第9章 正弦稳态电路的分析总结.doc

第第九九章章 正正弦弦稳稳态态电电路路的的分分析析 重点 重点 1 阻抗与导纳的概念及意义阻抗与导纳的概念及意义 2 正弦交流电路的相量分析方法正弦交流电路的相量分析方法 3 正弦交流电路的功率分析正弦交流电路的功率分析 4 串联谐振及并联谐振的特点及分析串联谐振及并联谐振的特点及分析 9 1 阻阻抗抗与与导导纳纳 9 1 1 阻抗及导纳阻抗及导纳 一 阻抗 1 相量形式的欧姆定律 RRR RIZIU R R R R I U ZR LLLLL jXLjIZIIU L Lj L L L I U Z CCCCCC jX Cj IZIIU 1 Cj C C C 1 I U Z 2 阻抗的定义 不含独立源的一端口 二端 网络 如果端口的电压相量为U 端口的电流相量为I 则该电口的策动点 驱动点 阻抗定义为 Z I U Z 3 几个概念 jXRZ Z 其中 R称为电阻 X称为电抗 而 LX L 称为感抗 CXC 1 称为容抗 二 导纳 1 导纳的定义 不含独立源的一端口 二端 网络 如果端口的电压相量为U 端口的电流相量为I 则该电口的策动点 驱动点 阻抗定义为 Y U I Y 2 几个概念 jBGY Y 其中 G称为电导 B称为电纳 而 LBL 1 称为感纳 CBC 称为容纳 图图 11 1 阻阻抗抗的的定定义义 二 端 口 网 络 U I 9 1 2 阻抗的意义阻抗的意义 1 引入的意义 使得正弦电路电路的分析计算可以仿照电阻电路的计算方法进行 2 阻抗参数的意义 jXRZ Z 1 Z 其中 Z 表征端口电压与端口电流的幅值比 即表征了电路部分对正弦交流电流的阻 碍作用 Z 越大 对交流电流的阻碍作用越大 比如电容元件通高频 阻低频的特性 分析 CZC 1 电感元件通低频 阻高频的特性分析 LZL 2 其中 表征端口电压与端口电流的相位关系 即表征了电路端口电压超前端口电流的 角度 3 阻抗三角形与串联电路中的电压三角形 有如下所示的 RLC 串联电路 i t R C uR t uC t L u t uL t 图图 11 2 a RLC 串串联联的的正正弦弦交交流流电电路路 首先可以根据时域电路绘制出相应的电路相量模型 R 1 C L 图图 11 2 b RLC 串串联联电电路路的的相相量量模模型型 U I R U L U C U 根据 KVL IIIIUUUU 1 1 Cj LjR Cj LjR CLR 则 1 1 ZXXjR C LjR Cj LjR CL I U Z 其中 2222 1 C LRXXRZ CL R C L arctg R XX arctg CL 1 Z L 图图 11 3 RLC 串串联联电电路路中中的的 三三角角形形 U I R U C UUL C 1 4 感性电路与容性电路 一个不含独立源的电路部分 二端口网络 的策动点阻抗为 R C L arctgXXRZ CL 1 22 Z 当 0 即 CL XX C L 1 时 网络端口电压超前网络端口电流 网络呈现 感性 称该网络为感性负载 当 0 即 CL XX C L 1 时 网络端口电压滞后网络端口电流 网络呈现 容性 称该网络为容性负载 例如 1 RL 串联 R L U I R U L U Z L U I R U L U 根据 KVL IIIUUU LjRLjR LR 则 ZjXRLjRLjR L I U Z 其中 22 2 2 LRXRZ L R L arctg R X arctg L 2 RC 串联 R 1 C U I R U C U 1 C Z U I R U C U 根据 KVL IIIUUU 1 1 C jR C jR CR 则 11 ZjXR C jR C jR C I U Z 其中 22 2 2 1 C RXRZ C RC arctg R C arctg R X arctg C 1 1 3 RL 并联 L R R U U I L U R I L I Z U I R I L I LRLR LjRIIUUU 则 RR R R UU I LjLj L L UU I 根据 KCL U UU III 11 LjRLjR RL 所以 22 2 22 2 11 1 LR LR j LR LR LjR I U Z 4 RC 并联 1 C R R U U I C U R I C I Z 1 L U I R I C I LRCR C jRIIUUU 1 则 RR R R UU I U U I Cj Cj C L 1 根据 KCL UU U III 1 Cj R Cj R RC 所以 2 2 2 2 1 11 1 RC CR j RC R Cj R I U Z 9 1 3 入端阻抗的求取入端阻抗的求取 应用 等效 的概念 可以得出阻抗串并联的等效阻抗 其计算方法与相应的电阻电 路的计算方法相同 1 串联 I ZZ 2 并联 I YY 3 混联 直接根据阻抗的串并联关系求取 4 其他 无法使用阻抗的串并联直接求解的混连情况 以及含有受控源的情况 均可根据入端 阻抗的定义求取 加源法 开路短路法 9 2 正正弦弦交交流流电电路路的的计计算算 9 2 1 步骤步骤 1 计算出相应的 LC 对应的感抗与容抗 2 绘制原电路对应的相量模型 3 按照 KCL KVL 及元件的 VCR 计算待求量对应的相量 4 得出待求量对应的时域量 9 2 2 例题例题 1 KCL KVL 1 已知 有如下所示的 RLC 并联 i t iR t R C L u t uR t uC t uL t 首先可以根据时域电路绘制出相应的电路相量模型 R 1 C L 根据 KCL U UUU IIII 11 1 Cj LjR Cj LjR CLR 则 11 1 Cj LjR I U Z 即 Cj LjR 11 U I Y U I R I C IIL 9 2 3 例题例题 2 阻抗的串并联阻抗的串并联 已知 电路如图所示 Ati 2sin5 1R HL25 0 FC1 R i1 t i1 t i t C L u1 t u2 t Z R 1 j C j L 2 U 1 U 1 I 2 I I 求 1 tu 2 tu 解 A m o 05 I 5 0 12 11 j jCj C Z 5 025 0 2 jjLj L Z 5 025 0 5 015 0 5 01 5 0 21 j jj jj ZZZ 4 63795 2 5 225 1 05 5 025 0 oo Vjj m1m IZU 025 1 25 1 5 01 5 0 5 225 1 o 2 V j j j R L L 1mm ZZ Z UU 所以 Vttu 4 632sin 795 2 o 1 Vttu 2sin25 1 2 9 2 4 例题例题 3 阻抗的定义及串并联阻抗的定义及串并联 已知 电路如图所示 Vttu 314cos220 Atti 45314cos 22 o 1 Atti 90314cos 211 o 1 求 1 各表的读数 2 R L C 解 1 求各表的读数 V o 0220 U A o 1 45 2 22 I u t C L R V A A2 A1 1 I 2 I I 1 U R U L U A o 2 9011 I 011111111 o 21 Ajj III 所以 伏特表读数为 220V 干路上的安培表读数为 11A 安培表 1 的读数为 15 6A 安培表 2 的读数为 11A 2 求 R L C o o o 9020 9011 02201 2 I U Z C j C 20 1 C 所以 159 20314 1 20 1 FC 1010 45211 0220 o o 1 2 jLjR I U Z 318 0 314 10 10 10 HLL R 所以 FC HL R 159 318 0 10 9 2 5 例题例题 4 相量图的应用相量图的应用 4 1 已知 电路如图所示 kR1 1 kR2 2 HL1 a i t i1 t i2 t R1 R2 u t c ucd d L C b a R1 R2 c d jXL jXC b ab U cd U 1 I 2 I I Z1 Z2 求 1 画出电路对应的定性的相量图 2 调节电容 C 使得 abcd UU 此时的 C 解 1 画出相量图 a 将输入电压作为参考相量 b 1 Z 为感性负载 1 I 滞后 ab U 一定的角度1 c 2 Z 为容性负载 2 I 超前 ab U 一定的角度 2 d 11 II 1 R 222 II R e 画出 cd U 221 RR cd IIU 1 f 画出 ab U Cj RLjR ab 1 22211 IIIIU 1 1 I 2 I L U C U ab U cd U 1 R 1 I 22R I 2 调节 C 从几何上分析可见 欲使 abcd UU 只需 cd U ab U 均为一个圆的直径就可以了 这样 o 21 90 即 2 2 o 1 1 90 tg tgtg 而 1 1 R L tg 2 2 1 R C tg 代入前式子 21 1 R C R L 即 21R R C L 所以 F RR L C 5 0 21 4 2 已知 以下电路为一个移相电路 常常用于可控硅触发电路中 证明 1 如果C R 1 则 Sab UU5 0 且 ab u 超前 S u 90o 2 改变电阻 R 的值 可以在不改变 ab U 的同时 改变 ab u 对 S u 的相位差 R r us a uab b r C 证明 画出相量图 a 将输入电压作为参考相量 b 1 Z 为容性负载 1 I 超前 ab U 一定的角度1 c 2 Z 为阻性负载 2 I 与 ab U 同相 d 11 II 1 R 222 II R e 画出 ab U rR ab2 IIU 1 f 画出 S U 1 21 rr Cj R S IIIU 1 1 I 2 I C U S U ab U R 1 I r 2 I r 2 I 从该相量图中可以看出 由于支路 2 中的两个电阻相等 因此相量 ab U 正好是从相量 S U 的中点出发的 且相量 C U 与相量 R U 始终互相垂直 这样相量 ab U 就一定位于以相 量 S U 的中点为圆心 S U5 0 长为半径的位置上 证明 2 中的内容得证 图中 1 IU C j C 1 从几何上分析 要相量 ab U 超前相量 S U 90 度 只需 RC UU 既可 1 11 IUIU R C RC 所以C R 1 即为满足 1 中要求的条件 证明 1 中的内容得证 9 2 6 例题例题 5 节点电压法节点电压法 5 1 已知 电路如图所示 500 21 RR FC 5 0 HL1 9 a Vttus 901000cos 40 o iC t a iC t R2 L C R1 us t 9 500 j1000 500 2000 j C I C I S U 求 节点电压1 u 解 1 绘制原电路的相量模型 其中 220 2 2 40 Vj S U 500 21 RR 100011000 jjLj L Z 2000 105 01000 11 6 j jCj C Z 由此可以绘出电路的相量模型如图 b 2 列写节点电压方程 该电路仅有一个独立节点 依照节点电压法可得出方程如下 C 1 1 I U U a R Cj LjRR 221 1 1111 1 C 1 1 I U U 9 500 2000 1 1000 1 102102 33 jj 补充受控源支路的方程 11C UUI 3 105 0 jCj 2 联立方程 1 和 2 可以解得 4 10V 1 U 所以待求量为 Vttu 451000cos 210 o 1 5 2 已知 电路如图所示 1 1 R 707 0 2 R FCC1 0 21 HL05 0 Vttus 20cos210 Attis 20sin210 i1 t L i2 t iC1 t iC2 t R1 is t C1 C2 R2 us t j 1 10j j0 5 j0 5 0 707 10 求 i1 t i2 t iC1 t iC2 t iL t 解 1 绘制原电路的相量模型 其中 100 2 210 o V S U 而 Atttis 9020cos 21020sin210 o 所以 1090 2 210 o Aj S I 05 0 20 jjLj L Z 5 0 1 020 11 21 j jCj CC ZZ 由此可以绘出电路的相量模型如图 b 2 列写节点电压方程 该电路有两个独立节点 依照节点电压法可得出方程如下 S S Lj Cj LjR RLj Cj LjR IUU U UU1 12 2 2 1 2 1 1 1 1 111 1 1 111 10 1 5 0 11 707 0 1 1 101 5 0 11 1 1 12 2 j jjj jjj UU UU1 即 jjj jj 10 2 10 1 12 2 UU UU1 解得 1 37342 9 o V 1 U 4 120575 3 o 2 V U 所以 7 65185 6 1 37342 9 10 oo 1 1 A R UU I S 1 4 114193 6 4 120575 3210 oo 2 2 2 Aj R S U II 9 5268 18 1 37342 9 2 oo 11 1 AjCj C UI 6 14915 7 4 21015 7 4 120575 3 2 ooo 22 2 AjCj C UI 1 13369 12 4 120575 3 1 37342 9 ooo21 Aj Lj L UU I 所以待求量为 Atti 7 6520cos 2185 6 o 1 Atti 4 14420cos 2193 6 o 2 AttiC 9 5220cos 268 18 o 1 AttiC 6 14920cos 215 7 o 2 AttiL 1 13320cos 269 12 o 9 2 7 例题例题 6 回路法回路法 6 已知 电路如图所示 10R FC 50 1 FC 6 50 2 mHL20 1 mHL10 2 Vttus 9 362000cos 2100 o i3 t C2 i5 t L1 L2 i6 t i1 t i4 t i2 t us t C1 R j60 j40 j20 j10 10 80 j60 求 各个支路电流 解 1 绘制电路的相量模型 其中 6080 9 36 2 2100 o Vj S U 4010202000 3 1 1 jjLj L Z 2010102000 3 2 2 jjLj L Z 10 10502000 11 6 1 1 j jCj C Z 60 10 6 50 2000 11 6 2 2 j j Cj C Z 由此可以绘出电路的相量模型如图 b 2 使用网孔法 则网孔电流分别为1 I 2 I 3 I 0 1 0 1 1 1 1 11223 2 21 321 1 2 1 2 312 11 1 III III UIII1 LjLj Cj LjLj Lj CjCj LjR Lj CjCj Lj S 04020 602040 020 10 102010 608040 10 1040 123 312 32 III III III1 jjjj jjjj jjjjj 即 02040 020 1010 10 6080401030 21 321 32 II III III1 j jjj jjjj 解得 022 o A 1 I 18044 o 2 A I 6 116236 221 o 3 Aj I 则可根据 KCL 求得 066 4 2 o 24 A III 1 7 336 323 21 2 o 35 Ajj III 1 3 1466 323 21 4 o 326 Ajj III 所以待求量为 Atti 2000cos22 1 Atti 1802000cos 24 o 2 Atti 6 1162000cos 2236 2 o 3 Atti 2000cos26 4 Atti 7 332000cos 26 3 o 5 Atti 3 1462000cos 26 3 o 6 9 2 8 例题例题 7 戴维南定理戴维南定理 7 已知 电路如图所示 100 j200 10 j50 100 I 求 2 I 解 1 将所求支路从原电路中划出 100 j200 10 j50 oc U 2 求 oc U 4 6347 4 6 26900 24 2 110 6 2624 2 901 010 2 010 50100 50 010 o ooo o o ooo V j j j j oc U 3 求 o Z 16020 12 100 200 50100 50 100 200 o j j j j j j j o Z 100 j200 j50 Zo 4 戴维南等效相量模型为 20 j160 4 47 63 4 o 100 I 所以 53 1160224 0 13 53200 4 6347 4 160120 4 6347 4 16020 100 4 6347 4 o o ooo A jjR oc o Z U I 9 3 正正弦弦交交流流电电路路的的功功率率分分析析 9 3 1 基本概念基本概念 在本节中我们研究如下所示的单口网络 其中单口网络的输入阻抗为Z 阻抗角为 可设 cos 2 cos tUtUtu m tItIti m cos2cos 瞬时功率的定义 cos 2 cos cos 2 cos 2 cos cos tUI t IU tItU titu dt dw tp mm mm 其意义为 时间间隔0 t 到1 t 之间 给予单口网络的能量 0110 1 0 twtwdttituttw t t 因此 瞬时功率的意义在于 如果 tu ti 参考方向一致 则 tp 表征流入该单口 网络的能量的变化率 此时若 0 tp 表明能量的确流入该单口网络 若 0 tp 表明 能量流出该单口网络 其中从 t 到时间1 t 时给予单口网络的能量为 1 0 1 0 1 0 1 t t t t t t dttitutw dttitudttitu dttitutw o 如果单口网络中仅为电阻元件 则流入的能量将转换成其他形式的能量 热能 光能 等 被消耗掉 因此不再可能流出端口 这样 tpR 不可能为负数 如果单口网络中为动态元件 则流入的能量将转换为其他形式的能量 如电磁能 电 i t u t 图图 11 4 单单口口网网络 络 网络 场能等 被存储起来 2 1 2 tCuC 2 1 2 tLiL 因此可能再次流出端口 这样 tpR 可能为 正 也可能为负 而动态元件的储能可以增加或减少 但是只可能为正值 9 3 2 平均功率 视在功率与功率因数平均功率 视在功率与功率因数 一 平均功率 1 定义 瞬时功率在一个周期内的平均值 其数学表达式为 T dttp T P 0 1 2 单位 瓦特或千瓦 W 或 kW 3 平均功率的计算 根据平均功率的定义 我们计算上一节谈到的单口网络的平均功率 从而分析仅含电 阻 电感和电容元件及一个一般性的单口网络的平均功率 2 0 2 00 cos 2 cos 2 1 cos 2 cos 22 1 1 dttUIdtt IU dttp T P mm T 可以注意到 该积分式中的第一项由于频率为 2 因此在 0 2 内积分结果为零 因此 coscos 2 UI IU P mm 1 当单口网络呈阻性 仅含一个电阻的等效模型 时 0 R U RI UI IU UI IU P mm mm R 2 2 2 0cos0cos 2 2 当单口网络呈纯电感性 仅含一个电感的等效模型 时 o 90 0 90cos90cos 2 oo UI IU P mm R 3 当单口网络呈纯电容性 仅含一个电容的等效模型 时 o 90 0 90cos90cos 2 oo UI IU P mm R 4 平均功率的意义 平均功率 又称 有功功率 表征单口网络消耗掉的电能 网络中的电能转化为其 他形式的并且消耗掉的能量 二 视在功率 4 1 视在功率 1 定义 单口网络的端口电压与端口电流的有效值的乘积 mmI UUIS 2 1 2 单位 伏安或千伏安 VA 或 kVA 3 意义 一般用来表征变压器或电源设备能为负载提供的最大有功功率 也就是变压器或电源 设备的容量 电机与变压器的容量可以根据其额定电压与额定电流来计算 NNN IUS 二 功率因数 1 定义 定义单口网络的功率因数 cos 注意 其中的角度 为单口网络的阻抗角 即单口网络的端口电压超前端口电流的相 角大小 2 意义 提高感性负载的功率因数 为什么 请同学查阅资料进行分析 1 提高功率因数的意义 充分利用能源充分利用能源 cosSP 其中 S 为发电设备可以提供的最大有功功率 但是供电系统中的感性负载 发电机 变压器 镇流器 电动机等 常常会 使得 cos 减小 从而造成 P 下降 能量不能充分利用 增加线路与发电机绕组的功率损耗增加线路与发电机绕组的功率损耗 由于 cosUIP 所以 cosU P I 即在输电功率与输电电压一定的情况下 cos 越小 输电电流越大 而当输电线路电阻为 r 时 输电损耗 rIp 2 因此提高 cos 可以成平方倍地 降低输电损耗 这对于节能及保护用电设备有重大的意义 2 提高功率因数的条件 在不改变感性负载的平均功率及工作状态的前提下 提高负载的功率因数 3 方法 在感性负载两端并联一定大小的电容 4 实质 减少电源供给感性负载用于能量互换的部分 使得更多的电源能量消耗在负载上 转化为其他形式的能量 机械能 光能 热能等 5 相量分析 R jXC jXL U L I C I I 感性负载 2 1 U L I C I I C I 图 由相量图可以看到 感性负载的电压 电流 有功功率均未变化 但是线路电流有变 sin cos sin cos sinsin 21 2 2 1 1 21 tgtg U P U P U P III LC 而 CU X U I C C 所以 21 2 tgtg U P U I C C 9 3 3 无功功率无功功率 一 无功功率的定义 我们在看一看瞬时功率的表达式 tUItUI tUItUIUI tUIUItp 2cossin 2cos1 cos 2cossin2coscoscos 2cos cos 前面我们分析了该式中的第一项 它总是大于零的 从而推出了有关有功功率的概念 及计算 现在我们来看第二项 该分量以角频率 2 在横轴上下波动 其平均值为零 振 幅为 sinUI 这样我们定义电路部分的无功功率 Q sinUIQ 二 单位 乏或千乏 var 或 kvar 三 意义 由于在电路中 电源的能量一部分用来消耗在电阻元件上 转化为其他形式的能量 另外还有一部分用来与阻抗中的电抗分量进行能量交换 无功功率正是用来表征电源与阻抗中的电抗分量进行能量交换的规模大小的物理量 当 0 Q 时 表示电抗从电源吸收能量 并转化为电场能或电磁能存储起来 当 0 Q 时 表示电抗向电源发出能量 将存储的电场能或电磁能释放出来 关于无功功率的理解 可以用运输过程中的有用功与无用功来类比 四 计算 电容 CCCCZCCC IUIUIUQ C o 90sinsin 电感 LLLLZLLL IUIUIUQ L o 90sinsin 五 功率三角形 与 P Q 的关系 22 QPS cosSP sinSQ 对于 RLC 串联的电路 可以用以下三个 三角形 来表明其阻抗 电压相量及功率的 大小及相位关系 S Q Z L R P 图图 11 3 RLC 串串联联电电路路中中的的三三个个 三三角角形 形 C 1 U R U C UUL 9 3 4 复功率复功率 一 复功率的定义 设 u U U i I I iu 而相量I 的共轭复数 i I I 因为 jQPjUIUIUIIU iuiu sincos IU 我们定义复功率S jQPS IU 二 计算 电阻 2 RRRR RIS IU 电容 2 1 CCCC I C jS IU 电感 2 LLLL LIjS IU 三 意义 复功率的引入 可以简化几种功率的计算 即可以通过复功率的计算直接得出有功功 率 无功功率及视在功率的结果 复功率的守恒 如果电路各个部分的复功率为 i S 则电路总的复功率为S 为 0 1 n i i SS 复功率的守恒意味着有功功率与无功功率分别守恒 0 111 n i i n i i n i i QjPSS 即 0 1 n i i P 及 0 1 n i i Q 9 3 5 正弦电流电路的最大功率传递正弦电流电路的最大功率传递 一 复习 直流电路的最大功率传递 在第四章中我们讨论过电阻负载从具有内阻的直流电源获得最大功率的问题 当 oL RR 时 负载从电源获得最大的功率 说明 1 该定理应用于电源 或信号 的内阻一定 而 负载变化的情况 如果负载电阻一定 而内阻可变的话 应该是内阻越小 负载获得的功率越大 当内阻为零时 负载获得的功率最大 2 线性一端口网络获得最大功率时 功率的传递效率未必为 50 也就是说 由等 效电阻 o R 算得的功率并不等于网络内部消耗的功率 关于该命题的理解可以用以下一个简 单的电路来看 4 i iL 24 4 2 i1 2 i 12 2 a b 图 a 中 AI L R 3 AI5 1 1 AIS5 4 因此 电源发出的功率 WIUP SSS 545 424 而负载上获得的功率 WRIP LRR LL 18232 2 功率传递 的效率为 33 图 b 中 AI L R 3 AI S 3 因此 电源发出的功率 WIUP SSS 36312 而负载上获得的功率 WRIP LRR LL 1823 22 功率 传递的效率为 50 负载可变获得最大传输功率的效率较低 因此 实际中仅在传输功率较小的情况下 某些通讯系统及电子线路 中用到该定理 二 正弦稳态电路的最大功率传递定理 分析方法与前面的相同 Ro i Uoc RL 含 源 二 端 网 络 ZL L U I ZS ZL S U L U I 设对于负载阻抗 LLL jXR Z 而言 含源二端网络可以进行戴维南等效 其中等效 的交流电源为 S U 电源内阻抗为 SS jXR S Z 下面我们给定电源及其内阻抗的条件下 分别讨论负载的电阻即电抗均可独立变化以 及负载阻抗角固定只是模可变的两种情况下 获得最大功率传递的公式 1 负载的电阻及电抗均可独立变化 负载的电阻及电抗均可独立变化 共轭匹配共轭匹配 电路电流 LSLS XXjRR S U I 电量的有效值 22 LSLS XXRR U I S 因此负载电阻的功率 L LSLS S L R XXRR U RIP 22 2 2 下面我们就要求出 L R 及 L X 在什么情况下 PL最大 由于在功率表达式中 L X 只出现在分母中 且以 SL XX 的平方项出现 因此当 SL XX 时 2 SL XX 最小为零 此时 PL才能最大为 2 2 LS LS L RR RU P 接下来我们来看式子 2 2 LS LS RR RU 在 L R 取何值时最大 0 2 4 2 2 2 2 LS LLSLS S LS LS L RR RRRRR U RR RU dR d 由此可得 SL RR 因此 当负载电阻及电抗均可独立变化时 负载获得最大功率的条件是 SL RR SL XX 即 S ZZ SSLLL jXRjXR 也就是说 在这种情况下 负载阻抗 与电源内阻抗互为共轭复数时 负载获得最大功率 S S L R U P 4 2 max 2 负载的阻抗角固定而负载的模可变 负载的阻抗角固定而负载的模可变 负载与内阻抗匹配负载与内阻抗匹配 设负载阻抗为 sin cos LLLLLL ZjZZjXRZ 电路电流 sin cos LSLS ZXjZR S U I 电量的有效值 22 sin cos LSLS ZXZR U I S 因此负载电阻的功率 22 2 sin cos cos LSLS LS L ZXZR ZU P 下面我们就要求出 L Z 在什么情况下 PL最大 0 L L Zd dP 由此可得 22 SSL XRZ 因此 当负载仅改变模 而不改变阻抗角时 负载获得最大功率的条件是负载阻抗的 模等于电源内阻抗的模 这样 在负载为一个电阻 L R 时 负载获得最大功率的条件就与直 流电源时的情况有所不同 为 22 SSL XRR 在电子线路中 我们常常使用理想变压器 使负载获得最大功率 这正是本部分所描述的情况 另外要注意 这种情况下获得的最大功率并非最大可以获得的功率 当负责的阻抗角 也可以变化时 负载可以获得更大的功率 9 4 谐谐振振 有关 谐振 的物理性质可以用运动学中的 共振 来对应理解 谐振的定义 如果在某一特定频率下工作的含有动态元件的无源单口网络的阻抗角为 零 认为该单口网络在此频率情况下发生谐振 谐振电路是一种具有频率选择性的电路 它可以根据频率去选择某些需要的信号 而 排除其他频率的干扰信号 9 4 1 串联谐振串联谐振 1 串联谐振的条件 我们来看下面这个 RLC 串联的电路 前面我们分析过 RLC 串联电路的复阻抗情况 ZZ 其中 2222 1 C LRXXRZ CL R C L arctg R XX arctg CL 1 按照谐振的定义 当 Cj Lj 1 即 LC 1 时 0 1 R C L arctg R XX arctg CL 此时 RXXRZ CL 22 这里 我们称 LC 1 0 或 LC f 2 1 0 为谐振频率 谐振时的电压相量图为 12 2 2 串联谐振发生时的电路特性 1 电路阻抗最小 U 不变时 I 最大 图图 12 2 RLC 串串联联谐谐振振相相量量图图 U I R U C U L U R 1 j C j L 图图 12 1 RLC 串串联联电电路路的的相相 量量模模型型 U I R U L U C U Z R O I f0 f U R O f0 f 图图 12 3 a Z R O I f0 f U R O f0 f 图图 12 3 b 2 电路呈阻性 电源供给电路的能量全部消耗在电阻 R 上 而动态元件的储能与 放能过程完全在电容与电感之间完成 即储能元件并不与电源之间交换能量 3 串联谐振为电压谐振 U R X IXU C CC U R X IXU L LL 当RX 时 UUX 电力系统中 常常尽量避免谐振 以免击穿电路设备 L C 等 而电子线路中 常 用此方法获得高压 4 选频特性与品质因数 Q 电容或电感上的电压有效值与电源电压有效值之间的倍数 Q 越大 网络选频的选择 性越强 C L RR C R L U U U U Q LC 1 1 00 9 4 2 并联谐振并联谐振 情况情况 1 R 1 C L 图图 12 4 RLC 并并联联谐谐振振电电路路一一 R U U C U L I L U R I C I I 该 RLC 并联电路的复阻抗Y Z 1 Z 而 Cj LjR 11 Y 当R 1 Y 时 电路发生谐振 此时电路呈现阻性 阻抗为 R Y Z 1 可见发生并联谐振的条件仍然为 电源频率等于谐振频率 LC 1 0 或 LC f 2 1 0 谐振时的电流相量图为 12 5 2 并联谐振发生时的电路特性 1 电路阻抗最大 I 不变时 U 最大见图 12 6 图图 12 5 并并联联谐谐振振相相量量图图一一 I R I L I C I U Z R O I f0 f U R O f0 f 图图 12 6 2 电路呈阻性 电源供给电路的能量全部消耗在电阻 R 上 而动态元件的储能与 放能过程完全在电容与电感之间完成 即储能元件并不与电源之间交换能量 3 串联谐振为电流谐振 I X R I C C I X R I L L 当XR 时 IIX 4 选频特性与品质因数 Q 定义为电容或电感上的电流有效值与干路电流有效值之间的倍数 Q 越大 网络选频 的选择性越强 L C RCR L R I I I I Q LC 0 0 情况情况 2 实际上的并联电路往往是以下这种模型 该 RLC 并联电路的复阻抗Y Z 1 Z 即 LCRCj LjR Cj LjR Cj LjR 2 11 1 Z 当 LR 时 1 1 1 2 L Cj L RCLCRCj Lj Z 电路发生谐振时 电路呈现阻性 阻抗为RC L Z 可见发生并联谐振的条件仍然为 电源频率等于谐振频率 LC 1 0 或 LC f 2 1 0 谐振时的电流相量图为 12 8 这种情况下并联谐振发生时的电路特性与前面的并联谐 振情况相同 9 5 频频率率特特性性 在前面的内容中 我们着重讨论固定频率 同一频率 情况下正弦交流电路的稳态响 应 这一节中 我们开始研究在电路其他参数不变的前提下 仅改变电路 电源 的频率 时的电路响应的情况 所谓频率特性 正是用来分析电路的响应随着频率变化的规律 在前面的内容中 我们曾经提到过电容元件通高频阻低频 电感元件通低频阻高频的 性质 其实这正是两种元件在不同的频率情况下响应不同的体现 9 5 1 幅频特性与幅频特性曲线幅频特性与幅频特性曲线 以网络函数中的策动点阻抗为例 前面我们谈到过单口网络的阻抗的意义 图图 12 8 并并联联谐谐振振相相量量图图二二 U C I I C I R I L I R jXC jXL 图图 12 7 RLC 并 并联联谐谐振振电电路路二二 U L I C I I 感性负载 jZ I U Z 其中 jZ 为端口电压与端口电流的幅值比随着频率变化的关 系 即表征了在相同电流源大小的情况下 在单口网络与电流源同一端口产生的电压大小 与电源频率之间的关系 m m I U I U jZ 幅频特性曲线 在以频率为横轴 jZ 为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响 应的幅频特性曲线 9 5 2 相频特性与相频特性曲线相频特性与相频特性曲线 其中 表征端口电压与端口电流的相位关系 随着频率变化的规律 相频特性曲线 在以频率为横轴 为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响应的 相频特性曲线 9 5 3 示例示例 以前面讲到的 RLC 并联电路为例 1 1 1 1 11 1 L R CRj R L Cj R Cj LjR Z 前面我们已经得出 CR L R Q 0 0 所以 0 Q CR 0 Q L R 代入上式 1 0 0 jQ R jZ 这样 阻抗对应的幅频特性为 20 0 2 1 Q R jZ 相频特性为 0 0 arctgQ 因此 该电路的网络函数 策动点阻抗对应 的幅频