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数列求和相关问题摘要：本文以数列求和为核心，研究下列专题：1 数列求和；2 无穷级数化简；3 数列不等式证明目录第1章 常见数列求和方法11.1 公式法11.2 倒序相加11.3 拆项法11.4 裂项法21.5 错位相减法31.6 归纳法5第2章 无穷级数化简52.1 数列求和52.2 构造新和5第3章 数列不等式证明73.1 求和后缩放83.2 不等式缩放后求和83.3 累和法11第1章 常见数列求和方法高中数列求和公式仅有等差数列和等比数列,然而对于既不是等差数列也不是等比数列我们便需要其它方法来求出.这里列举三种常见的方法: 其中裂项法和错位相减法是高考数列常考的知识点.1拆项法；2裂项法；3错位相减1.1 公式法1 直接用等差数列、等比数列的求和公式求2 掌握一些常见数列的前n项和。1.2 倒序相加法如果一个数列与首末两端“等距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和及时用次方法推导的。如果一个数列具有，可考虑用倒序相加法。例1 求证：证明：设把上式右边倒过来由得然后两式相加得所以例2 设，求和解 这里所以，两式相加得一般结论，函数具有一个特征，即满足。1.3 拆项法顾名思义,就是将数列中的项拆开,拆成我们熟知的等差数列或等比数列.当数列是由和组成或者可以化成和的形式时,拆项法往往可以考虑,拆项法重要的是一定要拆成两个我们熟知的两项.也叫做分组求和。如果一个数列的通项可以写成的形式，而数列是等差或等比数列或可转化为能够求和的数列，可采用分组求和。1(1)求答案：(2)已知数列,求的前n项和.答案:1.4 裂项法高中有两个常见的列项是一定要掌握的,一般情况下,所有的裂项都是从该两题中衍生出来的. 对于无法用拆项法来裂出的数列,我们往往研究其通项,看通项是否能推导出裂项的形式. 裂项的方法是观察通项公式,将通项裂成两个相邻并且符号相反的项.1. （母题源）(1)已知,求的前n项和.答案: (2)已知数列,求的前n项和.答案:推广：，2. 数列的前n项和。答案：3. 已知数列的前n项和为，且，求。答案：4. （2010山东）已知等差数列满足：。的前n项和为。（1） 求及；（2） 令，求数列的前n项和。答案：（1）（2）5. （2011新课标全国）等比数列的各项均为正数，且（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前n项和。说明：第（I）问全化成首项和公比即可解出，第（II）问是裂项法求和。答案：（I）；（II），其前n项和1.5 错位相减法该式与等比数列前n项和有相似的地方,于是我们考虑能否用等比数列前n项和公式的推导方法来求出该和.错位相减法源于教科书等比数列前n项和的公式推导,建议先看看等比数列前n项和公式的推导.其特点往往要把前n项和想出来才能观察出来,与等比数列前n项相比就是前面多了一个有规律变化的系数.适用条件：等差数列与等比数列的乘积。即：设是等差数列，是等比数列。则数列（其中）可以用错位相减法。1. 求和.解: (1) (2)当时,得: =当时,=2. 已知数列满足： 求：(1)数列的通项公式；(2)数列的前n项和.答案：方法一：采用错位相减法得出方法二：再写出一个式子用换式子中的.再相减得出,再验证首项即可.第二问用错位相减法.答案：3. (2009全国I)在数列中,.（1） 设,求数列的通项公式.（2） 求数列的前n项和.答案：(1) (2)4. (2010全国新课标理)设数列满足（1） 求数列的通项公式；（2） 令,求数列的前n项和.5. 已知数列的首项（1） 证明数列是等比数列；（2） 求数列的前n项和。答案：(2)6. 已知二次函数满足,且的最小值是.设数列的前n项和为,且对一切,点在函数的图像上.（1） 求函数的解析式；（2） 设数列的前n项和为求；（3） 设为数列的前n项积,则是否存在实数,使得不等式对一切都成立？若存在,求出t的取值范围；若不存在,请说明理由.分析：(1)(2)错位相减得(3),设因为,所以,所以,所以1.6 归纳法归纳法一般是先用不完全归纳法猜出前n项和的公式，再用数学归纳法证明。第2章 无穷级数化简数列和的化简也称数列求和,因求和也是将数列化简的过程.除了求和外还有其它化简方式,1求和；2构造新和2.1 数列求和常用的数列求和就是拆项法,裂项法,错位相减.见数列求和专题.2.2 构造新和此方法类似于错位相减法,也类似于,总之就是再构造一新和.1. 已知数列满足： 求：(1)数列的通项公式；(2)数列的前n项和.解：(1)因为,所以两式相减得在原等式中令得,适合(*)式,故(2)错位相减即可2. 设数列的各项都是正数,且对任意有,其中为数列的前n项和.（1） 求证：（2） 求数列的通项公式（3） 设(为非零整数,)试确定的值,使得对任意都有成立答案在不等式恒成立专题中.3. 已知数列中,对任意正整数n都有：（1） 若数列是首项和公差都是1的等差数列,求证是等比数列.（2） 若数列是等比数列,数列是等差数列,若是,求出通项公式,若不是请说明理由.（3） 若数列是等差数列,数列是等比数列,求证：分析：(1),故等式化为,又,两式相减得,得,数列是首项为1公比为2的等比数列.(2)设等比数列首项为b,公比为q,则,从而有又,代入得,故所以q=2时,数列是等差数列,通项公式为当时,数列不是等差数列(3)由(2)知,显然n=1,2时等式成立.当时,4. 已知正数数列的前n项和为,且满足（1） 求数列的通项公式；（2） 设,探究是否存在数列,使得对一切正整数n都成立？若存在,求出数列的通项公式；若不存在,请说明理由.（3） 在(2)探究出存在数列,则求数列的前n项和；若(2)探究出不存在数列,则计算前n项和.分析：(1)(2)再写出一个相减得,验证首项满足(3)错位相减第3章 数列不等式证明1 求和后缩放；2 缩放后求和;3 累和法3.1 求和后缩放1. 若，且是数列的前n项和。求证： 2. （2010全国II理）已知数列的前项和（）求；（）证明：分析：（）中当时，3. 无穷数列的前n项和，并且（1） 求p的值；（2） 求的通项公式；（3） 作函数，如果，证明。分析：（1）令得出或，验证令，舍去，由得出答案。（2）用累乘法得出答案，其中要验证首项。（3）由利用通项公式全化成得出，从而，写出后用错位相减法写出，所以4.5.6.3.2 不等式缩放后求和1. 已知数列中,对任意正整数n都有：（1） 若数列是首项和公差都是1的等差数列,求证是等比数列.（2） 若数列是等比数列,数列是等差数列,若是,求出通项公式,若不是请说明理由.（3） 若数列是等差数列,数列是等比数列,求证：分析：(1),故等式化为,又,两式相减得,得,数列是首项为1公比为2的等比数列.(2)设等比数列首项为b,公比为q,则,从而有又,代入得,故所以q=2时,数列是等差数列,通项公式为当时,数列不是等差数列(3)由(2)知,显然n=1,2时等式成立.当时,2. 数列的前n项和为，（1） 求的通项公式；（2） 等差数列的各项为正，其前n项和为且，又成等比数列。求的通项公式；求证：当时，答案：（1）;(2)由得，最后或14（舍），所以；（3），所以当时3. 在数列中，。设（1） 求证：数列是等比数列；（2） 求数列的前n项和；（3） 设，求证答案：（1）由得，即，因为，所以数列是以为首相，-1为公比的等比数列。（2）得，；（3）因为，所以所以所以3.3 累和法1. 已知函数