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巧用等积法解题 利用不同的方法表示同一个平面图形的面积，计算结果始终相等利用这一原理证明或计算某些数学问题的数学方法称为等积法利用等积法解题往往比其它思路更清晰，证法更简捷，尤其在勾股定理一章中体现得淋漓尽致现举例说明 一、整式乘法与因式分解例1 如图1，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？你从计算中发现了什么？ 分析 图中矩形的面积可有两种计算方法：一是从整体考虑图中矩形是长和宽分别为(mb)和(na)，因此面积为 (mb)(na)； 二是矩形有四块，面积分别为am，ab，mn，bn由此可以得到乘法公式 (mb)(nn)mnambnab 此题中用两种方法算同一块图形的面积，面积相等这一规律很好地把式和形联系在一起 二、几何问题中的证明或计算 例2 已知直角三角形的两条直角边分别为6和8，则斜边上的高为多少？分析 如图2，作高线AD，利用勾股定理列方程解决但此法运算较为复杂若用等积法可以使问题变得简单 例3 如图3，在ABC中，ABAC，P为BC上一点，PEAB于E，PFAC于F，求证：PEPF为定值 分析 本题可通过构造全等的三角形以及平行四边形的知识解决，但运用等积法变得更简捷解 如图4，连结AP，过点C作AB的垂线，垂足为G 例4 如图5所示，在ABC中，DC的长是BD的2倍，AF和FD的长相等，ABC的面积等于10平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？ 分析 题中的条件十分隐蔽，既没有告诉我们三角形的底是多少，也没有告诉我们三角形的高是多少，所以初看此题，可能会感觉无从下手但如果我们通过等积变形，巧妙地将三角形的面积进行转化，问题就迎刃而解了 解 如图6，连结ED因为F和AD的中点，所以根据“等底等高的三角形面积相等”，可知AEF与EDF的面积相等，同理可知，AAFC与FDC的面积也相等也就是说，AEC与EDC的面积相等这样就可以将阴影部分的面积转化为EDC的面积，又因为DC的长是BD的2倍，所以EDC的面积是EBD的2倍，ABC的面积是EBD的5倍，即阴影部分的面积为 10524(
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