变限积分确定的函数的性质及其应用.doc

变限积分确定的函数的性质及应用摘 要由变限定积分和变限反常积分定义的一类函数，有重要的理论价值和应用价值。本文给出了变限积分的定义及其性质，主要讨论变限积分的求导问题以及奇偶性周期性等方面问题，较系统地讨论了这类函数的性质,得到若干结果，并简要介绍了它们的几点应用。关键词：变限积分；函数；可积；连续；收敛。ABSTRACT Limited by the variable and variable limit integral improper integral defined a class of functions, there are important theoretical and practical value. In this paper, changing the definition and nature of limit points, discuss the derivation of integral limits change issues and other aspects of the periodic parity, more systematic discussion of the nature of such functions, by a number of results, and a brief introduction Some of their applications.Key word: variable limit integral, function, integral, continuity, convergence.目 录一变限积分的概念及其性质（5）1.1变限积分的概念（5）1. 2变限积分的性质 （5）二变限积分函数的应用 （9）2.1问题的提出（9）2.2 变限积分函数的应用（11）2.21利用变限积分求原函数（11）2.22 化积分问题为微分学问题 （11）2.2.3 求定积分（12）2.2.4变限积分的积分变量替换 （14）三结论（16）一、 变限积分的概念及其性质1.1变限积分的概念定义1：如果函数在区间可积，则称 ，叫变动上限积分。，叫变动下限积分。定义2：（推广定义）：如果函数在区间可积，为内任一点，则称，叫变动上限积分。，叫变动下限积分。变限积分是一种特殊的定积分，它具有很多特殊的性质，比如它的导数很特殊以及它的连续性、奇偶性、周期性等。特殊性决定了它的重要性，也是经常考察的一个知识点，现就它的几个性质加以举例说明。1. 2变限积分的性质定理1(连续性)：设函数在区间a，b上可积，则变动上限积分函数在a，b上连续，其中为a，b内任一点。证：对上任一确定的点，只要，按定义有因在上有界，可设。于是，当时有；当时，则有，由此得到 ，即证得在点连续，由的任意性，在a，b上处处连续。定理 2(导数定理)：如果函数在区间a，b上连续，则变动上限积分在具有导数，并且它的导数是证明:对上任一确定的，当且时，按定义和积分第一中值定理，有 =由于在点连续，故有 由在上的任意性，证得是在上的一个原函数。定理 3 (导数推广)：如果函数在区间a，b上连续，为a，b内任一点，则变动上积限积分，x。（证明略）注：（1）区间a可为-，b可为+； （2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，呗积函数f中只含积分变量t，不含参变量x。下面看几个关于变积分导数应用的典型例题:例1：设，求。分析：和u=复合而成，要使用复合函数求导法则解：例2：设，求。解：在的连续区间内任选一点，比如取t=0，可得 = + =-2例3：设可导，求分析：这里被积函数f中除含积分变量t外，还含参变量x，不能直接使用变限积分的导数定理，通常要通过变量替换消去被积函数f中参数x，则令u=2x-t即可解：令u=2x-t ，则 =2x- =2+2x2-2x =2例4：设x=0时-，其中函数在区间（0，+）上连续且单调增加，试证F(x)在（0，+）也单调增加。分析：自然的想法是求F(x),F(x)中的第一项变限积分的被积函数f除依赖于积分变量t外，还依赖于x，因此要通过变量替换消去被积函数f中参数x证明：令,则 =由变限积分求导法得： =比较上式右端两项的大小，把第一项表成定积分得： =当0x1时，1t1时，01，t0（x0,x）,因此，F(x)在单调增加。定理3（奇偶性）设=，其中函数在区间a，b上可积，为a，b内任一点。若函数f(x)为奇函数，则为偶函数。证明：由变量替换有 =+=0+即为偶函数。例7：如果函数f(x)在区间内连续，且F(x)=，试证：若函数f(x)为偶函数，则F(x)也为偶函数。证明： F(x)= =-所以F(x)也是偶函数。定理4（周期性）设是以为周期的可积函数。试证：亦是以为周期的函数。式中证明：例8：设f(x)是在内以T为周期性的连续函数，则下列函数中也是以T为周期性的是（A） (B) （C）+ (D) +分析：利用周期函数的积分性质解题，一般有以后结论：以T为周期的连续函数f(x)的原函数以T为周期解：由周期性函数的积分性质得 + =+ =+因为不一定为零，所以，与不一定以T为周期，而=所以以T为周期而=所以不一定以T为周期，故选（C）二、 变限积分函数的应用2.1问题的提出纵观微积分教材，一元函数微积分部分主要涉及六个概念，即极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分以及三个定理即微分中值定理、积分中值定理、微积分基本定理（牛莱公式），极限是研究这些概念和定理得的工具，也是联系他们的一条无形的链，在说明不定积分与其他概念的联系时，牛莱公式起到了重要作用，牛莱公式是微积分的核心。在微积分教材中，牛莱公式的证明首先是假定在上可积，则任取，作函数，称它为变上限函数，再假定上连续，则变限函数在上连续、可导且，即变限函数是在上的一个原函数。再设F(x)也是f(x) 在上的任意一个原函数，由于f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数，并且这就得到了牛莱公式。 在前面提到的六个概念中,除了不定积分,其它五个概念都是某种形式的极限,所以他们由极限联系了起来.由于引入变限函数,得出了牛莱公式,这样就将定积分的计算转化为求的原函数在区间上的增量，求原函数的过程也就是求不定积分的过程；反之，不定积分可以表示为变限函数，由于是在上的一个原函数，定积分与不定积分由原函数彼此联系了起来。这样，微积分的6个重要概念也就相互联系了起来。在微积分教材中，微积分微分中值定理为：设在连续，在上可导，则，使 （1）积分中值定理为：设在连续，则，使 （2）由于引入了变限函数，证明牛莱公式，即 （3）这里是f（x）在上的任意一个原函数，（即），那么(1)、（2）、（3）联在一起可以写作：上式也说明，这三个重要定理从不同的角度反映了微积分的基本规律，也说明它们有必然联系。2.2 变限积分函数的应用由于变限函数在微积分中的作用重要，它也成为微积分各类考试中的一个重要考点。以下举例说明有关变限函数的考题类型：2.2.1 利用变限积分求原函数变限积分的导数求法已有专题论及，我们不再提及，变限积分是为引入原函数而提出的，求原函数应是其最基本的应用。例1 设函数试求在0,2上的一个原函数。分析：易知在0,2上连续，所以对任意的，变上限定积分就是在0,2上的一个原函数。由于在处分段，因此可取解：令，它就是在0,2上的一个原函数，利用牛顿莱布尼兹公式，得 例2 设，求在0,2上的表达式。解：因为在0,2上连续的，所以的原函数存在。即 =2.22 化积分问题为微分学问题例3.设在0,1可导， 试证： 证明：引入变限积分函数易知 因得令 易知，则,故，再由，即得，故原不等式成立。例4.设在上连续，证明：至少存在一个，使得 分析：若令，再往下做就困难了，若令，不难验证该函数在上满足罗尔定理条件。例5.设在上有连续的导数，且，试证： 证明：，于是由柯西不等式有 故2.2.3 求定积分例6.设，求解：因，所以 = = =2例7.设连续函数满足，且，求解：令，则，当与时，与所以两边对求导得令得，故 例8.设在上连续且，证明： 使分析：此题利用了积分变限函数来构造辅助函数的方法证明：令，则在上连续，在内可导，由的单调递增性，设则所以0=m由介值定理得，使， 而，因此结论成立。例9.求的和函数.解：令，则2.2.4变限积分的积分变量替换 处理这类问题的关键是：变限积分作积分变量替换同常义定积分一样，必须对变限积分的上下限作相应地替换，即仍然遵循常义定积分的“不换元不变限，换元就 变限”的原则，仍应注意换元函数应具备可导性与单调性的条件。归纳如即：设函数在区间上连续，令，如果：（1）在上有连续的导数（2）当u从变到y时，从单调地变到则有：显然，变限积分的积分变量已由t变为u，变限变量由x变为y。例10.设为连续函数， (t0,s0),求证：是S而不是t的函数，并求证：令u=t，则当x=0与时，与s 故：是s而不是t的变限积分函数，且例11.设连续，求证：与变量t、s有关，并求，。证：令，则，当与时，与s故：I是与变量t、s有关。解： =例12.设为奇函数，在内连续且单调递增，求证：(1)为奇函数；（2）在上单调递减。证：（1） =故为奇函数（2）. =在内为增函数与奇函数当0tx时，0=f(0)f(t)f(x)( ) ,于是：，故：在上单调递减。例13.设连续函数满足，且，求解：令，则，当t=0与x时，u=2x，等式两边对x求导得：整理得：令得，故：例14.已知，求。解：令，则，当从0变化到，从变化到，故所以= = = =三结论：对数学思想的不断积累并逐渐内化为自己的观念是学习数学的目标，变限积分是一类重要的积分，它最著名的应用是在牛顿莱布尼兹公式的证明中。事实上，变限积分是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分问题转化为微分学问题。变限积分不仅能拓展我们对函数概念的理解，而且在许多场合都有重要的应用。因此，有必要对其进行较广泛和深入的探讨，以便对其有一个较全面地认识和较深刻地掌握。参考文献1李福兴.关于变限积分函数若干问题的研究J.广西梧州师范高等专科学报，2003（2）：642教育部考试中心.2003年全国硕士研究生入考试数学