微积分第1章函数、极限与连续之连续函数的概念和性质

,1.1 函数1.2 极限的概念1.3 极限的运算1.4 函数的连续性,第1章 函数极限与连续,结束,连续函数的概念和性质,1.6.1 函数连续性的概念,相应的函数的改变量（增量）:函数的终值 与初值 之差 称为自变量的改变量，记为,1.改变量（增量）：,1.6 函数的连续性,当自变量由初值 变化到终值 时，终值与初值之差 称为自变量的改变量，记为,定义1： 设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量在点 处有增量 时，相应的函数有增量 ,如果当自变量的增量 趋于零时，函数的增量 也趋于零，即则称函数 在点 处连续，点 称为函数的连续点,2.连续,若记 ，则 ，且当 时，,故定义1又可叙述为,注：,定义2：设函数y = f (x)在点 的某邻域内有定义，若有 ,则称函数 在点 处连续.,（1）定义1与定义2是等价的, 即,由左右极限定义可定义左右连续定义,（2）由定义2可知若函数 在点 处连续，则函数 在点 处的极限一定存在，反之不一定连续,（3）当函数 在点 处连续时，求 时，只需求出 即可,定义3：若函数 满足 ，则称函 数 在点处左连续。 同理可以定义右连续,3、左右连续,4、区间连续,定义4：若函数 在（a , b）内每一点都连续 ，则称函数 在（a , b）内连续。,由定理3可知：函数 在点 处连续既左连续又右连续即,证明 y = sin x在 内连续,例1,证,对任意,有,因为,所以,故 在 内连续,定义5 若函数y = f(x)在（a , b）内每一点都连续，且在左端点a 处右连续，在右端点b处左连续，则称函数y = f (x)在a , b上连续。,1.6.2 函数的间断点及其分类,则一定满足以下条件,如果f(x)在点不能满足以上任何一个条件，则点 是函数 的间断点。,1.可去间断点：,如果函数在点 的极限存在，但不等于 ，即,则称 为 的可去间断点。,例2,解,所以x =1为可去间断点重新定义新的函数：,则x=1成为函数的连续点,2.跳跃间断点：,例3,所以 x =1为跳跃间断点,左右极限存在不相等,当 时，函数值不断地在两点之间跳动，左右极限均不存在,3.无穷间断点,f(x)在点 的左、右极限至少有一个是无穷大，则称 为f(x)的无穷间断点,例4 x=0为无穷间断点,4.振荡间断点,例5,x=0是其振荡间断点,间断点的类型：,第一类间断点: 我们把左右极限都存在的间断点称为第一 类间断点.,第二类间断点: 除第一类以外的间断点,即左右极限至少有 一个不存在的间断点称为第二类间断点.,例6,解,函数在x= -1 , x = 0 , x = 1处没有定义,所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函数的间断点,所以x = -1是函数的无穷间断点,所以x= 0是函数的跳跃间断点,(),(),所以x= 1是函数的可去间断点,解,分界点为 x =1,x =2,（i）当 x=1时,所以 x= 1 是函数的跳跃间断点,(),例7,（ii）讨论 x=2,而f(2)=5,所以x= 2是函数的连续的点,因此,分段函数的分界点是可能间断点,设函数y = f(u)在点 处连续,u= f (x)在点 处连续,且 ,则复合函数 在点 处连续.,1.6.3 初等函数的连续性,定理1,单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调连续函数。,设f(x),g(x)均在点 处连续,则 也在处连续,因此,基本初等函数在其定义域内连续.,定理2,定理3,即：,因此,一切初等函数在其定义区间内连续.,1.6.4 闭区间上连续函数的性质,定理4（最值定理）闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。,注：,对于在开区间或在闭区间上有间断点的函数，结论不一定成立。,定理5 （介值定理）,设函数f(