正项级数敛散性判别

正项级数敛散性的判别刘 兵 军无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。一 常数项级数的概念所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。对于数列，由此数列构成的表达式叫做无穷级数，简称级数，记为，即， (1)其中第项叫做级数(1)的一般项。级数(1)的前项的和构成的数列， (2)称为级数(1)的部分和数列。根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。定义 如果级数(1)的部分和数列有极限，即存在常数s，使得s，则称级数(1)收敛，极限s称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。级数收敛的必要条件如果级数(1)收敛，则其一般项趋于零。二 正项级数敛散性的判别由正数和零构成的级数称为正项级数。比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。比较审敛法如果正项级数收敛，且满足，则收敛；如果正项级数发散，且满足，则发散；比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数是解题的关键。几何级数和p-级数常用来充当比较审敛法中的级数。例证明级数是收敛的。证由于，所以，而级数为p=2 的p-级数且收敛，故由比较审敛法，级数是收敛的。例2 判别下列级数的敛散性。分析这是一个典型的例题，通项是关于的一个有理分式。应注意分母和分子中的最高幂次之差，通项为关于的一个有理分式的级数和相应的p-级数有相同的敛散性。本题中这一差数为，故应和p=1的p-级数做比较。解，而级数与有相同的敛散性，即同时发散，故由比较审敛法，级数是收敛的。在例中，由于级数的通项比较复杂，使得敛散性的判别过程较为复杂，为使比较审敛法的应用更为方便，给出其极限形式。比较审敛法的极限形式设和为两个正项级数，如果()，则级数和有相同的敛散性。如果正项级数发散，且满足，则发散；例判别级数的敛散性。解因为，故由比较审敛法的极限形式得知此级数收敛。如果不用比较审敛法的极限形式，例中的级数敛散性的判别较为困难。例用比较审敛法的极限形式判别例中的级数的敛散性。解因为，故由比较审敛法得知此级数收敛。比值审敛法设正项级数的后项与前项的比值的极限等于：，(3)则当时级数收敛；时级数发散。例判别级数的敛散性。解因为，故，从而。由比值审敛法可知级数发散。由例易知，当级数的通项含有阶乘或出现在指数位置时，一般可用比值审敛法判别其敛散性。例判别级数的敛散性。分析此级数的通项中既含有的阶乘，又含有和，所以可用比值审敛法判断其敛散性。解因为，所以从而，由比值审敛法可知，此级数收敛。当(3)中等于时，用比值审敛法不能判别级数的敛散性。可用其它方法判别其敛散性。根值审敛法设正项级数的通项的次方根的极限等于：，(4)则当时级数收敛；时级数发散。例证明级数收敛。分析当级数的通项中含有或类似的表达式时，通常采用根值审敛法判别级数的敛散性。证因为()故由根值审敛法得知所给级数收敛。以上给出了正项级数的各种判别法。对于给定的正项级数，可以按照以下顺序对其敛散性进行判别：首先观察其通项是否趣于零，如果通项不趣于零，则级数发散。如果通