2020届南平市高三上学期第一次综合质量检查数学（理）试题（解析版）

2020届福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查数学（理）试题一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】解不等式化简集合，再进行交集运算，即可得答案.【详解】因为，所以.故选：A【点睛】本题考查一元二次不等式、对数不等式的求解、集合交运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.2在复平面内，复数对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】对复数进行四则运算并化简成的形式，从而得到得复数对应点所在象限.【详解】因为复数，所以复数对应的点在第三象限.故选：C【点睛】本题考查复数的四则运算、复数的几何意义，考查对概念的理解与应用，属于基础题.3已知命题：，则为（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】全称命题的否定为特称命题，任意改成存在，结论进行否定即可得到答案.【详解】因为：，所以：，.故选：D【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，考查对概念的理解与应用，属于基础题.4下列函数中，既是奇函数又在单调递减的函数是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据函数为奇函数可排除B，再利用函数的单调性可排除A、C，即选出正确答案.【详解】对A，函数在单调递增，故A不符合；对B，函数为偶函数，故B不符合；对C，函数在恒成立，所以在单调递增，故C不符合；对D，函数既是奇函数又在单调递减，故D符合；故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查数形结合思想的应用，考查逻辑推理能力.5已知函数，则函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据函数为偶函数和时函数值为正，即可得到答案.【详解】因为定义域为，且，所以为偶函数，故排除A,D；当时，故排除B.故选：C【点睛】本题考查根据函数的解析式选择对应的图象，考查数形结合思想的应用，求解时注意从解析式挖掘函数的性质，并注意特殊值代入法的应用.6从区间随机抽取个数，组成坐标平面上的个点，其中到原点距离小于的点有个，用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意得满足的点共个，利用几何概型得，从而得到圆周率的近似值.【详解】由题意得满足的点共个，利用几何概型得，所以.故选：C【点睛】本题考查随机模拟、几何概型概率计算，考查随机模拟的思想，属于基础题.7执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）ABCD【答案】B【解析】直接根据程序框图一步一步执行，直到循环结束，即可得到的输出值.【详解】，此时，再执行，再跳出循环.故答案为：B【点睛】本题考查程序框图，求解时注意循环终止的条件，考查对框图的阅读理解能力.8已知非零向量，满足，则向量，的夹角为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据得，再代入，求得夹角的余弦值，即可得到答案.【详解】因为，所以，所以向量，的夹角为.故选：B【点睛】本题考查向量数量积运算、模的运算、向量夹角，考查运算求解能力，求解时注意平方关系的运用.9设抛物线：焦点为，直线与交于，两点，且，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】设，将直线代入，消去得：，利用焦半径公式和韦达定理得到关于的方程，解方程即可得到答案.【详解】设，将直线代入，消去得：，所以，抛物线：的准线方程为，因为，所以.故选：A【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式，考查方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，注意焦半径公式的运用.10已知函数给出下列三个结论：函数的最小正周期是；函数在区间上是增函数；函数的图像关于点对称.其中正确结论的个数是（ ）ABCD【答案】B【解析】利用三角恒等变换将函数进行化简得到，再对照选项进行判断.【详解】因为.对，函数的周期为，故正确；对，因为，所以在上是减函数，故错误；对，函数不关于点对称，故错误.故选：B【点睛】本题考查同角三角函数基本关系、倍角公式、余弦函数的图象与性质，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力.11设数列满足，则数列的前项和是（ ）ABCD【答案】B【解析】设为数列的前项的和，得到的表达式，再根据递推关系，利用累加法求得答案.【详解】设为数列的前项的和，则.因为，所以，各式相加得：.故选：B【点睛】本题考查数列的递推关系、累加法求和，考查方程思想的运用，求解时注意取特殊值观察规律，考查运算求解能力.12在棱长为的正方体中，分别为，的中点，点在棱上，若平面交于点，四棱锥的五个顶点都在球的球面上，则球半径为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用补形法作出四棱锥的直观图，并计算其棱长，再确定外接球球心的位置，并求得半径的值.【详解】如图1，三点共线，连结从而平面，则与的交点即为点，又与相似，所以；如图2，设的外接圆圆心为，半径为，球半径为，在中，由正弦定理得，所以，在中，解得，即，所以所求的球的半径为.【点睛】本题以正方体为载体，考查线面位置关系，球的性质等基础知识，考查数形结合思想、运算求解能力、推理论证能力，综合性较强二、填空题13函数的单调减区间是_【答案】【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出的范围，写成区间形式，可得到函数的单调减区间.详解：函数的定义域为，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.14将名志愿者分派到个不同社区参加公益活动，要求每个社区至少安排人参加活动，则不同的分派方案共有_种；（用数字作答）【答案】20【解析】先安排第一个社区的人选，第二个社区的人就固定.【详解】由题意得：两个社区的志愿者分别为2人与3人，或者3人与2人，即.故答案为：【点睛】本题考查计数原理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意对问题进行分类讨论.15设是公差不为零的等差数列，是与的等比中项，则_；【答案】2n【解析】根据等比中项性质得，结合，可得关于的方程组，解得的值，代入等差数列通项公式，即可得答案.【详解】因为是与的等比中项，所以，所以，解得：，所以.故答案为：【点睛】本题考查等比中项的性质、等差数列通项公式的应用，考查基本运算求解能力和方程思想的应用.16双曲线：的左、右焦点分别是，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为_【答案】【解析】设由将向量坐标代入得，再由点到原点的距离大于等于，从而得到关于的不等式，进而求得离心率的范围.【详解】设由 ，即，得因为，所以，即.故答案为：.【点睛】本题以双曲线为载体，考查双曲线的定义、离心率等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，考查数学运算、直观想象等核心素养，体现综合性三、解答题17锐角的内角，的对边分别为，设（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长【答案】（1）（2）【解析】（1）利用余弦定理将式子化成关于的三角函数，从而求得的值；（2）由正弦定理和面积公式得，进而利用余弦定理求得，即可得到三角形的周长.【详解】（1）由已知及余弦定理可得：，为锐角三角形，（2）由正弦定理，可得，解得，由余弦定理得，于是的周长为.【点睛】本题考查正、余弦定理的应用、三面角形的面积公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意是边化成角或者角化成边的应用.18如图，在四棱锥中，平面平面，（1）求证：；（2）若为线段上的一点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）设交于点，证明平面内的两条相交直线即可得到线面垂直，再由线面垂直的性质，可证明线线垂直；（2）找到三条两两互相垂直的直线，以为原点，以射线为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，即可求得答案.【详解】设交于点，所以，所以，在中，且，得，即，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以（2）平面平面，平面平面，平面，所以平面，以为原点，以射线为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系，,设平面的法向量为，则，取，得设平面的法向量为，则，取，得，设所求角为，则，所求的锐二面角余弦值为【点睛】本题考查空间中线线、线面垂直的证明、向量法求二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，考查转化与化归思想的运用，在建系时，要先证明三条直线两两互相垂直.19已知椭圆：的长轴长是离心率的两倍，直线：=交于，两点，且的中点横坐标为（1）求椭圆C的方程；（2）若，是椭圆上的点，为坐标原点，且满足，求证：，斜率的平方之积是定值【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）由椭圆长轴长是离心率的两倍得，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式，可得，即可求得的值，从而得到椭圆的方程；（2）设，由和在椭圆上，得到坐标的关系，即，再代入表达式中可得到答案.【详解】由椭圆：的长轴长是离心率的两倍得，即.设联立和整理得；所以，依题意得：，即.由得依题意得：，所以椭圆的方程为.（2）设，由得因为在椭圆上，所以，=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线椭圆位置关系中的定值问题，考查方程思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.20已知函数，（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求的取值范围【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）【解析】（1）对函数进行求导得，再解不等式得到函数的单调区间；（2）将不等式恒成立等价转化为，再构造函数，利用导数研究函数的最小值.【详解】（1）.当时，单调递增；当时，单调递减.所以的单调递增区间为，单调递减区间为(2)由得也就是，令则=，由知，.设，在单调递增，又，所以存在使得，即.当时，在单调递减；当时，在单调递增;所以=.所以的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意隐零点设而不求的运用.21某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：（1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程适合用来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：支付方式现金会员卡扫码比例商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受折优惠的概率为，享受折优惠的概率为，享受折优惠的概率为现有一名顾客购买了元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少？参考数据：设，参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（1）回归方程为：；活动推出第8天使用扫码支付的人次为331（2）一名顾客购物的平均费用为元【解析】（1）由，两边同时取常用对数得：；设，则，利用最小二乘法求出，进而求得回归方程；再将代入方程进行预报值求解；（2）记一名顾客购物支付的费用为，写出的所有可能取值和随机变量的分布列，从而求得顾客支付的平均费用.【详解】（1）由，两边同时取常用对数得：；设，把样本中心点代入,得:，关于的回归方程为：；把代入上式，；活动推出第8天使用扫码支付的人次为331；（2）记一名顾客购物支付的费用为，则的取值可能为：，；分布列为：所以，一名顾客购物的平均费用为：（元）【点睛】本题考查统计中散点图、非线性回归方程求解、随机变量的均值，考查转化与化归思想、函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的运用，对阅读理解能力要求较高.22在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为：（为参数），为直线上距离为的两动点，点为曲线上的动点且不在直线上（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程（2）求面积的最大值【答案】（1）直线的直角坐标方程为,曲线的普通方程为（2）【解析】（1）直线的极坐标方程利用两角差的余弦公式展开，再利用公式，将方程化成普通方程形式；对曲线的参数进行消参，从而得到普通方程；（2）设点，将点到直线的距离转化为三角函数的值域问题.【详解】（1）直线的极坐标方程化成，直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程化成：.平方相加得，即（2）设点，则到直线的距离为：，当时，设的面积为，则.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程的互化、利用三角函数的值域求点到直线距离的最大值，考查转化与化归思想的运用，考查运算求解能力