数学人教版九年级上册二次函数最值的应用.doc

二次函数最值问题的教学设计一、教材分析本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质后，对二次函数性质的应用课。主要内容包括：运用二次函数的最大值解决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点（最低点），因此，可利用顶点坐标求实际问题中的最大值（或最小值）.在最大利润这个问题中，应用顶点坐标求最大利润，是较难的实际问题。本节课的设计是从生活实例入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：1、知识与技能通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。2、过程与方法通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化及分类的数学思想方法。3、情感态度价值观（1）通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。（2）在知识教学中体会数学知识的应用价值。本节课的教学重点是 “探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法”，教学难点是“如何将实际问题转化为二次函数的问题”。二、学情分析在解决函数的实际问题时，要善于从实际问题的情境中抽象出数学模型，使实际问题转化为数学问题。通过数学方法解决问题。学生刚刚学习了“二次函数的概念、图象及性质”，因此，只要教师能为学生搭建一个有梯次的研究型学习的平台，学生完全有可能由对具体事例的自主分析，建立数学模型，如再经教师巧妙引领，势必会激发学生对学习的兴趣，从而体会学习的快乐。三、实验研究：作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材。充分发挥教师自己的智慧，把学生置于教学的出发点和核心地位，应学生而动，应情境而变，课堂才能焕发勃勃生机，课堂上才能显现真正的活力。因此我对教材进行了重新开发，从学生熟悉的生活情境出发，与学生生活背景有密切相关的学习素材来构建学生学习的内容体系。把握好以下两方面内容：（一）、利用二次函数解决实际问题的易错点：题意不清，信息处理不当。选用哪种函数模型解题，判断不清。忽视取值范围的确定，忽视图象的正确画法。将实际问题转化为数学问题，对学生要求较高，一般学生不易达到。（二）、解决问题的突破点：反复读题，理解清楚题意，对模糊的信息要反复比较。加强对实际问题的分析，加强对几何关系的探求，提高自己的分析能力。注意实际问题对自变量 取值范围的影响，进而对函数图象的影响。注意检验，养成良好的解题习惯。因此我由课本的一个问题转化为两个实际问题入手通过创设情境，层层设问，启发学生自主学习。四、教学过程问题与情境师生活动设计意图一、创设情境引入课题问题1：星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.教师提出问题，教师引导学生先考虑：（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围.关注学生是否发现两个变量， 是否发现矩形的宽的取值范围。学生积极思考，回答问题。通过矩形面积的探究，激发学生学习兴趣。二、分析问题解决问题教师引导学生分析与矩形面积有关的量，参与学生讨论。学生思考后回答。解：设矩形的宽为x米，则长y为（30-2x）米，如果将面积记为s平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为：y=30-2x(6x15)s与x，y的关系为s=x(30-2x)当x=7.5时，s有最大值： =112.5当s=88时求出自变量x=4或者x=11结合函数开口方向确定x的值，再结合x的原取值范围进而确定x的范围。通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值。二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变的取值范围的确定同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分。让学生在合作学习中共同解决问题，培养学生的合作精神。三、归纳总结问题3 由矩形面积问题，你有什么收获？反思：实际问题中，二次函数的最大值（或最小值）一定在抛物线的顶点取得吗？师生共同归纳：可利用顶点坐标求实际问题中的最大值（或最小值）。利用函数的极值，解决实际问题，本节课所用的方法是配方法、图象法.所用的思想方法：从特殊到一般的思想方法.引导学生反思，得出答案：“不一定.要注意自变量的取值范围.”养成良好的学习习惯。四、运用新知拓展练习某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售利润为w元（1）求w与x的函数关系式（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？教师展示问题，学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题。师生板书解：销售利润=单件商品的利润x销售量 w(50+x40) (210-10x)10x2110x+2100w与x的关系式为：w10x2110x+2100w=10x2110x+2100当x5.5时，y的值最大=2402.5 当y2200时，可得方程10x2110x+21002200解这个方程，得x11，x210当销售单价为51或者60元时，可获得销售利润2200元通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索。让学生感受到数学的应用价值。五、课堂反馈如图，一次函数y= -x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x+bx+c过A、B两点（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？学生自主分析：先求出A,B两点的坐标，进而求出抛物线解析式；再利用二次函数的顶点坐标求出MN的最大值解：令x=0可求出A(0,2) 令y=0可求出B（4,0）把A,B代入y=-x+bx+c即可求出y= -x+x +2设M(t, -t+2),N(t,- t+t +2)则MN=- t+t +2-（-t+2）= -t