 k1 k2 也就是说当我们知道一条直线的 k 值 就一定能知 道与它平行的另一条直线的 k 值 4 两垂直直线的解析式分别为 y k1x b1 y k2x b2 那么 k1 k2 1 也就是说当我们知道一条直线的 k 值 就一定 能知道与它垂直的另一条直线的 k 值 对于这一条 只要能灵活运用就行 不需要理解不需要理解 以上四条 我称它们为坐标系中的 四大金刚四大金刚 例例 1 1 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 点 D 是该抛物 线的顶点 1 求直线 AC 的解析式及 B D 两点的坐标 2 点 P 是 x 轴上一个动点 过 P 作直线 l AC 交抛物线于点 Q 试探究 随着 P 点的运动 在抛物线上是否存在点 Q 使以点 A P Q C 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请直接写出符合条件的点 Q 的坐标 若不存在 请 说明理由 3 请在直线 AC 上找一点 M 使 BDM 的周长最小 求出 M 点的坐标 例例 2 2 如图 已知抛物线 y x2 bx c 与一直线相交于 A 1 0 C 2 3 两点 与 y 轴交于点 N 其顶点为 D 1 求抛物线及直线 AC 的函数关系式 2 设点 M 3 m 求使 MN MD 的值最小时 m 的值 3 若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B E 为直线 AC 上的任意一点 过点 E 作 EF BD 交抛物线于点 F 以 B D E F 为顶点的四边形能否为平行四边形 若能 求点 E 的坐标 若不能 请说明理由 4 若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点 求 APC 的面积的最大值 1 x p x 2 x 12 xx 12 yy 1 y 2 y P y A P B O y x 7 A D C EB O A D C EB O A D C EB O 例例 3 3 如图 抛物线与 x 轴交于 A B 两点 点 B 在点 A 的右边 与 y 轴交于 C 连接 BC 以4 2 3 4 1 2 xxy BC 为一边 点 O 为对称中心作菱形 BDEC 点 P 是 x 轴上的一个动点 设点 P 的坐标为 m 0 过 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q 1 求点 A B C 的坐标 2 当点 P 在线段 OB 上运动时 直线 l 分别交 BD BC 于点 M N 试探究 m 为何值时 四边形 CQMD 是平行四边形 此时 请判断四边形 CQBM 的形状 并说明理由 3 当点 P 在线段 EB 上运动时 是否存在点 Q 使 BDQ 为直角三角形 若存在 请直接写出 Q 点坐标 若不存在 请说明理由 练练 习习 1 1 平时我们在跳大绳时 绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线 如图所示 正在甩绳的甲 乙两名学生拿绳的 手间距为 4 m 距地面均为 1m 学生丙 丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m 2 5 m 处 绳子在甩到最高处时刚 好通过他们的头顶 已知学生丙的身高是 1 5 m 则学生丁的身高为 建立的平面直角坐标系如右图所示 A 1 5 m B 1 625 m C 1 66 m D 1 67 m 2 已知函数 则使 y k 成立的 x 值恰好有三个 则 k 的值为 2 2 113 513 xx y xx A 0B 1C 2D 3 3 二次函数的图象如图所示 则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图 2 yaxbxc a y x ybxc 8 象是 4 如图 已知二次函数 的图象经cbxxy 2 过点 1 0 1 2 当随的增大而增大时 的取值yxx 范围是 5 在平面直角坐标系中 将抛物线绕着它与 y 轴的交点旋转 180 所得抛物线的解析式是 2 23yxx A B C D 2 1 2yx 2 1 4yx 2 1 2yx 2 1 4yx 6 已知二次函数的图像如图 其对称轴 给出下列结果 cbxaxy 2 1 xacb4 2 0 abc 则正确的结论是 02 ba0 cba0 cba A B C D 7 抛物线上部分点的横坐标 纵坐标的对应值如上表 从上表可知 下列说法中正确的是 2 yaxbxc xy 填写序号 抛物线与轴的一个交点为 3 0 函数的最大值为 6 x 2 yaxbxc 抛物线的对称轴是 在对称轴左侧 随增大而增大 1 2 x yx 8 如图 在平面直角坐标系中 O 是坐标原点 点 A 的坐标是 2 4 过点 A 作 AB y 轴 垂足为 B 连结 OA 1 求 OAB 的面积 2 若抛物线经过点 A 2 2yxxc 求 c 的值 将抛物线向下平移 m 个单位 使平移后得到的抛物线顶点落在 OAB 的内部 不包括 OAB 的边界 求 m 的取值范围 直接写出答案即可 x 2 1012 y 04664 x y O 1 1 1 2 cbxxy 2 1 9 9 9 已知函数的图象经过点 A c 2 这个二次函数图象的对称轴是 x 3 cbxxy 2 2 1 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字 1 根据已知和结论中现有的信息 你能否求出题中的二次函数解析式 若能 请写出求解过程 并画出二次 函数图象 若不能 请说明理由 10 如