高等数学求导公式便于打印

1 I 基本函数的导数 01 0C 02 1 xx 03 sincosxx 04 cossinxx 05 2 tansecxx 06 2 cotcscxx 07 secsec tanxxx 08 csccsc cotxxx 09 ln xx aaa 10 xx ee 11 1 log ln a x xa 12 1 ln x x 13 2 1 arcsin 1 x x 14 2 1 arccos 1 x x 15 2 1 arctan 1 x x 16 2 1 arccot 1 x x II 和 差 积 商的导数 01 uvuv 02 CuCu 03 uvu vuv 04 2 0 uu vuv v vv III 复合函数的导数 若 则 yf uux dydy du dxdu dx 或 yxfux 2 计算极限时常用的等价无穷小 0 limsin x xx 0 limtan x xx 2 0 1 lim 1 cos 2 x xx 0 lim1 x x ex 0 limln 1 x xx 0 1 lim 11 n x xx n 两个重要极限 0 sin lim1 x x x 1 lim 1 x x e x 基本积分公式 基本积分公式 kdxkxC 1 1 x x dxC 1 lndxxC x 2 1 arctan 1 dxxC x 2 1 arcsin 1 dxxC x cossinxdxxC sincosxdxxC 2 2 1 sectan cos dxxdxxC x 2 2 1 csccot sin dxxdxxC x sec tansecxxdxxC csc cotcscxxxC xx e dxeC ln x x a a dxC a shxdxchxC chxdxshxC tanln cosdxxC cotln sinxdxxC secln sectanxdxxxC cscln csccotxdxxxC 22 11 arctan x dxC xaaa 22 11 ln 2 xa dxC xaaxa 22 arcsin dxx C a ax 22 22 ln dx xxaC xa 22 22 ln dx xxaC xa 3 若 则 lim0 limf xAg xB lim g x B f xA 罗尔定理罗尔定理 若在上连续 在内可导 且 则存在一 0Fx f x a b a b f af b 使 a b 0f 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若在上连续 在内可导 则存在一 使得 f x a b a b a b f bf afba 柯西中值定理柯西中值定理 若 在上连续 在内可导 且则存在一 f x F x a b a b 0Fx 使得 则 a b 0 xx f bf af F bF aF 罗必达法则罗必达法则 若 1 2 及在 limlim0 xaxa f xF x 或或 或 fx Fx 或 处存在 且 3 存在 或 则 0 0 xx xX 0Fx lim xa fx F x 或 limlim xaxa f xfx F xF x 或或 泰勒公式 泰勒公式 2 000 0000 1 2 n n n fxfxfx f xf xxxxxxxRx n 其中 1 1 0 1 n n n f Rxxx n 0 x x 马克劳林公式 马克劳林公式 2 000 0 1 2 n n n fff f xfxxxRx n 其中 1 1 1 n n n f Rxx n 0 x 1 23 1 1 01 2 3 1 nx xn xxxe exx nn x 2 35721 1 sin1 3 5 7 21 m mxxxx xx m x 3 2462 cos11 2 4 6 2 n nxxxx xx n 4 23 1 1 11 1 n xxxxx x 4 5 242 2 1 11 11 1 n n xxxx x 6 2341 ln 11 2341 n nxxxx xx n 11x 驻点驻点 导数为零的点 拐点拐点 则称在上是凸的 12 12 22 f xf xxx f f x a b 则称在上是凹的 12 12 22 f xf xxx f f x a b 若曲线在两旁改变凹凸性 则称为曲线的拐点 0 x 00 xf x 凹凸性判断凹凸性判断 充分条件 设存在 若时 则曲线是为凸的 fx axb 0fx 若时 则曲线是为凹的 axb 0fx 设曲线方程 具有二阶导数 则函数在的曲率为 yf x f x yf x x yK 工程中 若时 2 3 2 1 y K y 1y K y 基本积分方法 1 1 换元法 换元法 1 设具有原函数 而可导 则有 f u F u ux fxx dxf u duFxC 2 设在区间上单调可导 且 又设具有原函数 xt 0t fxx F t 则有 1 f x dxftt dtFtC 2 2 分布积分法 分布积分法 udvuvvdu 3 3 有理函数积分 有理函数积分 n A dx xa 2 n MxN dx xPxq 4 4 万能代换 三角函数的有理式的积分 万能代换 三角函数的有理式的积分 设 则 tan 2 x u 2 2 1 dxdu u 5 2 2 sin 1 u x u 2 2 1 cos 1 u x u 2222 1 123121 6 nn nn 定积分中值定理 定积分中值定理 b a f x dxfbaab 定理 定理 如果函数在区间上连续 则积分上限的函数 f x a b 在上具有导数 并且它的导数是 x a xf t dt a b x a d xf t dtf xaxb dx 定积分换元公式 定积分换元公式 ab b a f x dxftt dt 22 00 sincosfx dxfx dx 00 sinsin 2 xfx dxfx dx 定积分的分步积分 定积分的分步积分 bb b a aa udvuvvdu 2 0 133 1 24 2 2 sin 134 2 25 3 n n nn n nn Ixdx nn n nn 为正偶数 为大于1的奇数 弧长计算公式 弧长计算公式 2 1 b a sy dx t xt yt 22 stt dt 6 cos sin xr yr 22 srrd 向量代数向量代数 定比分点公式 定比分点公式 121212 111 xxyyzz xyz 数量积 数量积 cosa ba b xxyyzz a ba ba ba b 222222 cos xxyyzz xyzxyz a ba ba b a b a b aaabbb 向量积 向量积 xyz xyz ijk a baaa bbb 平面平面 平面的一般方程 平面的一般方程 向量为平面法向量 0AxByCzD nA B C 平面点法式方程平面点法式方程 000 0A xxB yyC zz 平面的截距式方程 平面的截距式方程 为平面在三个坐标轴上的截距 1 xyz abc a b c 两个平面的夹角 两个平面的夹角 两个平面方程为 平面 1 111 0AxB yC zD 平面 则两平面的夹角 的余弦为 2 222 0A xB yC zD 121212 222222 111222 cos A AB BC C ABBABB 两平面平行的条件 两平面平行的条件 1111 2222 ABCD ABCD 两平面垂直的条件 两平面垂直的条件 121212 0A AB BC C 点到平面的距离 点到平面的距离 平面 平面外一点 则点 M 到平0AxByCzD 111 M x y z 7 面的距离 111 222 AxByCzD d A B C 空间直线空间直线 两个平面的交线 两个平面的交线 111 222 0 0 AxB yC zD A xB yC zD 点向式方程 点向式方程 直线上的一点 直线的一个向量 则直线方程为 0000 Mxyz Sm n p 参数方程为 000 xxyyzz mnp 0 0 0 xxmt yynt zzpt 两直线的夹角 两直线的夹角 则两直线的夹角 010101 1 111 xxyyzz L mnp 020202 2 222 xxyyzz L mnp 余弦为 121212 222222 111222 cos m mn np p mnpmnp 两直线平行 两直线平行 111 222 mnp mnp 两直线垂直 两直线垂直 121212 0m mn np p 两直线共面 平行或相交 两直线共面 平行或相交 两直线 共面的条件 010101 1 111 020202 2 222 xxyyzz L mnp xxyyzz L mnp 212121 111 222 0 xxyyzz mnp mnp 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 平面 直线 0AxByCzD 000 xxyyzz L mnp 若直线与平面相交 夹角 222222 sin AmBnCp ABCmnp 若直线与平面平行 0AmBnCp 若直线与平面垂直 ABC mnp 8 多元函数微积分多元函数微积分 1 1 方向导数 方向导数 为轴到方向 的转角 sin fff cos lxy xl 2 2 梯度 梯度 fff grad f x y zijk xyz 3 3 二元函数的极值 二元函数的极值 令 zf x y 00 0 x fxy 00 0 y fxy 00 xx fxyA 当时具有极值 且当时具有极大值 当 00 xy fxyB 00 yy fxyC 2 0ACB 0A 具有极小值 当时没有极值 当时可能有极值 也可能没0A 2 0ACB 2 0ACB 有极值 还需令作讨论 3 3 二重积分的计算二重积分的计算 22 11 bxdy axcy D f x y ddxf x y dydyf x y dx cos sin DD f x y df rrrdrd 2 1 2 1 cos sincos sin cos sin D f rrrdrdf rrrdr d df rrrdr 4 4 曲面的面积计算 曲面的面积计算 2 2 22 1 1 xy DD zz Afx yfx y ddxdy xy 平面薄片的重心 平面薄片的重心 DD DD xx y dyx y d MM xy MMx y dx y d 平面薄片的转动惯量 平面薄片的转动惯量 22 xy DD Iyx y dIxx y d 5 5 三重积分的计算 三重积分的计算 9 22 11 byxzx y ayxzx y D f x y z dvdxdyf x y z dz 曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分 1 1 对弧长的曲线积分 对弧长的曲线积分 xt t yt 22 L f x y dsftttt dt 222 f x y z dsftttttt dt 2 2 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分 xtyt 22 L P x y dxQ x y dyPtttQttt dt 3 3 对曲面的积分 对曲面的积分 22 1 xy xy D f x y z dSfx y z x yzx yzx y dxdy 4 4 对坐标的曲面积分 对坐标的曲面积分 无穷级数无穷级数 收敛级数的基本性质 收敛级数的基本性质 1 1 如果级数如果级数收敛于和收敛于和 则它的各项同乘以一个常数 则它的各项同乘以一个常数 所得的级数所得的级数也收敛 且也收敛 且 1 n n u sk 1 n n ku 其和为其和为 ks 2 2 如果级数如果级数 分别收敛于和分别收敛于和 则级数 则级数也收敛 且其和为也收敛 且其和为 s 1 n n v s 1 nn n uv s 3 3 在级数中去掉 加上或者改变有限项 在级数中去掉 加上或者改变有限项 不会改变级数的收敛性 不会改变级数的收敛性 10 4 4 如果级数如果级数收敛 则对这级数的项任意加括号所成的级数收敛 则对这级数的项任意加括号所成的级数 1 n n u 仍收敛 且其和不变 仍收敛 且其和不变 1122 111 k nnnnn uuuuuu 5 5 级数收敛的必要条件 如果级数 级数收敛的必要条件 如果级数收敛 则它的一般项趋于零 即收敛 则它的一般项趋于零 即 1 n n u lim0 n n u 常数项级数的审敛法 常数项级数的审敛法 定理定理 1 1 正项级数正项级数收敛的充分必要条件是 它的部分和数列收敛的充分必要条件是 它的部分和数列有界 有界 1 n n u n s 定理定理 2 2 比较审敛法 比较审敛法 设设和和都是正项级数 且都是正项级数 且 若级数 若级数收收 1 n n u 1 n n v 1 2 nn uvn 1 n n v 敛 则级数敛 则级数收敛 反之 若级数收敛 反之 若级数发散 则级数发散 则级数发散 发散 1 n n u 1 n n u 1 n n v 推论推论 1 1 设设和和都是正项级数 如果级数都是正项级数 如果级数收敛 且存在自然数收敛 且存在自然数 使当 使当 1 n n u 1 n n v 1 n n v N 时有时有成立 则级数成立 则级数收敛 如果级数收敛 如果级数发散 且当发散 且当时有时有nN 0 nn ukvk 1 n n u 1 n n u nN 成立 则级数成立 则级数发散 发散 0 nn ukvk 1 n n v 推论推论 2 2 设设为正项级数 如果有为正项级数 如果有 使 使 则级数 则级数收敛 如果收敛 如果 1 n n u 1p 1 1 2 n p un n 1 n n u 则级数 则级数发散 发散 1 1 2 n un n 1 n n u 定理定理 3 3 比较审敛法的极限形式 比较审敛法的极限形式 设设和和都是正项级数 如果都是正项级数 如果 1 n n u 1 n n v 则级数 则级数和级数和级数同时收敛或同时发散 同时收敛或同时发散 lim 0 n n n u ll v 1 n n u 1 n n v 11 定理定理 4 4 比值审敛法 达朗贝尔 比值审敛法 达朗贝尔 D Alembert 判别法 判别法 若正项级数若正项级数的后项于前项的后项于前项 1 n n u 之比值的极限等于之比值的极限等于 则当 则当时级数收敛 时级数收敛 或 或 时级数 时级数 1 lim n n n u u 1 1 1 lim n n n u u 发散 发散 时级数可能收敛也可能发散 时级数可能收敛也可能发散 1 定理定理 5 5 根值审敛法 柯西判别法 根值审敛法 柯西判别法 设设为正项级数 如果它的一般项为正项级数 如果它的一般项的的 次根的次根的 1 n n u n un 极限等于极限等于 则当 则当时级数收敛 时级数收敛 或 或 时级数发散 时级数发散 lim n n n u 1 1 lim n n n u 时级数可能收敛也可能发散 时级数可能收敛也可能发散 1 定理定理 6 6 莱布尼茨定理 莱布尼茨定理 如果交错级数如果交错级数满足条件 满足条件 1 1 1 1 1 n n n u 1 1 2 3 nn uun 2 2 则级数收敛 且其和 则级数收敛 且其和 其余项 其余项 的绝对值的绝对值 lim0 n n u 1 su n r 1nn ru 定理定理 7 7 如果级数如果级数绝对收敛 则级数绝对收敛 则级数必定收敛 必定收敛 1 n n u 1 n n u 幂级数幂级数 定理定理 1 1 阿贝尔 阿贝尔 Abel 定理 定理 如果级数如果级数当当时收敛 则适合不等式时收敛 则适合不等式 1 n n ax 00 0 xxx 的一切的一切 使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数当当时发散 则适合不等时发散 则适合不等 0 xx x 1 n n ax 0 xx 式式的一切的一切 使这幂级数发散 使这幂级数发散 0 xx x 推论推论 如果幂级数 如果幂级数不是仅在不是仅在一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有 1 n n ax 0 x 一个完全确定的正数一个完全确定的正数存在 使得 当存在 使得 当时 幂级数绝对收敛 当时 幂级数绝对收敛 当时 幂级数时 幂级数RxR xR 发散 当发散 当与与时 幂级数可能收敛也可能发散 时 幂级数可能收敛也可能发散 xR xR 定理定理 2 2 如果如果 其中 其中 是幂级数是幂级数的相邻两项的系数 则这幂级数的的相邻两项的系数 则这幂级数的 1 lim n n n a a 1n a n a 1 n n ax 12 收敛半径收敛半径 1 0 0 0 R 性质性质 1 1 设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径 则其和函数 则其和函数在区间在区间内连续 如果内连续 如果 1 n n ax 0R R s x R R 幂级数在幂级数在 或 或 也收敛 则和函数 也收敛 则和函数在在 或 或 连续 连续 xR xR s x R R R R 性质性质 2 2 设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径 则其和函数 则其和函数在区间在区间内是可导的 内是可导的 1 n n ax 0R R s x R R 且有逐项求导公式且有逐项求导公式 其中 其中 逐项求导后得到的 逐项求导后得到的 1 111 nnn nnn nnn sxa xa xna x xR 幂级数和原级数有相同的收敛半径 幂级数和原级数有相同的收敛半径 性质性质 3 3 设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径 则其和函数 则其和函数在区间在区间内是可积的 内是可积的 1 n n ax 0R R s x R R 且有逐项积分公式且有逐项积分公式 其中其中 逐项积分后 逐项积分后 1 000 111 1 xxx nnn n nn nnn a s x dxa xdxa x dxx n xR 得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 欧拉公式 欧拉公式 cossin ix exix 傅立叶级数傅立叶级数 cos0 n 1 2 3 nxdx sin0 n 1 2 3 nxdx sincos0 n 1 2 3 kxnxdx sinsin0 n 1 2 3 kxnxdxkn coscos0 n 1 2 3 kxnxdxkn 13 函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数 是周期为是周期为的周期函数 的周期函数 f x 2 0 1 cossin 2 kk k a f xakxbkx 其中 其中 0 1 1 cos n 0 1 2 1 sin n 1 2 3 n n af x dx af xnxdx bf xnxdx 定理 收敛定理 狄利克雷 定理 收敛定理 狄利克雷 Dirichlet 充分条件 充分条件 设 设是周期为是周期为的周期函数 的周期函数 f x 2 如果它满足 如果它满足 1 1 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 在一个周期内连续