04.2010年广州市高三数学调研测试分析报告(修订稿)

2010年广州市高三数学调研测试分析报告2010年广州市高三数学调研测试分析报告广州市教育局教研室 曾辛金广州市第十六中学 吴平生2010-2-1第一部分 命题思路一、命题依据2010年广州市高三数学调研测试的命题主要依据2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科、理科）考试大纲的说明以及普通高中数学课程标准（实验），全面考查基础知识，注重考查通性通法，有效考查数学能力，兼顾文理考生差异，以高中数学知识为载体，以能力立意，保持稳定的试卷结构，突出考查学生分析问题与解决问题的能力，有效发挥测试诊断与查缺补漏的导向作用.1.全面考查数学知识（1）适当考查生疏知识，有效进行查缺补漏.如复数的模（文11，理9），几何证明选讲中的角（文14，理14，改编自课本选修4-1 P29，例2），参数方程与普通方程的等价转化（文15，理15，改编自课本选修4-4 P25，例3），条件概率（理17）等.（2）侧重考查新增内容，适当高于课时比例.如全称量词与存在量词（文5，理4），三视图（文8，理5），算法（文12，理10），几何概型（文17，理12），归纳推理（文10，理8）等. （3）重点考查主干知识，达到一定的深广度.如函数与导数（文21，理20），数列（文20，理21），立体几何（文18，理18），解析几何（文19，理19），三角函数（文16，理16），概率统计（文17，理17）等.2.全面考查数学方法（1）全面考查数学基本方法.如待定系数法（文3，理7），消元法（文15，理15），比较法（文19，理19），导数法（文21，理20），向量法（理18），坐标法（文19，理19），错位相减法（文20），裂项法与放缩法（理21）等.（2）有效考查数学思维方法.如归纳法（文10，理8），反证法（文18，理18）等.（3）注重考查数学思想方法.如数形结合思想（文16、19、21，理16、19、20），函数与方程思想（文16、21，理16、20），分类与整合思想（文19、21，理19、20），转化与化归思想（文15、20、21，理15、20、21）等.3.注重考查数学能力 （1）注重考查空间想象能力，包括看图、画图、想图等能力.如三视图的计算（文8，理5），空间线面关系的判断与证明（文13、18，理18）等.（2）注重考查运算能力，包括数值计算、字母运算、式子变形等.如复数的运算（文11，理9），含字母的直线与圆的位置关系（文19，理19），三角恒等变换（文16，理16）等.（3）注重考查探究能力，包括探求条件，归纳结论，信息迁移等.如立体几何中的是否存在型问题（文18，理18），数列通项的归纳（文10，理8），新定义运算的求解（理13）等.4.兼顾文理考生差异（1）文科数学侧重考查直观思维，理科数学侧重考查抽象思维.如文科卷直接给出图表的试题有第1，4，8，10，12，14，18题，理科卷未给出图表但需运用图表的试题有第7，11，12，16，17，19，20题.（2）文科数学侧重考查具体数值的运算，理科数学侧重考查含参变量的运算.如文科卷给出具体数值的试题有第1，2，3，4，7，8，11，17题，理科卷给出含有参数的试题有第6，16，19，20，21题.（3）编制文理姊妹试题，降低文科试题难度.试卷中以文理姊妹试题形式出现的试题有：函数的定义域（文2，理2），命题的否定（文5，理4），等差数列的前项和（文7，理3），三视图的计算（文8，理5），三角函数的图像与性质（文9，理11），复数的运算（文11，理9），数列的通项与求和（文20，理21）.二、考点分布1.文科卷内容题号，题型，分值知识点与交汇点集合、常用逻辑用语1，选择题，5分交集、补集的运算，韦恩图5，选择题，5分全称命题的否定函数、导数、不等式2，选择题，5分函数的定义域，一次不等式的解法6，选择题，5分函数单调性的定义，一次、二次、指数、对数函数的单调性21，解答题，14分含参数三次函数的单调性、最值，用图像法判断含参数的方程实根个数数列、推理与证明7，选择题，5分等差数列的通项、前项和10，选择题，5分数列通项的归纳与定位20，解答题，14分等比数列的证明，等差数列的通项，用错位相减法求数列的前项和平面向量、复数、三角函数9，选择题，5分三角函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性11，填空题，5分复数的运算、模16，解答题，12分平面向量的模与夹角，三角恒等变换，三角形面积的最大值算法12，填空题，5分程序框图，幂函数的单调性概率与统计4，选择题，5分频率分布直方图17，解答题，12分古典概型与几何概型，平面向量的数量积，简单线性规划立体几何8，选择题，5分几何体的三视图、体积13，填空题，5分空间线面平行、垂直关系的判断18，解答题，14分线面平行的证明，线面垂直的探求解析几何3，选择题，5分圆的方程19，解答题，14分动点的轨迹方程，直线与圆的位置关系几何证明选讲14，填空题，5分四点共圆、圆周角、三角形内角和定理坐标系与参数方程15，填空题，5分极坐标，参数方程，曲线的交点2.理科卷内容题号，题型，分值知识点与交汇点集合、常用逻辑用语1，选择题，5分交集、补集的运算，韦恩图4，选择题，5分特称命题的否定函数、导数、不等式2，选择题，5分函数的定义域，绝对值不等式的解法13，填空题，5分新定义运算，绝对值不等式的解法20，解答题，14分含参数三次函数的单调性、最值，用图像法判断含参数的方程实根个数数列、推理与证明3，选择题，5分等差数列的通项、前项和8，选择题，5分数列通项的归纳与定位21，解答题，14分等比数列的证明，等差数列的通项，用放缩法证明数列不等式平面向量、复数、三角函数9，填空题，5分复数的运算、模11，填空题，5分三角函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性16，解答题，12分平面向量的模与夹角，三角恒等变换，三角形面积的最大值算法10，填空题，5分程序框图，幂函数的单调性概率与统计6，选择题，5分二项展开式的通项公式，不等式恒成立问题12，填空题，5分几何概型，定积分，简单线性规划17，解答题，12分随机变量的分布列、期望，条件概率立体几何5，选择题，5分几何体的三视图、表面积18，解答题，14分线线垂直的证明，二面角大小的探求解析几何7，选择题，5分直线、圆、双曲线的位置关系19，解答题，14分动点的轨迹方程，直线与圆的位置关系几何证明选讲14，填空题，5分四点共圆、圆周角、三角形内角和定理坐标系与参数方程15，填空题，5分极坐标，参数方程，曲线的交点第二部分 数据统计1.成绩统计（1）文科各区平均分（部分区）单位人数选择必做选做161718192021总分市直属4校108044.111.61.87.87.76.16.56.74.797.00 越秀区345140.49.91.45.57.35.33.23.11.877.90 荔湾区160841.0910.221.535.396.815.423.111.942.177.61 天河区118639.679.221.414.37 5.36 4.56 2.41 2.42 2.10 71.52 萝岗区39438.280.94.65.33.52.61.81.766.60 南沙区58935.87.11.53.44.93.41.41.10.959.50 番禺区387438.98.51.54.96.24.92.41.8271.10 从化市163138.358.521.035.00 5.66 4.41 3.54 2.94 2.01 71.46 增城市249739.19.31.45.26.54.52.61.9272.50 海珠区1986398.80.74.45.442.11.91.768.00 合计1829639.61 9.23 1.34 5.13 6.34 4.80 2.92 2.49 2.06 73.93 （2）理科各区平均分（部分区）单位人数选择必做选做161718192021总分市直属4校234135.818.31.99.17.910.97.35.86.4103.40 越秀区313433.614.31.47.57.185.43.53.684.40 荔湾区163833.9913.991.486.877.658.785.353.113.6184.83 天河区152433.1513.21.497.37 6.60 6.95 5.06 3.67 3.27 80.75 萝岗区35131.6121.17.45.85.84.42.61.872.50 南沙区50430.48.21.65.74.45.23.61.81.862.70 番禺区46393313.11.47.16.67.84.53.23.480.10 从化市157731.613.41.337.05 5.81 7.67 5.17 3.77 3.89 79.68 增城市26013313.11.357.27.17.34.42.92.478.75 海珠区179632.411.10.86.15.96.33.822.671.00 合计2010533.26 13.68 1.40 7.29 6.79 7.90 5.03 3.43 3.56 82.32 （3）各组平均分（全市123所学校）文 科理 科单位人数选择题非选择题全卷人数选择题非选择题全卷A组334043.8550.7494.59674135.7866.28102.06B组365643.7741.3085.07487736.6253.7790.39C组369541.2037.7778.97459433.6049.0982.69D组309938.8930.3169.2289431.9338.3970.32E组514337.9627.8365.79442731.8635.2367.09F组420134.4619.6654.12267928.7623.9352.69其他29136.4027.6864.0833432.9145.5978.50合计2368339.7033.6473.342679633.7848.2382.01（4）分数段分布统计图（全市123所学校）2.难度、区分度、信度统计（部分区）（1）文科各题难度题号12345678910平均分4.74.74.64.44.24.14.33.332.3难度0.940.940.920.880.840.820.860.660.600.46题号111213141516-116-217-117-218-118-2平均分2.542.21.80.64.315.31.24.20.8难度0.500.800.440.360.120.440.540.36题号19-119-220-120-220-321-121-221-3平均分2.40.820.60.11.50.50难度0.230.190.14（2）理科各题难度题号12345678910平均分4.84.54.74.24.53.94.32.43.24.5难度0.960.900.940.840.900.780.860.480.640.90题号111213141516-116-217-117-218-118-2平均分2.22.11.82.30.94.62.75.41.43.54.7难度0.440.420.360.460.180.610.570.59题号19-119-220-120-220-321-121-221-3平均分3.71.62.31.202.41.20.2难度0.380.250.27（3）文科各区难度、区分度、信度统计科目人数1卷难度2卷难度全卷难度1卷区分度2卷区分度全卷区分度1卷信度2卷信度全卷信度市直属4校10800.880.530.650.150.350.220.290.580.64海珠区19860.780.30.460.310.380.30.440.680.75白云区24180.750.290.440.380.390.380.540.690.77增城市24970.780.340.480.30.370.290.430.670.74番禺区萝岗区3940.760.280.440.270.320.250.370.670.71南沙区5890.720.240.40.350.350.270.410.680.74荔湾区16070.820.370.520.220.310.280.240.590.65（4）理科各区难度、区分度、信度统计科目人数1卷难度2卷难度全卷难度1卷区分度2卷区分度全卷区分度1卷信度2卷信度全卷信度市直属4校23410.90.610.690.130.380.250.250.620.65海珠区17960.810.360.480.270.470.370.350.710.75白云区25840.80.370.490.270.430.390.380.670.72增城市26010.830.420.520.240.470.370.360.70.74番禺区萝岗区3510.790.370.480.240.410.310.310.670.7南沙区5040.760.290.420.290.450.350.320.730.76荔湾区16370.850.460.570.180.420.350.260.660.69（5）文科各区成绩统计单位参加人数平均分最高分最低分标准差难度区分度市直属4校1080971432017.750.650.22海珠区198668.8129221.650.460.3白云区241866.5127523.190.440.38增城市249772.5127521.080.480.29番禺区387471.2139521.540.47萝岗区39466.61261518.990.440.25南沙区58959.51201021.430.40.27荔湾区160777.61271117.180.520.28（6）理科各区成绩统计单位参加人数平均分最高分最低分标准差难度区分度市直属4校2341103.41502419.530.690.25海珠区179671.7144525.090.480.37白云区258473140523.470.490.39增城市260178.7145524.860.520.37番禺区463979.9146525.390.53萝岗区35172.5133822.40.480.31南沙区50462.41341524.890.420.35荔湾区163784.81431521.630.570.35第三部分 试题分析一、选择题文10，理10.已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2010项满足A. B. C. D.【考查目标】用归纳法求数列的通项，用估算法求不等式的整数解，归纳推理.【答卷分析】文科平均分：2.3分，难度：0.46；理科平均分：2.4分，难度：0.48.多错选A或C.【变式训练】将正奇数集合1，3，5，由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：1， 3，5，7， 9，11，13，15，17，（第一组） （第二组） （第三组）则1991位于第 组中. （答案：32）二、填空题文15，理15以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为，则它与曲线（为参数）的交点的直角坐标是 【考查目标】将极坐标方程化为直角坐标方程，将参数方程等价转化为普通方程，联立方程组求曲线的交点坐标，等价转化思想.【答卷分析】文科平均分：0.6分，难度：0.12；理科平均分：0.9分，难度：0.18.多错答为或，忽视了变量的取值范围.【变式训练】以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知圆的极坐标方程为，则它与曲线（为参数）的交点的直角坐标是 （答案：）三、解答题文16，理16设向量，其中（1）若，求的值；（2）求面积的最大值【考查目标】平面向量的运算，三角恒等变换，三角形面积公式，数形结合思想.【答卷分析】文科平均分：5.3分，难度：0.44；理科平均分：7.3分，难度：0.61.第（2）问得分率偏低，文科平均只有1分，理科平均只有2.7分.【主要别解】第（2）问别解一：因为，所以 .由于，所以当时，取得最大值第（2）问别解二：设，则.由于，所以当时，取得最大值第（2）问别解三：设直线OA的方程为，则点B到直线OA的距离为，所以.由于，所以当时，取得最大值【典型错误】运算准确性差，得出后，却得出.在第（2）问中将题目中的角与与的夹角混淆.将第（1）问的结论，或作为第（2）问的条件来求的面积.在求面积的最值时，忽视对角的范围的说明，没有指出角的取值.对向量与向量的模混淆不清，两者混用，如.【变式训练】在中，角A、B、C的对边分别为、，且满足.（1）求角B的大小；（2）设，且的最大值为5，求实数的值.（答案：（1）；（2）.）文17已知向量，（1）若，分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率；（2）若，求满足的概率【考查目标】古典概型，穷举法，几何概型，简单线性规划，数形结合思想.【答卷分析】平均分：6.5分，难度：0.54.第（2）问得分率偏低，平均只有1.2分.【典型错误】第（1）问没有列出所有基本事件，直接用得出基本事件总数；在求满足的基本事件时找不全，事件数出错；化简出错.将第（2）问当成古典概型来计算，错答为.第（2）问将条件理解成，错算为.第（2）问将条件在图中错画成直线，错算为.【变式训练】已知集合，.（1）若，求的概率；（2）若，求的概率.（答案：（1）；（2）.）理17.某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选.（1）设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望；（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率【考查目标】离散型随机变量的分布列、期望，条件概率.【答卷分析】平均分：6.8分，难度：0.57.第（2）问得分率偏低，平均只有1.4分.【主要别解】第（2）问别解一：；或第（2）问别解二：在男生甲被选中的情况下，女生乙第一次被选中的概率为，女生乙第一次未被选中第二次被选中的概率为，所以【典型错误】第（1）问误解出，从而导致后面出错.第（2）问错解为，或.【变式训练】某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9.（1）求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和数学期望；（2）求李明在一年内领到驾照的概率.（答案：（1）的分布列为：12340.60.280.0960.024ABCDEAAA；（2）0.9976.）文18如图，在棱长为1的正方体中，是的中点（1）求证：平面；（2）在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【考查目标】空间线面平行关系的证明，线面垂直关系的探求，逆向思维，反证法.【答卷分析】平均分：5.0分，难度：0.36.第（2）问得分率偏低，平均只有0.8分.【主要别解】第（1）问别解：设是的中点，转化为证明面面；或设是的中点，转化为证明面面.第（2）问别解：用向量法，以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由，得.由，得，所以.【典型错误】证明线面平行、面面平行、线面垂直时定理的条件写得不齐全.第（1）问在转化为证明面面（其中是的中点）时，直接由，就得出面面.第（2）问错误地猜想当为的中点时平面第（2）问先假设平面，得到，在计算出后，没有保证点的存在性时，就下结论说存在点，且，使平面；或在正确判断出当，时，平面后，误认为是等腰三角形，从而错误得出.【变式训练】（2009年海南与宁夏卷，理19改编）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.（1）求证：ACSD； （2）若SD平面PAC，试问在侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE平面PAC？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.ABCEAAAD理18如图，在长方体中，（1）证明：当点在棱上移动时，；（2）在棱上是否存在点，使二面角的平面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【考查目标】空间线线垂直关系的证明，二面角大小的探求，逆向思维，反证法.【答卷分析】平均分：8.3分，难度：0.59.【主要别解】第（2）问别解：作出二面角的平面角后，由，得，故，从而，故，所以.【典型错误】第（1）问用综合法证明时表达不清，在转化为证明线面垂直时没有说明两条直线相交，还出现垂直于一条直线就得出线面垂直的典型错误.第（2）问出现大量的计算错误，如；设时没有考虑范围.【变式训练】（2009年北京卷，理16）如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且.（1）求证：平面；（2）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（3）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.文19，理19已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足（1）求动点的轨迹方程；（2）若点是动点的轨迹上的一点，是轴上的一动点，试讨论直线与圆的位置关系【考查目标】动点的轨迹方程，直线与圆的位置关系，数形结合思想，分类讨论思想.【答卷分析】文科平均分：3.2分，难度：0.23；理科平均分：5.3分，难度：0.38.第（2）问得分率偏低，文科平均只有0.8分，理科平均只有1.6分.PMNQxy0【主要别解】第（1）问别解：利用向量的数量积化简条件，转化为抛物线的定义求解：由，得，即点P到点N的距离等于点P到直线的距离，所以点的轨迹方程为.第（2）问别解一：设直线的方程为.先利用圆心到直线的距离与半径的比较求出斜率的取值范围：当或时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；当或时，直线与圆相离；再利用并讨论不存在的情形求出的取值范围.第（2）问别解二：联立直线与圆的方程，消去得，利用判别式得，当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相离.【典型错误】第（1）问得出后，化简出错，错得，等.第（2）问没有讨论当时，直线的斜率不存在的情形.【变式训练】（2006年辽宁卷，理20文22）已知点,是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量、满足.设圆的方程为.（1）证明线段是圆的直径；（2）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值.文20，理21设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足 ，N，求数列的通项公式；（文）（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和（理）（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和【考查目标】与的转化，等比数列与等差数列的定义，用取倒数法或数学归纳法求数列的通项公式，用裂项法与错位相减法求数列的前项和，用放缩法证明数列不等式，转化与化归思想.【答卷分析】文科平均分：2.7分，难度：0.19；理科平均分：3.8分，难度：0.27.第（3）问得分率偏低，文科平均只有0.1分，理科平均只有0.2分.【主要别解】第（2）问别解：由，求得，猜想，再用数学归纳法加以证明.【典型错误】第（1）问不计算；误认为；计算能力差，错解为；对等比数列的概念理解出错，用证明是等比数列.文科第（3）问用错位相减法求和时项数与符号出错.理科第（3）问用放缩法证明不等式时放缩不到位，如，或，或从的第一项或第二项就开始放大.理科第（3）问有学生试图用数学归纳法证明，但不成功，因为这是假命题：（1）当时，；（2）假设当时，结论成立，即，则当时，.【变式训练】（2008年山东卷，理19，文20）将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数构成的数列为，为数列的前项和，且满足（1）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；（2）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数当时，求上表中第行所有项的和文21，理20已知，函数（1）若函数在区间内是减函数，求实数的取值范围；（2）求函数在区间上的最小值；（3）对（2）中的，若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围【考查目标】含参数三次函数的单调性、在闭区间上的最值，用图像法判断含参数的方程实根个数，等价转化思想，分类讨论思想，函数与方程思想，数形结合思想.【答卷分析】文科平均分：2.0分，难度：0.14；理科平均分：3.5分，难度：0.25.第（3）问得分率偏低，文科与理科平均都近似于0分.【主要别解】第（1）问别解一：由在上恒成立，即在上恒成立，所以，解得.第（1）问别解二：由在上恒成立，所以，解得.第（2）问别解：按与区间的相对位置关系分为，或，或三种情况讨论.【典型错误】第（1）问将函数在区间内是减函数，转化为在上恒成立，遗漏等号.第（1）问用必要条件代替充要条件：因为在内是减函数，所以，解得.第（2）问导函数含有参数，分类讨论混乱，很多学生不清楚含参数导数问题分类讨论的三个层次：1.讨论导函数是否有零点；2.导函数有零点，但不知导函数的零点是否落在定义域内，从而引起讨论；3.导函数有零点，零点也落在定义域内，但不知这些零点的大小关系，从而引起讨论.对分段函数的处理缺乏整体意识，部分学生令，分三段研究其零点情况，但无结果.【变式训练】（2008年浙江卷，理21）已知是实数，函数.（1）求函数的单调区间；（2）设为在区间上的最小值. 写出的表达式； 求的取值范围，使得.第四部分 复习建议1